高二月考数学试题 含答案.docx

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高二月考数学试题含答案

2019-2020年高二6月月考数学试题含答案

一、选择题（共12小题，共60分）

1．曲线y=在点（1，-）处切线的倾斜角为（）

A．1B．C．D．－

2．由曲线围成的封闭图形面积为（）

A．B．C．D．

3．定义在上的可导函数满足，且，则的解集为（）

A．B．

C．D．

4．点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（）

A．B．C．D．

5．若函数的—个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：

那么方程的一个近似根（精确度为）为（）

A．B．C．D．

6．不等式的解集为（）

A．B．C．D．

7．已知为偶函数，当时，，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是（）

A．B．C．D．

8．已知分别是椭圆的左、右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点，若直线是圆的切线，则椭圆的离心率为（　　）

A．B．C．D．

9．已知双曲线的左右焦点分别为，O为坐标原点，P为双曲线右支上一点，的内切圆的圆心为Q，过作PQ的垂线，垂足为B，则OB的长度为（）

A．B．4C．3D．2

10．中，若，则（）

A．

B．

C．是直角三角形

D．或

11．已知向量满足，与的夹角为，若对一切实数，恒成立，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

12．若圆心在轴上、半径为的圆O位于轴左侧，且与直线相切，则圆O的方程是（）

A．B．

C．D．

第II卷（非选择题）

二、填空题（4小题，共20分）

13．在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，M是BC的中点，N在线段AM上，且BN⊥AM，则向量在向量上的投影为.

14．已知函数在其定义域上不单调，则实数的取值范围是．

15．已知为正三角形内一点，且满足，若的面积与的面积之比为3，则___________．

16．已知等差数列的前项和为，若，则的最小值为_________．

三、解答题（8小题，共70分）

17．当时，证明。

18．已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若不等式在区间，内恒成立，求实数的取值范围；

（3）求证：

为自然对数的底数）.

19．已知若使得成立，求实数的取值范围.

20．有以下三个不等式：

；

；

.

请你观察这三个不等式，猜想岀一个一般性的结论，并证明你的结论.

21．已知函数在处的切线与直线垂直，函数.

（1）求实数的值；

（2）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；

（3）设是函数的两个极值点，若，求的最小值.

22．已知函数在处的切线与直线垂直，函数．

（1）求实数的值；

（2）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；

（3）设是函数的两个极值点，若，求的最小值．

23．已知函数.

（1）解不等式；

（2）若存实数使得，求实数的取值范围.

24．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．

（1）分别将曲线的参数方程和直线的极坐标方程化为直角坐标系下的普通方程；

（2）动点在曲线上，动点在直线上，定点的坐标为，求的最小值．

参考答案

1．B

【解析】

试题分析：

则故选B．

考点：

1、导数的几何意义；2、函数的求导．

2．A

【解析】

试题分析：

由图知，封闭图形面积

故选A.

考点：

1、定积分的应用；2、幂函数的图像．

3．A

【解析】

试题分析：

因为，所以，令，则为上的减函数，又因为，所以，所以的解为即的解集为，故选A.

考点：

利用导数研究函数的单调性及不等式的解法.

【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查考生的推理运算能力，及数学转化与化归的思想，属于基础题.本题解答的关键是把题目条件变形为从而构造函数，并判断出是定义域上是单调递减函数，并求得其零点，不等式的解即图象位于轴下方的的取值范围.

4．D

【解析】

试题分析：

由题意作图如下，当点是曲线的切线中与直线平行的直线的切点时，距离最近.令得，故切点为，由点到直线的距离公式得：

点到直线的距离的最小值为故选D.

考点：

导数几何意义的应用.

5．C

【解析】

试题分析：

由题目条件可知，

，但只有满足给出的精确度，说明方程的近似解在区间上，所以在该区间上的任意值都可以作为方程的近似解，故选C.

考点：

二分法求方程的近似解.

【方法点晴】本题主要考查了二分法求方程近似解的应用，属于基础题.本题解答时应先根据解的存在性定理判断方程近似解所在的区间，这一点根据题目给出的条件容易判断；难点在于取解，即如何利用题目给出的精确度取出方程的近似解，方法是当某个区间的长度（区间的右端点减去左端点）小于给出的精确度时，我们可在该区间上任取一个值作为方程的近似解.

6．C

【解析】

试题分析：

由题意得，，解得或，所以不等式的解集为，故选C．

考点：

分式不等式的求解．

7．D

【解析】

试题分析：

设，则，即，则，则，得或，若，则，即，若，则，即，设，因为函数是偶函数，所以要使得恰有个零点，则等价为当时，函数恰有个零点，作出在上的图象如图，①，②，综上实数的取值范围是，故选D.

