对数与对数运算导学案.docx

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对数与对数运算导学案

§2.2　对数函数

2.2.1　对数与对数运算

第1课时　对　数

学习目标　1.理解对数的概念、掌握对数的性质（重、难点）.2.掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程（重点）.

知识点1　对　数

1.对数

（1）指数式与对数式的互化及有关概念：

（2）底数a的范围是a>0，且a≠1.

2.常用对数与自然对数

【预习评价】　（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）根据对数的定义，因为（－2）4＝16，所以log（－2）16＝4.（　　）

（2）对数式log32与log23的意义一样.（　　）

（3）对数的运算实质是求幂指数.（　　）

提示　

（1）×　因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以

（1）错；

（2）×　log32表示以3为底2的对数，log23表示以2为底3的对数，所以

（2）错；

（3）√　由对数的定义可知（3）正确.

知识点2　对数的基本性质

（1）负数和零没有对数.

（2）loga1＝0（a>0，且a≠1）.

（3）logaa＝1（a>0，且a≠1）.

【预习评价】

若log3

＝1，则x＝________；若log3（2x－1）＝0，则x＝________.

解析　若log3

＝1，则

＝3，即2x－3＝9，x＝6；若log3（2x－1）＝0，则2x－1＝1，即x＝1.

答案　6　1

题型一　对数的定义

【例1】　

（1）在对数式y＝log（x－2）（4－x）中，实数x的取值范围是________；

（2）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.

①54＝625；②log216＝4；③10－2＝0.01；④log

125＝6.

（1）解析　由题意可知

解得2

答案　（2，3）∪（3，4）

（2）解　①由54＝625，得log5625＝4.

②由log216＝4，得24＝16.

③由10－2＝0.01，得lg0.01＝－2.

④由log

125＝6，得（

）6＝125.

规律方法　指数式与对数式互化的思路

（1）指数式化为对数式：

将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式.

（2）对数式化为指数式：

将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.

【训练1】　将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

（1）43＝64；

（2）lna＝b；（3）

＝n；（4）lg1000＝3.

解　

（1）因为43＝64，所以log464＝3；

（2）因为lna＝b，所以eb＝a；

（3）因为

＝n，所以log

n＝m；

（4）因为lg1000＝3，所以103＝1000.

题型二　利用指数式与对数式的互化求变量的值

【例2】　

（1）求下列各式的值.

①log981＝________.②log0.41＝________.③lne2＝________.

（2）求下列各式中x的值.

①log64x＝－

；②logx8＝6；

③lg100＝x；④－lne2＝x.

（1）解析　①设log981＝x，所以9x＝81＝92，故x＝2，即log981＝2；②设log0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40，故x＝0，即log0.41＝0；③设lne2＝x，所以ex＝e2，故x＝2，即lne2＝2.

答案　①2　②0　③2

（2）解　①由log64x＝－

得x＝64－

＝43×（－

）＝4－2＝

；

②由logx8＝6，得x6＝8，又x>0，即x＝8

＝23×

＝

；

③由lg100＝x，得10x＝100＝102，即x＝2；

④由－lne2＝x，得lne2＝－x，所以e－x＝e2，

所以－x＝2，即x＝－2.

规律方法　对数式中求值的基本思想和方法

（1）基本思想.

在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解.

（2）基本方法.

①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题.

②利用幂的运算性质和指数的性质计算.

【训练2】　利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值.

（1）log2x＝－

；

（2）logx25＝2；

（3）log5x2＝2.

解　

（1）由log2x＝－

，得2－

＝x，

∴x＝

.

（2）由logx25＝2，得x2＝25.

∵x＞0，且x≠1，∴x＝5.

（3）由log5x2＝2，得x2＝52，

∴x＝±5.∵52＝25＞0，（－5）2＝25＞0，

∴x＝5或x＝－5.

题型三　利用对数的性质及对数恒等式求值

【例3】　

（1）71－log75；

（2）100

；

（3）alogab·logbc（a，b为不等于1的正数，c>0）.

解　

（1）原式＝7×7－log75＝

＝

.

（2）原式＝100

lg9×100－lg2＝10lg9×

＝9×

＝9×

＝

.

（3）原式＝（alogab）logbc＝blogbc＝c.

规律方法　对数恒等式alogaN＝N的应用

（1）能直接应用对数恒等式的直接应用即可.

（2）对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解.

【训练3】　

（1）设3log3（2x＋1）＝27，则x＝________.

（2）若logπ（log3（lnx））＝0，则x＝________.

解析　

（1）3log3（2x＋1）＝2x＋1＝27，解得x＝13.

（2）由logπ（log3（lnx））＝0可知log3（lnx）＝1，所以lnx＝3，解得x＝e3.

答案　

（1）13　

（2）e3

课堂达标

1.有下列说法：

（1）只有正数有对数；

（2）任何一个指数式都可以化成对数式；（3）以5为底25的对数等于±2；（4）3log3（－5）＝－5成立.其中正确的个数为（　　）

A.0B.1

C.2D.3

解析　

（1）正确；

（2），（3），（4）不正确.

