第七章三角形典型题解析.docx
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第七章三角形典型题解析
第七章三角形典型题解析
1、如图所示,将△ABC沿EF折叠,使点C落到点C′处,试探求∠1,∠2与∠C的关系.
解:
∵∠1=180°-2∠CEF,∠2=180°-2∠CFE,
∴∠1+∠2=360°-2（∠CEF+∠CFE）
=360°-2（180°-∠C）=360°-360°+2∠C=2∠C.
2.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC于D,AE平分∠BAC（∠C>∠B）,
试说明∠EAD=
（∠C-∠B）.
解:
∵AD⊥BC,∴∠BDA=90°,∴∠BAD=90°-∠B,
又∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=
∠BAC=
（180°-∠B-∠C）,
∴∠EAD=∠BAD-∠BAE=90°-∠B-
（180°-∠B-∠C）=90°-∠B-90°+
∠B+
∠C
=
∠C-
∠B=
（∠C-∠B）.
3.如图，点A、O、B在同一直线上，点C、O、D在同一直线上，
的平分线交
的平分线于点P
（1）若
，求
的度数；
（2）试归纳
与
之间的关系
解：
（1）在
和
中，有
在
和
中，有
平分
，DP平分
（2）由
（1）知
与
之间的关系为
4．
（1）图
（1），已知△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D，说明∠D=90°+
∠A。
（2）图
（2），在△ABC中，BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的外角平分线，说明∠D=90°-
∠A。
（3）图（3），已知BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，且与BD交于点D，试说明∠A=2∠D。
D
MNE
解：
（1）因为BD平分∠ABC，所以∠DBC＝
∠ABC同理∠DCB＝
∠ACB
因为∠DBC＋∠DCB＋∠BDC＝180°
所以∠BDC＝180°－∠DBC－∠DCB＝180－
（∠ABC＋∠ACB）=180°－
（180°－∠A）
即∠BDC＝90°＋∠A/2
（2）如图，根据三角形内角和性质得：
∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A
∠BDC＝180°－（∠CBD＋∠BCD）
因为BD、CD分别平分∠MBC和∠NCB所以∠CBD＝
∠CBM∠BCD＝
∠BCN
所以∠BDC＝180°－（∠CBD＋∠BCD）＝180°－（
∠CBM＋
∠BCN）
＝180°－
（∠CBM＋∠BCN）
因为∠CBM＝180°－∠ABC，∠BCN＝180°－∠ACB
所以∠BDC＝180°－
（180°－∠ABC＋180°－∠ACB）＝
（∠ABC＋∠ACB）
＝
（180°－∠A）即∠D＝90°－
∠A
（3）∵CD平分∠ACE，BD平分∠ABC∴∠ABC=2∠DBC，∠ACE=2∠DCE
∵∠DCE=∠DBC+∠D∴2∠DCE=2∠DBC+2∠D∴∠ACE=∠ABC+2∠D
∵∠ACE=∠ABC+∠A∴∠A=2∠D
5．如图，△ABC中，角平分线AD、BE、CF相交于点H，过H点作HG⊥AC，垂足为G,那么∠AHE=∠CHG？
为什么？
解：
∵AD、BE、CF分别平分∠CAB、∠ABC、∠BCA。
∴∠HAC+∠HCB+∠HBC=
（∠ABC+∠BCA+∠CAB）=90°，
在△CBH中∠CHE=∠HBC+∠HCB
∴∠CHE+∠HAC=90°，又∠AHG+∠HAC=90°，
∴∠CHE=∠AHG。
6、在△ABC中，∠A=50°，高BE、CF交于点O，且O不与B、C重合，求∠BOC的度数．
方法指导：
锐角三角形的三条高交于三角形内一点，直角三角形三条高的交点与直角顶点重合，钝角三角形三条高交于三角形外一点，题中“O不与B、C重合”，故应分锐角三角形、钝角三角形两种情形分类讨论．
解：
（1）当△ABC为锐角三角形时，如图
（1）所示．
∵BE、CF为△ABC的高，
∴∠AFC=∠AEB=90°．
在Rt△ABC中，∠1=180°—∠A—∠AFC=180°—90°—50°=40°．
∴∠BOC=∠1+∠BEC=40°+90°=130°；
