版高考数学文大一轮优选全国通用版讲义第15讲导数与函数的极值+Word版含答案.docx

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版高考数学文大一轮优选全国通用版讲义第15讲导数与函数的极值+Word版含答案

第15讲　导数与函数的极值、最值

考纲要求

考情分析

命题趋势

了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.

2017·北京卷，20

2017·江苏卷，20

2016·全国卷Ⅰ，21

2016·天津卷，20

利用导数求函数的极值、最值是高考中的热点问题、高频考点，题型有求函数的极值、最值和已知函数的极值、最值求参数值或取值范围，难度较大.

分值：

5～8分

1．函数的极值

（1）函数的极小值

若函数y＝f（x）在点x＝a处的函数值f（a）比它在点x＝a附近其他点的函数值__都小__，且f′（a）＝0，而且在点x＝a附近的左侧__f′（x）<0__，右侧__f′（x）>0__，则点x＝a叫做函数的极小值点，f（a）叫做函数的极小值．

（2）函数的极大值

若函数y＝f（x）在点x＝b处的函数值f（b）比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，且f′（b）＝0，而且在点x＝b附近的左侧__f′（x）>0__，右侧__f′（x）<0__，则点x＝b叫做函数的极大值点，f（b）叫做函数的极大值，极大值和极小值统称为极值．

2．函数的最值

（1）函数f（x）在[a，b]上有最值的条件

一般地，如果在区间[a，b]上，函数y＝f（x）的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．若函数f（x）在[a，b]上单调递增，则f（a）为函数的最小值，f（b）为函数的最大值；若函数f（x）在[a，b]上单调递减，则f（a）为函数的最大值，f（b）为函数的最小值．

（2）求函数y＝f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤

①求函数y＝f（x）在（a，b）内的极值；

②将函数y＝f（x）的各极值与端点处的函数值f（a），f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

1．思维辨析（在括号内打“√”或“×”）．

（1）函数f（x）在区间（a，b）内一定存在最值．（　×　）

（2）函数的极大值一定比极小值大．（　×　）

（3）对可导函数f（x），f′（x0）＝0是x0为极值点的充要条件．（　×　）

（4）函数的最大值不一定是极大值，最小值也不一定是极小值．（　√　）

2．若函数f（x）＝asinx－x在x＝

处有最值，那么a＝（　A　）

A．2　　　B．1　　　

C．

　　　D．0

解析　f′（x）＝acosx－1（x∈R），又f（x）在x＝

处有最值，故x＝

是函数f（x）的极值点，所以f′

＝acos

－1＝0，即a＝2.故选A．

3．函数y＝x·e－x，x∈[0,4]的最小值为（　A　）

A．0　　　B．

C．

　　　D．

解析　∵y′＝e－x－xe－x＝e－x（1－x），令y′＝0，则x＝1，而f

（1）＝

>0，f（0）＝0，f（4）＝

>0，∴最小值为0.故选A．

4．若函数f（x）＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a＝（　D　）

A．2　　　B．3　　　　

C．4　　　D．5

解析　∵f′（x）＝3x2＋2ax＋3，f′（－3）＝0，∴a＝5.

5．设函数f（x）＝xex，则（　D　）

A．x＝1为f（x）的极大值点

B．x＝1为f（x）的极小值点

C．x＝－1为f（x）的极大值点

D．x＝－1为f（x）的极小值点

解析　求导得f′（x）＝ex＋xex＝ex（x＋1），令f′（x）＝ex（x＋1）＝0，解得x＝－1，易知x＝－1是函数f（x）的极小值点．

一　利用导数研究函数的极值

利用导数研究函数极值问题的步骤

【例1】已知函数f（x）＝x－alnx（a∈R）．

（1）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在点A（1，f

（1））处的切线方程；

（2）求函数f（x）的极值．

解析　函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝1－

.

（1）当a＝2时，f（x）＝x－2lnx，f′（x）＝1－

（x>0），因而f

（1）＝1，f′

（1）＝－1，∴曲线y＝f（x）在点A（1，f

（1））处的切线方程为y－1＝－（x－1），即x＋y－2＝0.

（2）由f′（x）＝1－

＝

（x>0）可知

①当a≤0时，f′（x）>0，函数f（x）为（0，＋∞）上的增函数，函数f（x）无极值．

②当a>0时，由f′（x）＝0，解得x＝a.

又当x∈（0，a）时，f′（x）<0；当x∈（a，＋∞）时，f′（x）>0，

∴函数f（x）在x＝a处取得极小值，且极小值为f（a）＝a－alna，无极大值．

综上所述，当a≤0时，函数f（x）无极值；当a>0时，函数f（x）在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值．

【例2】设函数f（x）＝lnx－

ax2－bx，若x＝1是f（x）的极大值点，求a的取值范围．

解析　f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝

－ax－b，由f′

（1）＝0，得b＝1－a.∴f′（x）＝

－ax＋a－1＝

＝

.①若a≥0，当00，f（x）单调递增；当x>1时，f′（x）<0，f（x）单调递减，所以x＝1是f（x）的极大值点．②若a<0，由f′（x）＝0，得x＝1或x＝－

.因为x＝1是f（x）的极大值点，所以－

>1，解得－1－1.

