届广西桂林崇左贺州市高三高考联合调研考试数学理试题解析.docx
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届广西桂林崇左贺州市高三高考联合调研考试数学理试题解析
2022届广西桂林、崇左、贺州市高三3月高考联合调研考试数学(理)试题
一、单选题
1.已知集合
,
,则
( )
A.
B.
C.
D.
答案:
A
【分析】先化简集合B,再利用集合的交集运算求解.
解:
因为集合
,
,
所以
,
故选:
A
2.在复平面内,复数
的共轭复数对应的点位于
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
答案:
D
解:
分析:
将复数化为最简形式,求其共轭复数,找到共轭复数在复平面的对应点,判断其所在象限.
详解:
的共轭复数为
对应点为
,在第四象限,故选D.
点睛:
此题考查复数的四则运算,属于送分题,解题时注意审清题意,切勿不可因简单导致马虎丢分.
3.已知等差数列
的公差为1,
为其前
项和,若
,则
( )
A.
B.1C.
D.2
答案:
D
【分析】先求得
,然后求得
.
解:
依题意
.
故选:
D
4.设函数
在
上存在导函数
,
的图象在点
处的切线方程为
,那么
( )
A.1B.2C.3D.4
答案:
C
【分析】求出
即得解.
解:
解:
由题得
,
,
所以
.
故选:
C
5.随机变量
的分布列为
0
1
则
等于( )A.
B.
C.
D.
答案:
C
【分析】根据随机变量X的概率和为1求得答案.
解:
.
故选:
C
6.在
中,内角
的对边分别为
,若
,则
的形状一定为( )
A.等腰三角形非直角三角形B.直角三角形非等腰三角形
C.等腰直角三角形D.等边三角形
答案:
C
【分析】利用正弦定理化简
可得
再根据
可得
.
解:
由
与正弦定理有
即
故
因为
故
故
.
又
故
.又
故
故
.故
一定是等腰直角三角形.
故选:
C
7.长方体
的体积是120,若E为
的中点,则三棱锥
的体积为( )
A.10B.20C.30D.40
答案:
A
【分析】利用棱锥、棱柱的体积关系即可求得.
解:
,
故选:
A.
8.已知
,则
等于( )
A.
B.
C.
D.
答案:
C
【分析】运用诱导公式即可.
解:
.
故选:
C
9.已知圆
过点
且与直线
相切,则圆心
的轨迹方程为( )
A.
B.
C.
D.
答案:
B
设圆心
,由圆心到
点距离等于圆心到切线的距离列式化简可得.
解:
设圆心
,据题意有
,
化简有
.
故选:
B.
本题考查求轨迹方程,解题方法是直接法.
10.已知
为双曲线
的左焦点,若双曲线右支上存在一点
,使直线
与圆
相切,则双曲线离心率的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
答案:
A
【分析】根据直线
与圆
相切以及直线
与渐近线
的斜率的关系列不等式,化简求得离心率的取值范围.
解:
依题意可知,直线
的斜率存在,设直线
的方程为
,
即
,
圆
的圆心为
,半径
,
圆心到直线
的距离
,
两边平方并化简得
,
双曲线
的一条渐近线为
,
由于
在双曲线的右支,所以
,
即
,
,
.
故选:
A
11.四面体
的四个顶点都在球
的球面上,
,且平面
平面
,则球
的表面积为
A.
B.
C.
D.
答案:
B
解:
如图,
分别为
的中点,易知球心
点在线段
上,因为
,则
.又∵平面
平面
,平面
平面
=BC,∴
平面ABC,∴
,∴
.因为
点是
的中点,∴
,且
.
设球心
的半径为
,
,则
,在
中,有
,在
中,有
,解得
,所以
,故选B.
本题主要考查球内接多面体,球的表面积,属于中档题,其中依据题意分析出球心
必位于两垂直平面的交线上,然后再利用勾股定理,即可求出球的半径,进而可求出球的表面积,此类题目主要灵活运用线面垂直的判定及性质,面面垂直的判定及性质是解题的关键.
12.函数
的导函数为
,对
,都有
成立,若
,则不等式
的解集是( )
A.
B.
C.
D.
答案:
B
【分析】构造函数
,利用导数可判断
的单调性,再根据
,求得
,再根据不等式
,结合函数的单调性,即可求出结果.
解:
∵
,都有
成立,∴
,
令
,则于是有
,
所以
在
上单调递增,
∵
,∴
,
∵不等式
,
∴
,即不等式
的解集是
.
故选:
B.
二、填空题
13.若函数
满足
,则
等于___________.
答案:
【分析】由
可得
,带入即可得解.
解:
令
可得
,
所以
.
故答案为:
.
14.已知向量
,满足
,若
,则向量
与向量
的夹角为____.
答案:
先根据
得
,再根据向量夹角公式计算即可得答案.
解:
解:
∵
,∴
,即
,
∴
,
∴
,
∴
.
故答案为:
.
15.
的展开式中,常数项为___________.
答案:
16
【分析】结合二项式展开式的通项公式求得常数项,
解:
的展开式中,
常数项为
.