答案　B

2.使对数loga（－2a＋1）有意义的a的取值范围为（　　）

A.a>

且a≠1B.0

C.a>0且a≠1D.a<

解析　由题意知

解得0

.

答案　B

3.方程lg（2x－3）＝1的解为________.

解析　由lg（2x－3）＝1知2x－3＝10，解得x＝

.

答案　

4.计算：

2log23＋2log31－3log77＋3ln1＝________.

解析　原式＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0.

答案　0

5.把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.

（1）2－3＝

；

（2）

＝b；（3）lg

＝－3；

（4）ln10＝x.

解　

（1）由2－3＝

可得log2

＝－3；

（2）由

＝b得log

b＝a；

（3）由lg

＝－3可得10－3＝

；

（4）ln10＝x可得ex＝10.

课堂小结

1.对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N⇔logaN＝b（a＞0，且a≠1，N＞0），据此可得两个常用恒等式：

（1）logaab＝b；

（2）alogaN＝N.

2.在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.

3.指数式与对数式的互化

基础过关

1.有以下四个结论：

①lg（lg10）＝0；②ln（lne）＝0；③若10＝lgx，则x＝10；④若e＝lnx，则x＝e2.其中正确的是（　　）

A.①③B.②④

C.①②D.③④

解析　lg（lg10）＝lg1＝0，ln（lne）＝ln1＝0，故①②正确；若10＝lgx，则x＝1010，故③错误；若e＝lnx，则x＝ee，故④错误.

答案　C

2.logab＝1成立的条件是（　　）

A.a＝bB.a＝b且b>0

C.a>0，a≠1D.a>0，a＝b≠1

解析　由logab＝1得a>0，且a＝b≠1.

答案　D

3.设a＝log310，b＝log37，则3a－b的值为（　　）

A.

B.

C.

D.

解析　3a－b＝3a÷3b＝3log310÷3log37＝10÷7＝

.

答案　A

4.若log（1－x）（1＋x）2＝1，则x＝________.

解析　由题意知1－x＝（1＋x）2，

解得x＝0或x＝－3.

验证知，当x＝0时，log（1－x）（1＋x）2无意义，

故x＝0时不合题意，应舍去.所以x＝－3.

答案　－3

5.若log3（a＋1）＝1，则loga2＋log2（a－1）＝________.

解析　由log3（a＋1）＝1得a＋1＝3，即a＝2，所以loga2＋log2（a－1）＝log22＋log21＝1＋0＝1.

答案　1

6.将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式.

（1）35＝243；

（2）2－5＝

；

（3）log

81＝－4；（4）log2128＝7.

解　

（1）log3243＝5；

（2）log2

＝－5；（3）

＝81；（4）27＝128.

7.求下列各式中的x的值.

（1）logx27＝

；

（2）log2x＝－

；

（3）logx（3＋2

）＝－2；

（4）log5（log2x）＝0；

（5）x＝log27

.

解　

（1）由logx27＝

，得x

＝27，∴x＝27

＝32＝9.

（2）由log2x＝－

，得2－

＝x，

∴x＝

＝

.

（3）由logx（3＋2

）＝－2，得3＋2

＝x－2，

∴x＝（3＋2

）－

＝

－1.

（4）由log5（log2x）＝0，得log2x＝1.∴x＝21＝2.

（5）由x＝log27

，得27x＝

，

即33x＝3－2，

∴x＝－

.

能力提升

8.对于a>0且a≠1，下列说法正确的是（　　）

（1）若M＝N，则logaM＝logaN；

（2）若logaM＝logaN，则M＝N；（3）若logaM2＝logaN2，则M＝N；（4）若M＝N，则logaM2＝logaN2.

A.

（1）

（2）B.

（2）（3）（4）

C.

（2）D.

（2）（3）

解析　

（1）中若M，N小于或等于0时，logaM＝logaN不成立；

（2）正确；（3）中M与N也可能互为相反数且不等于0；（4）中当M＝N＝0时不正确.

答案　C

9.已知log3（log5a）＝log4（log5b）＝0，则

的值为（　　）

A.1B.－1

C.5D.

解析　由log3（log5a）＝0得log5a＝1，即a＝5，同理b＝5，故

＝1.

答案　A

10.方程3log2x＝

的解是________.

解析　3log2x＝3－3，∴log2x＝－3，x＝2－3＝

.

答案　

11.若正数a，b满足2＋log2a＝3＋log3b＝log6（a＋b），则

＋

＝________.

解析　设2＋log2a＝3＋log3b＝log6（a＋b）＝k，则a＝2k－2，b＝3k－3，a＋b＝6k，即4a＝2k，27b＝3k，所以108ab＝6k，∴108ab＝a＋b，∴108＝

＋

.

答案　108

12.

（1）若f（10x）＝x，求f（3）的值；

（2）计算23＋log23＋35－log39.

解　

（1）令t＝10x，则x＝lgt，

∴f（t）＝lgt，即f（x）＝lgx，∴f（3）＝lg3.

（2）23＋log23＋35－log39＝23·2log23＋

＝23×3＋

＝24＋27＝51.

13.（选做题）若log2（log

（log2x））＝log3（log

（log3y））＝