（2）当△ABC为钝角三角形时，如图
（2）所示，
∵BE、CF为△ABC的高，
∴∠AFC=∠BEC=90°．
又∵在Rt△OEC中，∠BOC+∠OCE=180°—∠OEC=90°，
在Rt△AFC中有：
∠A+∠ACF=180°—∠AFC=90°，
∴∠BOC=∠A=50°．
7、如图，已知直线
∥
，且
和
、
分别交于A、B两点，点P在AB上。
（1）试找出∠1、∠2、∠3之间的关系并说出理由；
（2）如果点P在A、B两点之间运动时，问∠1、∠2、∠3之间的关系是否发生变化？
（3）如果点P在A、B两点外侧运动时，试探究∠1、∠2、∠3之间的关系（点P和A、B不重合）
解：
（1）∠２＝∠１＋∠３，理由如下:
过点P作ＰＥ∥
∵ＰＥ∥
（已作）∴∠１＝∠ＤＰＥ
∵ＰＥ∥
，
∥
（已知）∴ＰＥ∥
∴∠３＝∠ＥＰＣ
∵∠２＝∠ＤＰＥ＋∠ＥＰＣ∴∠２＝∠１＋∠３
（2）现已知∠3=∠1+∠2，如果点P在A和B两点之间运动时，∠1、∠2、∠3之间的关系不会发生任何变化。
（3）如果点P在A、B两点的外侧运动时，，∠1、∠2、∠3之间的关系会发生变化。
若P在A上方时，∠3=∠2-∠1，若P在B下方时，∠3=∠1-∠2，
8、在△ABC中，∠A=
（∠B＋∠C）、∠B－∠C=20°，求∠A、∠B、∠C的度数．
分析与解：
∵∠A=
（∠B＋∠C），∠B+∠C=180—∠A，
∵∠A=
（180—∠A），∠A=60°，
∴∠B+∠C=120°，∵∠B－∠C=20°，∴∠B=700，∠C=50°．
9.已知，如图，∠XOY=90°，点A、B分别在射线OX、OY上移动，BE是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，试问∠ACB的大小是否发生变化？
如果保持不变，请给出证明，如果随点A、B移动发生变化，请求出变化范围．
解：
∠C的大小保持不变．理由：
∵∠ABY=90°+∠OAB，AC平分∠OAB，BE平分∠ABY，
∴∠ABE=
∠ABY=
（90°+∠OAB）=45°+
∠OAB，
即∠ABE=45°+∠CAB，
又∵∠ABE=∠C+∠CAB，
∴∠C=45°，故∠ACB的大小不发生变化，且始终保持45°．
10、在四边形ABCD中，若∠A+∠D=160°．
（1）有一块直角三角板XYZ放置在四边形ABCD的边BC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．直角顶点x在四边形ABCD的内部．则∠ABC＋∠DCB＝度，∠XBC＋∠XCB＝度；
（2）若改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过点B、C，直角顶点x还在四边形ABCD的内部，那么∠ABX＋∠DCX的大小是否变化？
若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX＋∠DCX的大小．
分析与解：
（1）∠ABC+∠DCB=360°—160°=200°，
∠XBC+∠XCB=180°—90°=90°；
（2）∠ABX＋∠DCX=∠ABC+∠DCB—（∠XBC+∠XCB）
=200°—90°=110°．
12.一同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125°，后来发现少算了一个内角，你能求出这个内角是多少度？
他求的是几边形的内角和吗？
解法1.设这是n边形，这个内角为x°,依题意：
（n-2）180=1125+x
x=（n-2）180-1125
∵0＜x＜180
∴0＜（n-2）180-1125＜180
解得：
＜n＜
∵n是整数，∴n=9.
x=（9-2）180-1125=135
解法2.设这是n边形，这个内角为x°,依题意：
（n-2）180=1125+x
∵n是整数， ∴45+x是180的倍数.
又∵0＜x＜180 ∴45+x=180，x=135，n=9
解法3（极值法）.设这是n边形，这个内角为x°,则0＜x＜180，依题意：
（n-2）180=1125+x
令x=0，得：
n=
，令x=180，得：
n=
∴
＜n＜
∵n是整数，
∴n=9.
x=（9-2）180-1125=135
解法4：
设少算的角为
，则
，1125°=6×180°+45°
因为多边形的内角和是
的整数倍，则少算的角与上面的余数和为
，
即.
+45°=180°∴
=135°n=9.
