高考数学理科考点过关习题第一章集合与常用逻辑用语3和答案.docx
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高考数学理科考点过关习题第一章集合与常用逻辑用语3和答案
考点测试3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
一、基础小题
1．命题“存在实数x，使x>1”的否定是（ ）
A．对任意实数x，都有x>1B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤1
答案 C
解析 特称命题的否定为全称命题，所以将“存在”改为“任意”，“x>1”改为“x≤1”．故选C.
2．下列特称命题中真命题的个数为（ ）
①存在实数x，使x2＋2＝0；
②有些角的正弦值大于1；
③有些函数既是奇函数又是偶函数．
A．0B．1
C．2D．3
答案 B
解析 x2＋2≥2，故①是假命题；∀x∈R均有|sinx|≤1，故②是假命题；f（x）＝0既是奇函数又是偶函数，③是真命题，故选B.
3．设非空集合A，B满足A⊆B，则以下表述正确的是（ ）
A．∃x0∈A，x0∈BB．∀x∈A，x∈B
C．∃x0∈B，x0∉AD．∀x∈B，x∈A
答案 B
解析 根据集合的关系以及全称、特称命题的含义可得B正确．
4．若命题p：
对数函数都是单调函数，则綈p为（ ）
A．所有对数函数都不是单调函数
B．所有单调函数都不是对数函数
C．存在一个对数函数不是单调函数
D．存在一个单调函数不是对数函数
答案 C
解析 命题p：
对数函数都是单调函数的否定綈p为存在一个对数函数不是单调函数．
5．下列命题中的假命题为（ ）
A．∀x∈R，ex>0B．∀x∈N，x2>0
C．∃x0∈R，lnx0<1D．∃x0∈N*，sin
＝1
答案 B
解析 对于选项A，由函数y＝ex的图象可知，∀x∈R，ex>0，故选项A为真命题；对于选项B，当x＝0时，x2＝0，故选项B为假命题；对于选项C，当x0＝
时，ln
＝－1<1，故选项C为真命题；对于选项D，当x0＝1时，sin
＝1，故选项D为真命题．综上选B.
6．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是（ ）
A．锐角三角形有一个内角是钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使
>2
答案 B
解析 A中锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题；B中当x＝0时，x2＝0，满足x2≤0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为
＋（－
）＝0不是无理数，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有
<0，不满足
>2，所以D是假命题．
7．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ）
A．（綈p）∨（綈q）B．p∨（綈q）
C．（綈p）∧（綈q）D．p∨q
答案 A
解析 綈p表示甲没有降落在指定范围，綈q表示乙没有降落在指定范围，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”，也就是“甲没有降落在指定范围或乙没有降落在指定范围”．故选A.
8．已知命题p：
∀x∈R，x2＋ax＋a2≥0；命题q：
∃x0∈R，sinx0＋cosx0＝2，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．p∧qB．p∨q
C．（綈p）∨qD．（綈p）∧（綈q）
答案 B
解析 因为x2＋ax＋a2＝
2＋
a2≥0，所以命题p为真命题；因为（sinx＋cosx）max＝
，所以命题q为假命题．所以p∨q是真命题．
9．若命题“∃x0∈R，x
＋（a－1）x0＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．（－1,3）
C．（－∞，－1]∪
解析 由已知条件可知，p和q均为真命题，由命题p为真得a≤0，由命题q为真得a≤－2或a≥1，所以a≤－2.
11．若命题“存在实数x，使x2＋ax＋1<0”的否定是假命题，则实数a的取值范围为________．
答案 （－∞，－2）∪（2，＋∞）
解析 由于命题的否定是假命题，所以原命题为真命题，结合图象知Δ＝a2－4>0，解得a>2或a<－2.
12．已知全集U＝R，A⊆U，B⊆U，如果命题p：
x∈（A∩B），那么“綈p”是________．
答案 x∉A或x∉B
解析 x∈（A∩B）即x∈A且x∈B，所以其否定为：
x∉A或x∉B.
二、高考小题
13．设命题p：
∃n∈N，n2>2n，则綈p为（ ）
A．∀n∈N，n2>2nB．∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2nD．∃n∈N，n2＝2n
答案 C
解析 根据特称命题的否定为全称命题，所以綈p：
∀n∈N，n2≤2n，故选C.
14．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（ ）
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得nB．∀x∈R，∀n∈N*，使得nC．∃x∈R，∃n∈N*，使得nD．∃x∈R，∀n∈N*，使得n答案 D
解析 先将条件中的全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词，再否定结论．故选D.
15．已知命题p：
若x>y，则－x<－y；命题q：
若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（綈q）；④（綈p）∨q中，真命题是（ ）
A．①③B．①④
C．②③D．②④
答案 C
解析 由不等式性质知：
命题p为真命题，命题q为假命题，从而綈p为假命题，綈q为真命题．故p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧（綈q）为真命题，（綈p）∨q为假命题，故选C.
16．命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（ ）
A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）>n
B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）>n
C．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）>n0
D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）>n0
答案 D
解析 “f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定为“f（n）∉N*或f（n）>n”，全称命题的否定为特称命题，故选D.
