备战冬季山东省高中数学学业水平考试学考考前必备2 知识点归纳.docx
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备战冬季山东省高中数学学业水平考试学考考前必备2知识点归纳
学考考前必备2——知识点归纳
★★★★集合与简易逻辑★★★★
1．集合的相关概念
（1）集合元素的三个特性：
确定性、互异性、无序性．
（2）元素与集合的关系：
若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A.
（3）集合的三种表示方法：
列举法、描述法、图示法．
（4）五个特定的集合：
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N*或N＋
2．集合间的基本关系
表示
关系
文字语言
记法
集合间的基本关系
子集
集合A中任意一个元素都是集合B中的元素
A⊆B或B⊇A
真子集
集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A
AB或
BA
相等
集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，集合B中的每一个元素也都是集合A中的元素
A⊆B且B⊆A
⇔A＝B
空集
空集是任何集合的子集
∅⊆A
空集是任何非空集合的真子集
∅B且B≠∅
3．集合的三种基本运算
文字语言
图形表示
符号语言
集合的并集
所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合
A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
集合的交集
所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
集合的补集
全集U中不属于集合A的所有元素构成的集合
∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}
4.集合基本运算的常见性质
（1）并集的性质：
A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.
（2）交集的性质：
A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.
（3）补集的性质：
A∪（∁UA）＝U；A∩（∁UA）＝∅；
∁U（∁UA）＝A；∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）；∁U（A∪B）＝（∁UA）∩（∁UB）．
5．充分条件与必要条件的相关概念
记p，q对应的集合分别为A，B，则
p是q的充分条件
p⇒q
A⊆B
p是q的必要条件
q⇒p
A⊇B
p是q的充要条件
p⇒q且q⇒p
A＝B
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q
p
A
B
p是q的必要不充分条件
p
q且q⇒p
A
B
p是q的既不充分条件也不必要条件
p
q且q
p
A
B且A⊉B
6.全称量词和存在量词
量词名称
常见量词
符号表示
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个等
∀
存在量词
存在一个、至少有一个、有些、某些等
∃
7．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定
命题
名称
语言表示
符号表示
命题的否定
全称
命题
对M中任意一个x，有p（x）成立
∀x∈M，
p（x）
∃x0∈M，
p（x0）
特称
命题
存在M中的一个x0，使p（x0）成立
∃x0∈M，
p（x0）
∀x∈M，
p（x）
★★★★一元二次函数、方程和等式★★★★
1．不等式的基本性质
性质
性质内容
特别提醒
对称性
a>b⇔b⇔
传递性
a>b，b>c⇒a>c
⇒
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
⇔
可乘性
⇒ac>bc
注意c的符号
⇒ac同向可加性
⇒a＋c>b＋d
⇒
同向同正可乘性
⇒ac>bd>0
⇒
可乘方性
a>b>0⇒an>bn（n∈N，n≥1）
a，b同为正数
可开方性
a>b>0⇒
（n∈N，n≥2）
倒数性质
设ab>0则aa，b同号，且不为0
2．“三个二次”的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根
有两个相异实根x1，x2（x1＜x2）
有两个相等实根x1＝x2＝－
没有实数根
一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的解集
{x|xx2}
R
一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
3.基本不等式：
（1）基本不等式成立的条件：
a≥0，b≥0.
（2）等号成立的条件：
当且仅当a＝b时取等号.
（3）其中
称为正数a，b的算术平均数，
称为正数a，b的几何平均数.
4.两个重要的不等式
（1）a2＋b2≥2ab（a，b∈R），当且仅当a＝b时取等号.
（2）ab≤
（a，b∈R），当且仅当a＝b时取等号.
5.利用基本不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
（1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2
（简记：
积定和最小）.
（2）如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是
（简记：
和定积最大）.
★★★★函数的概念和性质★★★★
1.函数的概念
设A，B是两个非空数集如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，称f：
A→B为从集合A到集合B的一个函数
2.函数的定义域、值域
（1）在函数y＝f（x），x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域.
（2）如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
4.分段函数
（1）若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
（2）分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.
5.函数的单调性
（1）单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f（x）的定义域为I：
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1当x1f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
（2）单调区间的定义
如果函数y＝f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做函数y＝f（x）的单调区间.
6.函数的最值
前提
设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
（1）对于任意x∈I，都有f（x）≤M；
（2）存在x0∈I，使得f（x0）＝M
（3）对于任意x∈I，都有f（x）≥M；
（4）存在x0∈I，使得f（x0）＝M
结论
M为最大值
M为最小值
7.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝f（x），那么函数f（x）是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝－f（x），那么函数f（x）是奇函数
关于原点对称
8.函数的周期性
（1）周期函数：
对于函数y＝f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f（x＋T）＝f（x），那么就称函数y＝f（x）为周期函数，称T为这个函数的周期.
（2）最小正周期：
如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期.
9.幂函数
（1）幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.
（2）常见的5种幂函数的图象
（3）幂函数的性质
①幂函数在（0，＋∞）上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点（1，1）和（0，0），且在（0，＋∞）上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点（1，1），且在（0，＋∞）上单调递减.
★★★★指数函数与对数函数★★★★
1.根式
（1）概念：
式子
叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
（2）性质：
（
）n＝a（a使
有意义）；当n为奇数时，
＝a，当n为偶数时，
＝|a|＝
2.分数指数幂
（1）规定：
正数的正分数指数幂的意义是
＝
（a>0，m，n∈N*，且n>1）；正数的负分数指数幂的意义是
＝
（a>0，m，n∈N*，且n>1）；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
（2）有理指数幂的运算性质：
aras＝ar+s；（ar）s＝ars；（ab）r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
3.指数函数及其性质
（1）概念：
函数y＝ax（a>0且a≠1）叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.
（2）指数函数的图象与性质
a>1
0图象
定义域
R
值域
（0，＋∞）
性质
过定点（0，1），即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1；
当x<0时，0当x<0时，y>1；
当x>0时，0在（－∞，＋∞）上是增函数
在（－∞，＋∞）上是减函数
4.对数的概念
如果ax＝N（a>0，且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
5.对数的性质、换底公式与运算性质
（1）对数的性质：
①alogaN＝N；②logaab＝b（a>0，且a≠1）.
（2）对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga（MN）＝logaM＋logaN；
②loga
＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM（n∈R）；
④logamMn＝
logaM（m，n∈R，且m≠0）.
（3）换底公式：
logbN＝
（a，b均大于零且不等于1）.
6.对数函数及其性质
（1）概念：
函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，＋∞）.
（2）对数函数的图象与性质
a>1
0图象
性质
定义域：
（0，＋∞）
值域：
R
当x＝1时，y＝0，即过定点（1，0）
当x>1时，y>0；
当0当x>1时，y<0；
当00
在（0，＋∞）上是增函数
在（0，＋∞）上是减函数
7.反函数
指数函数y＝ax（a>0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a>0，且a≠1）互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.
8.函数的零点
（1）函数零点的概念
对于函数y＝f（x），把使f（x）＝0的实数x叫做函数y＝f（x）的零点.
（2）函数零点与方程根的关系
方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点.
（3）零点存在性定理
如果函数y＝f（x）满足：
①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f（a）·f（b）<0；则函数y＝f（x）在（a，b）上存在零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的根.
9.几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f（x）＝ax＋b（a、b为常数，a≠0）
二次函数模型
f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）
与指数函数相关模型
f（x）＝bax＋c（a，b，c
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