届广西桂林崇左贺州市高三高考联合调研考试数学理试题解析.docx

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届广西桂林崇左贺州市高三高考联合调研考试数学理试题解析

2022届广西桂林、崇左、贺州市高三3月高考联合调研考试数学(理)试题

一、单选题

1.已知集合

,则

(       )

A.

B.

C.

D.

答案:

A

【分析】先化简集合B,再利用集合的交集运算求解.

解:

因为集合

所以

故选:

A

2.在复平面内,复数

的共轭复数对应的点位于

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案:

D

解:

分析:

将复数化为最简形式,求其共轭复数,找到共轭复数在复平面的对应点,判断其所在象限.

详解:

的共轭复数为

对应点为

,在第四象限,故选D.

点睛:

此题考查复数的四则运算,属于送分题,解题时注意审清题意,切勿不可因简单导致马虎丢分.

3.已知等差数列

的公差为1,

为其前

项和,若

,则

(       )

A.

B.1C.

D.2

答案:

D

【分析】先求得

,然后求得

.

解:

依题意

.

故选:

D

4.设函数

上存在导函数

的图象在点

处的切线方程为

,那么

(       )

A.1B.2C.3D.4

答案:

C

【分析】求出

即得解.

解:

解:

由题得

所以

.

故选:

C

5.随机变量

的分布列为

0

1

等于(       )A.

B.

C.

D.

答案:

C

【分析】根据随机变量X的概率和为1求得答案.

解:

.

故选:

C

6.在

中,内角

的对边分别为

,若

,则

的形状一定为(       )

A.等腰三角形非直角三角形B.直角三角形非等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等边三角形

答案:

C

【分析】利用正弦定理化简

可得

再根据

可得

.

解:

与正弦定理有

因为

.

.又

.故

一定是等腰直角三角形.

故选:

C

7.长方体

的体积是120,若E为

的中点,则三棱锥

的体积为(       )

A.10B.20C.30D.40

答案:

A

【分析】利用棱锥、棱柱的体积关系即可求得.

解:

故选:

A.

8.已知

,则

等于(       )

A.

B.

C.

D.

答案:

C

【分析】运用诱导公式即可.

解:

.

故选:

C

9.已知圆

过点

且与直线

相切,则圆心

的轨迹方程为(       )

A.

B.

C.

D.

答案:

B

设圆心

,由圆心到

点距离等于圆心到切线的距离列式化简可得.

解:

设圆心

,据题意有

化简有

故选:

B.

本题考查求轨迹方程,解题方法是直接法.

10.已知

为双曲线

的左焦点,若双曲线右支上存在一点

,使直线

与圆

相切,则双曲线离心率的取值范围是(       )

A.

B.

C.

D.

答案:

A

【分析】根据直线

与圆

相切以及直线

与渐近线

的斜率的关系列不等式,化简求得离心率的取值范围.

解:

依题意可知,直线

的斜率存在,设直线

的方程为

的圆心为

,半径

圆心到直线

的距离

两边平方并化简得

双曲线

的一条渐近线为

由于

在双曲线的右支,所以

.

故选:

A

11.四面体

的四个顶点都在球

的球面上,

,且平面

平面

,则球

的表面积为

A.

B.

C.

D.

答案:

B

解:

如图,

分别为

的中点,易知球心

点在线段

上,因为

,则

.又∵平面

平面

,平面

平面

=BC,∴

平面ABC,∴

,∴

.因为

点是

的中点,∴

,且

设球心

的半径为

,则

,在

中,有

,在

中,有

,解得

,所以

,故选B.

本题主要考查球内接多面体,球的表面积,属于中档题,其中依据题意分析出球心

必位于两垂直平面的交线上,然后再利用勾股定理,即可求出球的半径,进而可求出球的表面积,此类题目主要灵活运用线面垂直的判定及性质,面面垂直的判定及性质是解题的关键.

12.函数

的导函数为

,对

,都有

成立,若

,则不等式

的解集是(       )

A.

B.

C.

D.

答案:

B

【分析】构造函数

,利用导数可判断

的单调性,再根据

,求得

,再根据不等式

,结合函数的单调性,即可求出结果.

解:

,都有

成立,∴

,则于是有

所以

上单调递增,

,∴

∵不等式

,即不等式

的解集是

.

故选:

B.

二、填空题

13.若函数

满足

,则

等于___________.

答案:

【分析】由

可得

,带入即可得解.

解:

可得

所以

.

故答案为:

.

14.已知向量

,满足

,若

,则向量

与向量

的夹角为____.

答案:

先根据

,再根据向量夹角公式计算即可得答案.

解:

解:

,∴

,即

.

故答案为:

15.

的展开式中,常数项为___________.

答案:

16

【分析】结合二项式展开式的通项公式求得常数项,

解:

的展开式中,

常数项为

.