考点：

根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质.

【方法点晴】本题主要考查了函数与方程的应用，利用换元法结合函数与方程之间的关系，利用数形结合思想以及分类讨论进行求解是解答的关键，试题综合性强，难度较大，同时着重考查了学生分析问题、解答问题的能力和转化与化归思想的应用，本题的解答中，利用换元化简后，正确作出函数的图象是解答的本题的关键和易错点.

8．A

【解析】

试题分析：

因为直线MF1是圆F2的切线，所以∠F1MF2＝90°，|MF2|＝c.因为|F1F2|＝2c，所以|MF1|＝c.|MF2|＋|MF1|＝2a，a＝，.故选A．

考点：

椭圆的定义与几何性质．

9．D

【解析】

试题分析：

根据题意得，设的内切圆分别与切于点，与切于点A，则，，又点P在双曲线右支上，∴，

∴，而，设A点坐标为（x，0），则由，

得（x+c）-（c-x）=2a，解得x=a，∵|OA|=a，∴在中，

考点：

双曲线的简单性质

10．D

【解析】

试题分析：

，因为

代入整理得，解得或，故或，选D.

考点：

解三角形.

11．C

【解析】

试题分析：

由若对一切实数，恒成立，得，即，整理得，把，与的夹角为代入，整理得恒成立，故，解得．

考点：

1、平面向量数量积的运算；2、一元二次不等式的解法与判别式的关系.

【方法点睛】首先由若对一切实数，恒成立，通过两边平方，转化为恒成立，然后把，与的夹角为代入，化简整理成关于的二次方程恒成立问题，根据一元二次不等式的解法与判别式的关系，可得，从而得到关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围.

12．D

【解析】

试题分析：

圆的圆心在横轴上，且半径已知，可假设圆的方程为，因为直线与圆相切，即圆心到直线的距离等于半径，可求得，因为圆在纵轴的左侧，则必有，所以，则圆的方程为，正确选项为D．

考点：

圆的标准方程及其切线性质.

13．

【解析】以A为原点、AB所在直线为轴建立直角坐标系，则A（0,0），B（3,0），C（1，），所以，设=，∴=，因为，所以=，解得，所以，所以==，所以向量在向量上的投影为=.

【命题意图】本题主要考查向量的线性运算及向量数量积的应用，考查运算求解能力，是基础题.

14．

【解析】

试题分析：

因为函数在其定义域上不单调，所以存在变号零点，故，解得.

考点：

利用导数研究函数的单调性.

15．

【解析】

试题分析：

由，即，如图所示，分别是对应边的中点，由平行四边形法则可知，所以，在中，因为

，且与同底边，所以点到底边的距离等于到的距离的，所以，所以．

考点：

平面向量的共线定理和向量的化简．

16．

【解析】

试题分析：

因为，，因为，所以，又因为，所以，所以，所以，所以的最小值为．

考点：

等差数列的前项和．

17．证明见解析．

【解析】

试题分析：

原不等式变形为因为不等式两边同除以x,得到不等式构造新函数和则问题转化为上证故只需求出的最小值和的最大值即可.

试题解析：

令由

（2）知令，

当时，在上单调递增∴

∴

即

考点：

1、应用导数求函数的单调性；2、应用导数求函数的最值．

18．

（1）的单调递增区间为，单调递减区间为；

（2）；（3）证明见解析.

【解析】

试题分析：

（1）求出的导数，并求出其零点和符号变化情况，即可得到其在上的单调性；

（2）不等式即，利用导数在研究其单调性的基础上，得到其最大值，即得的范围；（3）根据要证明不等式的形式，利用

（2）的结论可得，根据不等式的性质逐项相加，即可得证.

试题解析：

（1），故其定义域为，令，得，

令，得故函数的单调递增区间为单调递减区间为.

（2）令又令解得，当在内变化时，变化如下表

由表知，当时函数有最大值，且最大值为，所以.

（3）由

（2）知，

又

即.

考点：

利用导数研究函数的单调性和极值、最值及不等式的证明.

【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值、最值，属于中档题.研究函数问题，首先要把握好定义域优先的原则，这是研究单调性时最常见的错误，判断符号可以列表也可以串根来解答；第二问解决含参数的函数的恒成立时，能分离参数的优先考虑分离参数，转化为求定函数的最值问题；证明不等式应先分析要证不等式的形式，考虑其前问的结论间的联系，合理构造，利用不等式的性质合理变形达到证明的目的.

