《一元二次方程》全章复习与巩固教师版doc.docx
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《一元二次方程》全章复习与巩固教师版doc
《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解（提高）
【学习目标】
1.了解一元二次方程及有关概念；
2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；
3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、一元二次方程的有关概念
1.一元二次方程的概念：
通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．
2.一元二次方程的一般式：
3.一元二次方程的解：
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
要点诠释：
判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：
①一个未知数；②未知数的最高次数为2.
对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．
要点二、一元二次方程的解法
1．基本思想
一元二次方程
一元一次方程
2．基本解法
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
要点诠释：
解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解
法，再考虑用公式法．
要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
1.一元二次方程根的判别式
一元二次方程
中，
叫做一元二次方程
的根的判别式，通常用“
”来表示，即
.
（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；
（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；
（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.
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根系关系】
2.一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程
的两个实数根是
，
那么
，
.
注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.
要点诠释：
1.一元二次方程
的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：
（1）不解方程判定方程根的情况；
（2）根据参系数的性质确定根的范围；
（3）解与根有关的证明题．
2.一元二次方程根与系数的应用很多：
（1）已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；
（2）已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；
（3）已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．
要点四、列一元二次方程解应用题
1.列方程解实际问题的三个重要环节：
一是整体地、系统地审题；
二是把握问题中的等量关系；
三是正确求解方程并检验解的合理性.
2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
3.解决应用题的一般步骤：
审（审题目，分清已知量、未知量、等量关系等）；
设（设未知数，有时会用未知数表示相关的量）；
列（根据题目中的等量关系，列出方程）；
解（解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰）；
验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）；
答（写出答案，切忌答非所问）.
4.常见应用题型
数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润（销售）问题、形积问题等.
要点诠释：
列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.
【典型例题】
类型一、一元二次方程的有关概念
1．已知（m－1）x|m|+1+3x－2＝0是关于x的一元二次方程，求m的值.
【答案与解析】
依题意得|m|+1＝2，即|m|＝1，
解得m＝±1，
又∵m－1≠0，∴m≠1，
故m＝－1.
【总结升华】依题意可知m－1≠0与|m|+1＝2必须同时成立，因此求出满足上述两个条件的m的值即可.
特别是二次项系数应为非零数这一隐含条件要注意.
举一反三：
【变式】若方程
是关于
的一元二次方程，求m的值．
【答案】根据题意得
解得
所以当方程
是关于
的一元二次方程时，
．
类型二、一元二次方程的解法
2．解下列一元二次方程．
（1）
；
（2）
；（3）
．
【答案与解析】
（1）原方程可化为：
，
即（2x-6）2-（5x-10）2＝0，
∴（2x-6+5x-10）（2x-6-5x+10）＝0，
即（7x-16）（-3x+4）＝0，
∴7x-16＝0或-3x+4＝0，∴
，
．
（2）
，
，
∴（x-3）[5（x-3）-（x+3）]＝0，
即（x-3）（4x-18）＝0，∴x-3＝0或4x-18＝0，
∴
，
．
（3）
，
∴
．即
，
∴
．
【总结升华】
（1）方程左边可变形为
，因此可用平方差公式分解因式；
（2）中方程右边分解后为（x-3）（x+3），与左边中的（x-3）2有公共的因式，
可移项后提取公因式（x-3）后解题；
（3）的左边具有完全平方公式的特点，可用公式变为（2x+1+2）2＝0再求解．
举一反三：
【变式】解方程：
（1）3x+15＝-2x2-10x；
（2）x2-3x＝（2-x）（x-3）．
【答案】
（1）移项，得3x+15+（2x2+10x）＝0，∴3（x+5）+2x（x+5）＝0，
即（x+5）（3+2x）＝0，∴x+5＝0或3+2x＝0，
∴
，
．
（2）原方程可化为x（x-3）＝（2-x）（x-3），移项，x（x-3）-（2-x）（x-3）＝0，
∴（x-3）（2x-2）＝0，∴x-3＝0或2x-2＝0，
∴
，
．
类型三、一元二次方程根的判别式的应用
3．关于x的方程
有实数根．则a满足（）
A．a≥1B．a＞1且a≠5C．a≥1且a≠5D．a≠5
【答案】A；
【解析】①当
，即
时，有
，
，有实数根；
②当
时，由△≥0得
，解得
且
．
综上所述，使关于x的方程
有实数根的a的取值范围是
．
答案：
A
【总结升华】注意“关于x的方程”与“关于x的一元二次方程”的区别，前者既可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程，所以必须分类讨论，而后者隐含着二次项系数不能为0．
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一元二次方程的根的判别式】
4．
为何值时，关于x的二次方程
（1）
满足时,方程有两个不等的实数根；
（2）
满足时,方程有两个相等的实数根；
（3）
满足时,方程无实数根.