13.在进行多边形内角和计算，得一多边形内角和为1125，检查时发现多加了个内角，求这内角度数，是几边形？
解：
设多算的角为
，则
，1125°=6×180°+45°因为多边形的内角和是
的整数倍，所以多加的那个角是45.而边数是6+2=8.
14．一个凸多边形的内角的度数从小到大排列起来，恰好依次增加相同的度数，其中最小角是100°，最大角是140°，求这个多边形的边数.
解：
设这个多边形边数为n，则有
.
15.一个凸n边形的n个内角中,锐角的个数最多有多少个?
解：
由于凸n边形外角和为360°，则外角中至多有三个钝角，因此凸n边形内角中最多有三个锐角。
16.已知一个等腰三角形的三边长分别为x，
，
，其周长为________
分析：
从等腰三角形的两腰相等入手，根据题意，设其中两边为腰，列出关于x的方程，进而可求各边长，同时应考虑到应分三种情况讨论。
解：
（1）若
，则
，三边分别为1，1，2
（2）若
，则
，三边长分别为
（3）若
，则
，三边长分别为
（1）
（2）两种情况不符三边关系定理，故舍去
其周长为
易错分析：
解本题除注意分类讨论外，还应注意到等腰三角形三边也应满足三角形三边关系这一隐含条件。
17.马小虎同学在计算多边形的内角和时，得到的答案是1125度，老师指出他把某一个外角也加了进去，你知道马小虎同学计算的几边形的内角吗？
而他多加的那个外角是多少度呢？
解：
因为每一个内角小于180度，设为n边形
所以1125-180<（n-2）*180<1125
n的唯一整数解为8
所以是八边形
外角1125-（8-2）*180=45
马小虎同学的8边形的内角,而他多加的那个外角是45度
18.有一个多边形,不知道是几边形,只知道它的所有内角都相等,并且有一个外角是七十几度,这个多边形是几边形?
解：
设这个多边形是n边形
70<360/n<80
360/80n=5这个多边形是5边形
边形的内角和计算．
19、如果一个凸多边形的所有内角从小到大排列起来，恰好依次增加相同的角度数．设最小角是80°，最大角是100°，求多边形的边数．
方法指导：
根据题意可求出多边形的内角平均度数，然后结合多边形内角和定理建立方程求解．
解：
最小角是80°，最大角是100°，求多边形的边数．
方法指导：
根据题意可求出多边形的内角平均度数，然后结合多边形内角和定理建立方程求解．
解：
最小角是80°，最大角是100°，且依次增加相同的度数，则多边形的内角平均度数为
，设多边形的边数为x，则有：
90x=（x—2）·180．
解得：
x=4．
故多边形的边数为4．
方法总结：
方程思想是解多边形有关问题常要用到的思想方法．
20、小华从点A出发向前走10m，向右转36°然后继续向前走10m，再向右转36°，他以同样的方法继续走下去，他能回到点A吗？
若能，当他走回到点A时共走多少米？
若不能，写出理由．
解：
360可以看成是一个正多边形的外角，它正好是正十边形．故能回到A点，共走了100m．
21.如图中的几个图形是五角星和它的变形
（1）图
（1）中是一个五角星，求
（2）图
（1）中点A向下移到BE上，五个角的和有无变化？
（即
）如图
（2），说明你的结论的正确性。
（3）把图
（2）中点C向上移动到BD上，五个角的和（即
）有无变化？
如图（3），说明你的结论的正确性。
解：
（1）
（2）无变化，因为
（3）无变化
22、如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．
方法指导：
图中所求和的七个角比较分散，可利用外角的关系将它们集中到一个五边形内，然后利用多边形的内角和计算．
解：
∵∠1=∠E+∠F，∠2=∠C+∠D，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=∠A+∠B+∠1+∠2+∠G．
而由多边形内角和定理得：
∠A+∠B+∠1+∠2+∠G=（5—2）×180°=540°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°．
方法总结：
利用三角形外角的性质将所求的角集中到一个五边形里，然后利用五
23、如图所示，CD∥AF，∠CDE=∠BAF，AB⊥BC，∠C=124°，∠E=80°，求∠F的度数．
方法指导：
观察图形可知，易求出六边形ABCDEF的内角和，因此欲求∠F，只需求∠BAF或CDE即可．但题中条件显然不够，因此考虑延长CB、FA交于H点，得△BHA，借助三角形的有关性质解题．
解：
如图所示，延长CB、FA交于H点，
∵CD∥AF，∴∠H=180°—∠C=180°—124°=56°．
∵∠BAF为△HAB的外角，∴∠BAF=∠H+∠ABH=56°+90=146°．
又∵∠BAF=∠CDE，∴∠CDE=∠BAF=146°．
∵六边形ABCDEF的内角和为4×180°=720°，
∴∠F=720°—∠E—∠D—∠C—∠ABC—∠BAF=720°—80°—146°×2—124°—90°=134°．
方法总结：
将多边形问题转化为三角形问题来处理常用的方法是对内分割或向外补形成连对角线，本题采用的是向外补形的方法．
24.用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形.设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为
.