19．．

【解析】

试题分析：

分两步求解，要使得成立，则有，利用导数研究其单调性求得最小值；要满足使得成立，应有，根据二次函数知识求出的最大值，从而得到关于的不等式，求得其范围.

试题解析：

，当时，函数递增；当时，函数递减，所以当时，取得极小值即最小值.函数的最大值为,若，使得成立,则有的最大值大于或等于的最小值,即.

考点：

存在性量词与不等式的有解问题．

【方法点睛】本题主要考查了存在性量词与不等式的有解问题，属于中档题.含有存在性量词的命题通常转化为有解问题，进一步转化为函数的最值来解答.本题解答的难点是含有两个量词，解答时，先把其中一个函数看成参数，研究另一个的最值，再来解决另一个的最值，从而得到要求参数的不等式，求得其范围.

20．，证明见解析．

【解析】

试题分析：

根据题意，观察各式得其规律，用将将规律表示出来，再利用规律进行作差比较进行证明即可.

试题解析：

结论为：

证明：

，所以

考点：

归纳推理．

21．

（1）；

（2）；（3）.

【解析】

试题分析：

（1）由于，利用导数的几何意义和两直线垂直时斜率间的关系即可求得的值；

（2）由已知得，由于，题意可知在上有解，根据二次函数知识即可求得实数的取值范围；（3）由

，整理可得

，可设，由可得，则，利用导数即可求得的最小值.

试题解析：

（1），

垂直，，

（2）

设，则只须

的取值范围为

（3）令

，

又

，令

，

故的最小值为

考点：

导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性和极值、最值.

【方法点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的极值、最值等，着重考查了学生转化与化归及构造的思想等,属于难题.第一问考查了导数的几何意义，函数图象上某点的导数就是曲线在该点的切线的斜率；第二问结合函数的定义域把有解问题转化为一元二次不等式有解问题，根据三个二次之间的关系来解答；第三问是本题的难点，首先是通过换元构造新函数，这个过程中要注意函数的结构特点，把作为“新元”，其次是根据的范围与的关系求得“新元”范围及新函数的定义域，最后再利用导数求得函数最小值.

22．

（1）；

（2）；（3）.

【解析】

试题分析：

（1）由于，利用导数的几何意义和两直线垂直时斜率间的关系即可求得的值；

（2）由已知得，由于，题意可知在上有解，根据二次函数知识即可求得实数的取值范围；（3）由

，整理可得

，可设，由可得，则，利用导数即可求得的最小值.

试题解析：

（1），

垂直，，

（2）

设，则只须

的取值范围为

（3）令

，

又

，令

，

故的最小值为

考点：

导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性和极值、最值.

【方法点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的极值、最值等，着重考查了学生转化与化归及构造的思想等,属于难题.第一问考查了导数的几何意义，函数图象上某点的导数就是曲线在该点的切线的斜率；第二问结合函数的定义域把有解问题转化为一元二次不等式有解问题，根据三个二次之间的关系来解答；第三问是本题的难点，首先是通过换元构造新函数，这个过程中要注意函数的结构特点，把作为“新元”，其次是根据的范围与的关系求得“新元”范围及新函数的定义域，最后再利用导数求得函数最小值.

23．

（1）；

（2）.

【解析】

试题分析：

（1）化简函数的解析式，分类讨论，求得不等式的解集；

（2）不等式，由题意得，不等式有解，根据绝对值的意义可得，故有，由此求得的范围.

试题解析：

（1）或或

解得或,解集为.

（2）

，，所以只需满足.

考点：

绝对值不等式的求解与绝对值的几何意义.

24．

（1），；

（2）．

【解析】

试题分析：

（1）消去参数，根据三角函数的基本关系式，即可得到曲线的普通方程；利用极坐标与直角坐标的对应关系得到直线的普通方程；

（2）求出点关于直线的对称点，则的最小为到圆心的距离减去曲线的半径．

试题解析：

（1）由曲线的参数方程可得，

所以曲线的普通方程为．

由直线的极坐标方程：

，可得，即．

（2）设点关于直线的对称点为，有：

，解得：

由

（1）知，曲线为圆，圆心坐标为，故

．

当四点共线时，且在之间时，等号成立，所以的最小值为．

考点：

参数方程，极坐标方程与普通方程的互化、对称点的求解．

【方法点晴】本题主要考查了参数方程、极坐标方程与普通方程的互化、对称点的求解及最短距离的求法，属于中档试题，同时着重考查了转化与化归思想和数形结合思想的应用，本题的解答中求出点关于直线的对称点，则的最小为到圆心的距离减去曲线的半径，是解答第二问的关键，对于与圆有关的最值问题，要注意转化思想的应用，平时应注意总结．