故答案为:

16.为积板应对新冠肺炎疫情,提高大家对新冠肺炎的认识,某企业举办了“抗击疫情,共克时艰”预防新冠肺炎知识竞赛,知识竞赛规则如下:

在预设的6个问题中,选手若能连续正确回答出3个问题,即停止答题,晋级下一轮.假定某选手正确回答每个问题的概率都是

,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手至少回答了5个问题晋级下一轮的概率等于________.

答案:

【分析】讨论该选手恰好回答了5个问题或6个问题晋级下一轮两种情况进行计算,即得结果.

解:

根据题意,若该选手恰好回答了5个问题晋级下一轮,则必有第2个问题问答错误,第3,4,5个问题问答正确,第1个问题可对可错,故所求概率为

若该选手恰好回答了6个问题晋级下一轮,则第4,5,6个问题问答正确,第3个问题回答错误,前2个问题可对可错,故所求概率为

.

故该选手至少回答了5个问题晋级下一轮的概率等于

.

故答案为:

.

三、解答题

17.记

为等差数列

的前

项和,已知公差

,且

成等比数列.

(1)求数列

的通项公式;

(2)若

为数列

的前

项和,求

.

答案:

(1)

(2)

【分析】

(1)根据已知,利用基本量法求得首项和公差,即可求得数列的通项公式;

(2)利用裂项相消法求和即可.

(1)

解:

由题意可得

又因为

,所以

所以

(2)

解:

因为

所以

.

18.如图,在四棱锥

中,底面

是平行四边形,

,侧面

底面

分别为

的中点,点

在线段

上.

(1)求证:

平面

(2)如果直线

与平面

所成的角和直线

与平面

所成的角相等,求

的值.

答案:

(1)证明见解析;

(2)

【分析】

(1)通过证明

来证得

,通过证明

底面

来证得

,由此证得

平面

.

(2)建立空间直角坐标系,设

,由“直线

与平面

所成的角和此直线与平面

所成的角相等”列方程,解方程求得

的值.

解:

(1)在平行四边形

中,因为

所以

.由

分别为

的中点,得

所以

因为侧面

底面

,且交线为

,而

,所以

底面

又因为

底面

,所以

又因为

平面

平面

所以

平面

(2)因为

底面

,所以

两两垂直,

分别为

,建立空间直角坐标系,

所以

,则

所以

平面

的法向量

设平面

的法向量为

,由

,得

,得

因为直线

与平面

所成的角和此直线与平面

所成的角相等,

所以

,即

,所以

解得

,或

(舍).综上所得:

.

19.(理)某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制,已知所有这些学生的原始成绩均分布在

内,发布成绩使用等级制各等级划分标准见下表,规定:

三级为合格等级,

为不合格等级.

百分制

85分及以上

70分到84分

60分到69分

60分以下

等级

为了解该校高一年级学生身体素质情况,从中抽取了

名学生的原始成绩作为样本进行统计,按照

的分组作出频率分布直方图如图所示,样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图所示.,

(1)求

和频率分布直方图中的

的值;

(2)根据样本估计总体的思想,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,若在该校高一学生任选3人,求至少有1人成绩是合格等级的概率;

(3)在选取的样本中,从

两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研,记

表示所抽取的

名学生中为

等级的学生人数,求随机变量

的分布列及数学期望.

答案:

(1)

(2)

(3)分布列见解析,期望为

【分析】1)根据茎叶图得

人数,再根据频率分布直方图得

概率,最后根据频数、总数与频率关系得

根据茎叶图得

人数,根据频数、总数与频率关系得

概率,最后根据频率分布直方图求

根据所有频率和为1得

概率,再根据频率分布直方图频率求

(2)先求无合格等级的事件概率,再根据对立事件求结果,(3)先确定随机变量取法,再分别求对应概率,列表得分布列,最后根据数学期望公式求结果.

解:

(1)

(2)设至少有1人成绩是合格等级的事件为

(3)由题意可知

等级的学生人数为

人,

等级的学生人数为3人,故

的取值为

.

所以

的分布列为:

求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为:

第一步是“判断取值”,第二步是“探求概率”,第三步是“写分布列”,第四步是“求期望值”.

20.已知椭圆

的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.

(1)求椭圆

的标准方程;

(2)设

为椭圆

的左焦点,

为直线

上任意一点,过

的垂线交椭圆

于点

.试判断

是否平分线段

(其中

为坐标原点),并求当

取最小值时点

的坐标.

答案:

(1)

(2)OT平分线段PQ,点T的坐标为

【分析】

(1)依题意得到方程组,求出

,即可得解;

(2)设

,PQ的中点为

,直线PQ的方程为

,当

时,求出

的坐标,当

时,联立直线与椭圆方程,消元、列出韦达定理,即可得到

的坐标,即可得到

即可得到O,N,T三点共线,从而OT平分线段PQ,再由弦长公式得到

,即可得到

,令

,即可得到

再利用基本不等式计算可得;

(1)

解:

依题意有

,解得

所以椭圆C的标准方程为

(2)

解:

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