【答案】
（1）
；
（2）
；（3）
.
【解析】求判别式，注意二次项系数的取值范围.
【总结升华】根据判别式
及k≠0求解.
类型四、一元二次方程的根与系数的关系
5．已知关于x的方程
，试探求：
是否存在实数m使方程的两个实数根的平方和等于56，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案与解析】
存在．
设方程两根为x1、x2，根据题意，得
，
，
，
而
，于是有
，整理得
，
解这个方程得
，
，
当
时，△＝
，
当
时，△＝
，
所以符合条件的m的值为-2．
【总结升华】由两个实数根的平方和等于56，列出关系式，再由根与系数关系求出m的值，通过判别式去验证m值是否符合题意，从而得出结论.
举一反三：
【变式】已知关于x的方程
有两个不相等的实数根
、
．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数?
如果存在，求出k的值；如果不存在，
请说明理由．
【答案】
（1）根据题意，得△＝（2k-3）2-4（k-1）（k+1）＝
，
所以
．由k-1≠0，得k≠1.
当
且k≠1时，方程有两个不相等的实数根；
（2）不存在．如果方程的两个实数根互为相反数，则
，解得
．
当
时，判别式△＝-5＜0，方程没有实数根．
所以不存在实数k，使方程的两个实数根互为相反数．
类型五、一元二次方程的应用
6．甲、乙两人分别骑车从A、B两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇，相遇后两人按原来的方向继续前进.乙在由C地到达A地的途中因故停了20分钟，结果乙由C地到达A地时比甲由C地到达B地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行驶4千米，求甲、乙两人骑车的速度.
【答案与解析】
设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为（x+4）千米/时.
根据题意，得
解之,得x1=16，x2=－2.
经检验：
x1=16，x2=－2都是原方程的根，但x2=－2不合题意，舍去.
∴当x=16时，x+4=20.
答：
甲每小时行驶16千米，乙每小时行驶20千米.
【总结升华】注意解题的格式，解分式方程应用题要双检验，即验根、符合题意.
举一反三：
【变式】某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。
原计划每天拆迁1250m2，因为准备工作不足，第一天少拆迁了20％。
从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440m2.
求：
（1）该工程队第一天拆迁的面积；
（2）若该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增加的百分数相同，求这个百分数.
【答案】
（1）1000m2；
（2）20%.
《一元二次方程》全章复习与巩固—巩固练习（提高）
一、单选题
1.关于x的一元二次方程（a－1）x2＋x＋|a|－1＝0的一个根是0，则实数a的值为（ ）
A.－1B.0C.1D.－1或1
2．已知a是方程x2+x﹣1=0的一个根，则
的值为（ ）
A.
B.
C.﹣1D.1
3．若方程式（3x﹣c）2﹣60=0的两根均为正数，其中c为整数，则c的最小值为何？
（ ）
A.1B.8C.16D.61
4．已知关于
的方程
有实根，则
的取值范围是（）
A．
B．
且
C．
D．
5．如果是
、
是方程
的两个根，则
的值为（）
A．1B．17C．6.25D．0.25
6．在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶上一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示.如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,那么x满足的方程是（）
A.x2+130x－1400=0B.x2+65x－350=0
C.x2－130x－1400=0D.x2－65x－350=0
7.方程x2+ax+1=0和x2-x-a=0有一个公共根，则a的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8.若关于x的一元二次方程
的两个实数根分别是
，且满足
．
则k的值为（ ）
A.－1或
B.－1 C.
D.不存在
二、填空题
9．关于x的方程
的解是x1=－2，x2=1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程
的解是.
10．已知关于x的方程x2+2（a+1）x+（3a2+4ab+4b2+2）＝0有实根，则a、b的值分别为．
11．已知α、β是一元二次方程
的两实数根，则（α-3）（β-3）＝________．
12．当m_________时，关于x的方程
是一元二次方程；当m_________时，此方程是一元一次方程.
13．把一元二次方程3x2-2x-3=0化成3（x+m）2=n的形式是____________；若多项式x2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_____
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