图7-1
（1）图7-1中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如表1-1，请写出S与
之间的关系式.
答：
S=.
表1-1
多边形的序号
①
②
③
④
…
多边形的面积S
2
2.5
3
4
…
各边上格点的个数和
4
5
6
8
…
（2）请你再画出一些格点多边形，使这些多边形内部都有而且只有2格点.此时所画的各个多边形的面积S与它各边上格点的个数和
之间的关系式是：
S=.
（3）请你继续探索，当格点多边形内部有且只有
个格点时，猜想S与
有怎样的关系？
答：
S=.
评析：
根据图形探索规律，随着规律向一般化的推广，难度逐渐增大，揭示的规律也更加深刻，更具有普遍性.
（1）通过表中数据可以看出，S的数值是x的一半，所以S=
x.
（2）同学们可以尝试画出一些内部都有而且只有2格点的多边形，如图7-2所示.
图7-2
仿照表1-1设计一个表，就能得到表1-2：
表1-2
多边形的序号
①
②
③
④
…
多边形的面积S
3
4
5
6
…
各边上格点的个数和
4
6
8
10
…
不难看出，S与
之间的关系式是S=
x+1.
（3）用同样的方法，通过画图实验，列表分析，可得S=
x+n–1.
25.阅读以下材料并填空：
平面上有n个点（n≥2），且任意三个点不在同一直线上，过这些点作直线，一共能作出多少条不同的直线?
（1）分析：
当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3个点时，可连成3条直线；当有4个点时，可连成6条直线；当有5个点时，可连成1O条直线；
（2）归纳：
考察点的个数n和可连成直线的条数Sn，发现表2-1：
表2-1
点的个数
可连成直线条数
2
1=S2=
3
3=S3=
4
6=S4=
5
10=S5=
……
……
n
（3）推理：
平面上有n个点，两点确定一条直线．取第一个点A有n种取法，取第二个点B有（n－1）种取法，所以一共可连成n（n－1）条直线，但AB与BA是同一条直线，故应除以2，即Sn=
（4）结论：
Sn=
试探究以下问题：
平面上有n（n≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形，一共能作出多少不同的三角形?
（1）分析：
当仅有3个点时，可作个三角形；当有4个点时，可作个三角形；当有5个点时，可作个三角形．
（2）归纳：
考察点的个数n和可作出的三角形的个数Sn,发现表2-2：
表2-2
点的个数
可连成三角形个数
3
4
5
……
……
n
（3）推理：
___________________________________
（4）结论：
___________________________________
评析：
题目中的阅读材料，为我们提供了解题思路.我们可以类比原体的思考方式，通过画图实验解答.
（1）如图9所示，当仅有3个点时，可作1个三角形；当有4个点时，可作4个三角形；当有5个点时，可作10个三角形．
图9
（2）根据图形，可以填得表2-3：
表2-3
点的个数
可连成三角形个数
3
1=
4
4=
5
10=
……
……
n
（3）推理：
平面上有n个点，过不在同一直线上的三点确定一个三角形．取第一个点A有n种取法，取第二个点B有（n－1）种取法，取第三个点C有（n－2）种取法，所以一共可作n（n－1）（n-2）个三角形，但△ABC、△ACB、△BAC、△BCA、△CAB、△CBA是同一个三角形，故应除以6，即Sn=
.
（4）结论：
Sn=
.
26.在日常生活中,观察各种建筑物的地板,就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案,也就是说,使用给定的某些正多边形,能够拼成一个平面图形,既不留一丝空白,又不互相重叠（在数学上叫做平面镶嵌）,这显然与正多边形的内角大小有关,当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时,就拼成了一个平面图形.
（1）请你根据图中的图形,填写表中空格:
正多边形边数
3
4
5
6
…
n
正多边形每个内角度数
60°
90°
108°
120°
…
（2）如果限于用一种正多边形镶嵌,哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形?