故答案为:
16.为积板应对新冠肺炎疫情,提高大家对新冠肺炎的认识,某企业举办了“抗击疫情,共克时艰”预防新冠肺炎知识竞赛,知识竞赛规则如下:
在预设的6个问题中,选手若能连续正确回答出3个问题,即停止答题,晋级下一轮.假定某选手正确回答每个问题的概率都是
,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手至少回答了5个问题晋级下一轮的概率等于________.
答案:
【分析】讨论该选手恰好回答了5个问题或6个问题晋级下一轮两种情况进行计算,即得结果.
解:
根据题意,若该选手恰好回答了5个问题晋级下一轮,则必有第2个问题问答错误,第3,4,5个问题问答正确,第1个问题可对可错,故所求概率为
;
若该选手恰好回答了6个问题晋级下一轮,则第4,5,6个问题问答正确,第3个问题回答错误,前2个问题可对可错,故所求概率为
.
故该选手至少回答了5个问题晋级下一轮的概率等于
.
故答案为:
.
三、解答题
17.记
为等差数列
的前
项和,已知公差
,
,且
,
,
成等比数列.
(1)求数列
的通项公式;
(2)若
为数列
的前
项和,求
.
答案:
(1)
(2)
【分析】
(1)根据已知,利用基本量法求得首项和公差,即可求得数列的通项公式;
(2)利用裂项相消法求和即可.
(1)
解:
由题意可得
,
又因为
,所以
,
所以
;
(2)
解:
因为
,
所以
.
18.如图,在四棱锥
中,底面
是平行四边形,
,侧面
底面
,
,
,
,
分别为
,
的中点,点
在线段
上.
(1)求证:
平面
;
(2)如果直线
与平面
所成的角和直线
与平面
所成的角相等,求
的值.
答案:
(1)证明见解析;
(2)
.
【分析】
(1)通过证明
来证得
,通过证明
底面
来证得
,由此证得
平面
.
(2)建立空间直角坐标系,设
,由“直线
与平面
所成的角和此直线与平面
所成的角相等”列方程,解方程求得
的值.
解:
(1)在平行四边形
中,因为
,
,
所以
.由
,
分别为
,
的中点,得
,
所以
.
因为侧面
底面
,且交线为
,而
,所以
底面
.
又因为
底面
,所以
.
又因为
,
平面
,
平面
,
所以
平面
.
(2)因为
底面
,
,所以
,
,
两两垂直,
以
,
,
分别为
、
、
,建立空间直角坐标系,
则
,
,
,
,
,
,
所以
,
,
,
设
,则
,
所以
,
,
平面
的法向量
.
设平面
的法向量为
,由
,
,得
令
,得
.
因为直线
与平面
所成的角和此直线与平面
所成的角相等,
所以
,即
,所以
,
解得
,或
(舍).综上所得:
.
19.(理)某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制,已知所有这些学生的原始成绩均分布在
内,发布成绩使用等级制各等级划分标准见下表,规定:
三级为合格等级,
为不合格等级.
百分制
85分及以上
70分到84分
60分到69分
60分以下
等级
为了解该校高一年级学生身体素质情况,从中抽取了
名学生的原始成绩作为样本进行统计,按照
的分组作出频率分布直方图如图所示,样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图所示.,
(1)求
和频率分布直方图中的
的值;
(2)根据样本估计总体的思想,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,若在该校高一学生任选3人,求至少有1人成绩是合格等级的概率;
(3)在选取的样本中,从
两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研,记
表示所抽取的
名学生中为
等级的学生人数,求随机变量
的分布列及数学期望.
答案:
(1)
;
,
(2)
(3)分布列见解析,期望为
【分析】1)根据茎叶图得
人数,再根据频率分布直方图得
概率,最后根据频数、总数与频率关系得
根据茎叶图得
人数,根据频数、总数与频率关系得
概率,最后根据频率分布直方图求
根据所有频率和为1得
概率,再根据频率分布直方图频率求
(2)先求无合格等级的事件概率,再根据对立事件求结果,(3)先确定随机变量取法,再分别求对应概率,列表得分布列,最后根据数学期望公式求结果.
解:
(1)
;
,
(2)设至少有1人成绩是合格等级的事件为
(3)由题意可知
等级的学生人数为
人,
等级的学生人数为3人,故
的取值为
,
,
,
.
所以
的分布列为:
求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为:
第一步是“判断取值”,第二步是“探求概率”,第三步是“写分布列”,第四步是“求期望值”.
20.已知椭圆
的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.
(1)求椭圆
的标准方程;
(2)设
为椭圆
的左焦点,
为直线
上任意一点,过
作
的垂线交椭圆
于点
和
.试判断
是否平分线段
(其中
为坐标原点),并求当
取最小值时点
的坐标.
答案:
(1)
(2)OT平分线段PQ,点T的坐标为
或
【分析】
(1)依题意得到方程组,求出
、
,即可得解;
(2)设
,
,
,PQ的中点为
,直线PQ的方程为
,当
时,求出
的坐标,当
时,联立直线与椭圆方程,消元、列出韦达定理,即可得到
的坐标,即可得到
、
即可得到O,N,T三点共线,从而OT平分线段PQ,再由弦长公式得到
、
,即可得到
,令
,即可得到
再利用基本不等式计算可得;
(1)
解:
依题意有
,解得
所以椭圆C的标准方程为
(2)
解:
设
,
,