故a的取值范围为（－1，＋∞）．

二　利用导数研究函数的最值

求可导函数f（x）在[a，b]上的最大值和最小值的基本步骤

（1）求出函数f（x）在区间（a，b）内的所有极值f（x1），f（x2），…，f（xn）．

（2）计算函数f（x）在区间[a，b]上的两个端点值f（a），f（b）．

（3）对所有的极值和端点值作大小比较．

（4）对比较的结果作出结论：

所有这些值中最大的即是该函数在[a，b]上的最大值，所有这些值中最小的即是该函数在[a，b]上的最小值．

【例3】设f（x）＝－

x3＋

x2＋2ax.

（1）若f（x）在

上存在单调递增区间，求a的取值范围；

（2）当0

，求f（x）在该区间上的最大值．

解析　

（1）由f′（x）＝－x2＋x＋2a＝－

2＋

＋2a，

当x∈

时，f′（x）的最大值为f′

＝

＋2a，令

＋2a>0，得a>－

.所以，当a>－

时，f（x）在

上存在单调递增区间．

（2）令f′（x）＝0，得两根x1＝

，x2＝

.

所以f（x）在（－∞，x1），（x2，＋∞）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增．

当0

（1）＝－

＋6a<0，即f（4）

（1）．

所以f（x）在[1,4]上的最小值为f（4）＝8a－

＝－

，

得a＝1，x2＝2，从而f（x）在[1,4]上的最大值为f

（2）＝

.

1．设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y＝（1－x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（　D　）

A．函数f（x）有极大值f

（2）和极小值f

（1）

B．函数f（x）有极大值f（－2）和极小值f

（1）

C．函数f（x）有极大值f

（2）和极小值f（－2）

D．函数f（x）有极大值f（－2）和极小值f

（2）

解析　由题图可知，当x<－2时，f′（x）>0；当－22时，f′（x）>0.由此可以得到函数f（x）在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．故选D．

2．函数f（x）＝x（x－m）2在x＝1处取得极小值，则m＝__1__.

解析　f′（x）＝（x－m）2＋2x（x－m）＝（x－m）（3x－m）．

∵f（x）＝x（x－m）2在x＝1处取得极小值，

∴f′

（1）＝0，即（1－m）（3－m）＝0，解得m＝1或m＝3.

当m＝1时，f′（x）＝（x－1）（3x－1）．

当

当x>1时，f′（x）>0，

∴f（x）在x＝1处取得极小值，即m＝1符合题意．

当m＝3时，f′（x）＝（x－3）（3x－3）＝3（x－1）（x－3）．

当x<1时，f′（x）>0；

当1

∴f（x）在x＝1处取得极大值，不符合题意，即m≠3.综上，m＝1.

3．已知函数f（x）＝ex（ax＋b）－x2－4x，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝4x＋4.

（1）求a，b的值；

（2）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的单调区间和极值．

解析　

（1）f′（x）＝ex（ax＋b）＋aex－2x－4＝ex（ax＋b＋a）－2x－4.

由已知，得

即

解得

（2）由

（1）知f（x）＝4ex（x＋1）－x2－4x，

f′（x）＝ex（4x＋8）－2x－4＝4（x＋2）

.

令f′（x）＝0，得x＝－2或x＝－ln2.

令f′（x）<0，得

或

解得－2

令f′（x）>0，得

或

解得x<－2或x>－ln2.

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如表所示.

x

（－∞，－2）

－2

（－2，－ln2）

－ln2

（－ln2，＋∞）

f′（x）

＋

0

－

0

＋

f（x）

单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增

由上表可知，函数f（x）的单调增区间为（－∞，－2）和（－ln2，＋∞），单调减区间为（－2，－ln2），极大值为f（－2）＝4（1－e－2），极小值为f（－ln2）＝2＋2ln2－（ln2）2.

4．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f（x）在点x＝1处的切线为l：

3x－y＋1＝0，若x＝

时，y＝f（x）有极值．

（1）求a，b，c的值；

（2）求y＝f（x）在[－3,1]上的最大值和最小值．

解析　

（1）由f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′（x）＝3x2＋2ax＋b.

当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0，①

当x＝

时，y＝f（x）有极值，则f′

＝0，

可得4a＋3b＋4＝0，②

由①②，解得a＝2，b＝－4.

由于切点的横坐标为1，所以f

（1）＝4，所以1＋a＋b＋c＝4，得c＝5.

（2）由

（1）可得f（x）＝x3＋2x2－4x＋5，f′（x）＝3x2＋4x－4.

令f′（x）＝0，解得x1＝－2，x2＝

.

当x变化时，f′（x），f（x）的取值及变化情况如表所示.

x

－3

（－3，－2）

－2

1

f′（x）

＋

0

－

0

＋

f（x）

8

单调递增

13

单调递减

单调递增

4

所以y＝f（x）在[－3,1]上的最大值为13，最小值为

.

错因分析：

对参数的分类讨论不完全．

【例1】已知函数f（x）＝（4x2＋4ax＋a2）

，其中a<0.

（1）当a＝－4时，求f（x）的单调递增区间；

（2）若f（x）在区间[1,4]上的最小值为8，求a的值．

解析　

（1）当a＝－4时，f（x）＝（4x2－16x＋16）

，

则f′（x）＝

，其中x>0.

由f′（x）>0，得0

或x>2.

故函数f（x）的单调递增区间为

和（2，＋∞）．

（2）f′（x）＝

，a<0.

由f′（x）＝0，得x＝－

或x＝－