（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种,再在其他正多边形中选一种,请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成一个平面图形,并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形?
说明你的理由.
方法指导：
（1）正n边形每个内角的度数为
；
（2）设正多边形的边数为n，根据“一个顶点处的各内角之和为360°”得，一个顶点处的正多边形个数为：
，显然
必须为正整数，则n=3，4，6；
（3）两个正多边形镶嵌必须满足“一个顶点处的各内角之和为360°”，根据这个条件建立方程，求出正整数解．
解：
（1）108°120°
（2）正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形等
（3）如图:
正方形和正八边形镶嵌构成平面图形.草图如图所示．
理由：
设在一个顶点周围有m个正方形的角,n个正八边形的角,那么m、n应是方程m×90°+n×135°=360°的整数解,即2m+3n=8,且其整数解只有一组m=1,n=2,所以符合条件的图形只有一种.
27.（2003.甘肃）某地板厂要制作一批正六边形形状的地板砖,为适应市场多样化需求,要求在地板砖上设计的图案能够把正六边形6等分,请你帮他们设计等分图案（至少设计两种）.
解：
只要符合题目要求即可,如图.
28．我们常见到如图8那样图案的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形形状的材料铺成的，这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地面．（
现在，问：
（1）用这种形状的材料为什么能铺成平整,无隙的地面？
像上面那样铺地面，能否全用正五边形的材料，为什么？
（2）你能不能另外想出一个用一种多边形（不一定是正多边形）的材料铺地的方案？
把你想到的方案画成草图．
（3）请你再画出一个用两种不同的正多边形材料铺地的草图．
解
（1）每个顶点周围有6个正三角形的内角,恰好组成一个周角.所用材料的形状不能是正五边形，因为，正五边形的每个内角都是108°，要铺成平整、无空隙的地面，必须使若干个正五边形拼成一个周角（360°），但找不到符合条件n×108°＝360°的n，故不能用形状是正五边形的材料铺地面．
（2）能按要求画出草图．
（3）能按要求画出草图．
注：
①对于第
（1）小题，解释不能用正五边形的材料铺地面时，如用3×108°＜360°＜4×108°进行说明，也是正确的．
②符合第
（2）小题要求的铺地方案很多，下面提供几例作为参考．
③符合第（3）小题要求的铺地方案也很多，下面也提供几例作为参考．
29.我们常用各种多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些多边形，能够拼成一个平面图形，既不留一丝空白，又不互相重叠，这在几何里叫做平面密铺（镶嵌）.我们知道，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角的和为360°时，就能够拼成一个平面图形.某校研究性学习小组研究平面密铺的问题，其中在探究用两种边长相等的正多边形做平面密铺的情形时用了以下方法：
如果用x个正三角形、y个正六边形进行平面密铺，可得60°×x＋120°×y＝360°，化简得x＋2y＝6.因为x、y都是正整数，所以只有当x＝2，y＝2或x＝4，y＝1时上式才成立，即2个正三角形和2个正六边形或4个正三角形和1个正六边形可以拼成一个无缝隙、不重叠的平面图形，如图12所示中的
（1）、
（2）、（3）.
①请你依照上面的方法研究用边长相等的x个正三角形和y个正方形进行平面密铺的情形，并按图（4）中给出的正方形和正三角形的大小大致画出密铺后的图形的示意图（只要画出一种图形即可）；
图12
图13
②如用形状、大小相同的如图13方格纸中的三角形，能进行平面密铺吗？
若能，请在方格纸中画出密铺的设计图.
32，①如果用边长相等的x个正三角形、y个正方形进行平面密铺，可得60°×x＋90°×y＝360°，化简得2x＋3y＝12.因为x、y都是正整数，所以只有当x＝3，y＝2时上式才成立，即2个正三角形和2个正方形可以拼成一个无缝隙、不重叠的平面图形，如图所示.②由于任意两个三角形都可以拼成一个平行四边形，而任意一个平行四边形都可以进行平面密铺，所以如用形状、大小相同的任意三角形，都能进行平面密铺，如图所示.
9、
（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．直角顶点x在△ABC内部，若∠A＝30°，则∠ABC＋∠ACB＝度，∠XBC＋∠XCB＝度；
（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过点B、C，直角顶点x还在△ABC内部，那么∠ABX＋∠ACX的大小是否变化？
若
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