17．不等式组
的解集记为D.有下列四个命题：
p1：
∀（x，y）∈D，x＋2y≥－2，
p2：
∃（x，y）∈D，x＋2y≥2，
p3：
∀（x，y）∈D，x＋2y≤3，
p4：
∃（x，y）∈D，x＋2y≤－1.
其中的真命题是（ ）
A．p2，p3B．p1，p2
C．p1，p4D．p1，p3
答案 B
解析 作出不等式组表示的可行域，如图所示，
令z＝x＋2y，则y＝－
x＋
，平移直线x＋2y＝0，可知当过点A（2，－1）时，z有最小值0，无最大值，故p1，p2为真命题，p3，p4为假命题．
18．若“∀x∈
，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
答案 1
解析 ∵0≤x≤
，∴0≤tanx≤1.
∵“∀x∈
，tanx≤m”是真命题，
∴m≥1，∴实数m的最小值为1.
三、模拟小题
19．命题“∀a∈R，函数y＝x是增函数”的否定是（ ）
A．∀a∈R，函数y＝x是减函数
B．∀a∈R，函数y＝x不是增函数
C．∃a∈R，函数y＝x不是增函数
D．∃a∈R，函数y＝x是减函数
答案 C
解析 全称命题与特称命题的否定应先否定量词，再否定结论，它们的真假性相反．
20．设p，q是两个命题，若綈（p∨q）是真命题，那么（ ）
A．p是真命题且q是假命题
B．p是真命题且q是真命题
C．p是假命题且q是真命题
D．p是假命题且q是假命题
答案 D
解析 由綈（p∨q）是真命题可得p∨q是假命题，由真值表可得p是假命题且q是假命题．故选D.
21．已知命题p：
“存在x0∈已知定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是（ ）
A．∀x∈R，f（－x）≠f（x）
B．∀x∈R，f（－x）≠－f（x）
C．∃x0∈R，f（－x0）≠－f（x0）
D．∃x0∈R，f（－x0）≠f（x0）
答案 D
解析 根据偶函数的定义可知，如果一个函数f（x）不是偶函数，那么在定义域上一定存在x0，使得函数值不满足偶函数的定义f（－x0）＝f（x0）．故选D.
23．设命题p：
函数f（x）＝tanx是其定义域上的增函数；命题q：
函数g（x）＝3x－3－x为奇函数，则下列命题中真命题是（ ）
A．p∧qB．p∧（綈q）
C．（綈p）∧（綈q）D．（綈p）∧q
答案 D
解析 函数f（x）＝tanx在
，k∈Z上是增函数，在其定义域上并不单调，故命题p是假命题；函数g（x）＝3x－3－x的定义域为R，g（－x）＝3－x－3x＝－（3x－3－x）＝－g（x），故g（x）为奇函数，所以命题q为真命题．结合选项可知应选D.
24．命题p：
存在x0∈
，使sinx0＋cosx0>
；命题q：
命题“∃x0∈（0，＋∞），lnx0＝x0－1”的否定是∀x∈（0，＋∞），lnx≠x－1，则四个命题（綈p）∨（綈q）、p∧q、（綈p）∧q、p∨（綈q）中，正确命题的个数为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
答案 B
解析 因为sinx＋cosx＝
sin
≤
，故命题p为假命题；特称命题的否定为全称命题，易知命题q为真命题，故（綈p）∨（綈q）真，p∧q假，（綈p）∧q真，p∨（綈q）假．故选B.
一、高考大题
本考点在近三年高考中未涉及此题型．
二、模拟大题
1．已知a>0，设命题p：
函数y＝logax在R上单调递增；命题q：
不等式ax2－ax＋1>0对∀x∈R恒成立．若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围．
解 若p真，∵函数y＝logax在R上单调递增，∴p：
a>1.
若q真，不等式ax2－ax＋1>0对∀x∈R恒成立，
∴a>0且a2－4a<0，解得00∵“p∧q”为假，“p∨q”为真，∴p，q中必有一真一假．
①当p真q假时，
解得a≥4.
②当p假q真时，
解得0故a的取值范围为（0,1]∪已知命题p：
“存在a>0，使函数f（x）＝ax2－4x在（－∞，2]上单调递减”，命题q：
“存在a∈R，使∀x∈R,16x2－16（a－1）x＋1≠0”．若命题“p∧q”为真命题，求实数a的取值范围．
解 若p为真，则对称轴x＝－
＝
在区间（－∞，2]的右侧，即
≥2，∴0∴Δ＝2－4×16<0，∴
.
∵命题“p∧q”为真命题，∴命题p、q都为真，
∴
∴
故实数a的取值范围为
3．已知命题p：
函数y＝x2－2x＋a在区间（1,2）上有1个零点，命题q：
函数y＝x2＋（2a－3）x＋1的图象与x轴交于不同的两点．如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求a的取值范围．
解 若命题p为真，则函数y＝x2－2x＋a在区间（1,2）上有1个零点，因为二次函数图象开口向上，对称轴为x＝1，所以
所以0若命题q为真，则函数y＝x2＋（2a－3）x＋1的图象与x轴交于不同的两点，由Δ＝（2a－3）2－4>0，得4a2－12a＋5>0，解得a<
或a>
.
因为p∧q是假命题，p∨q是真命题，所以p，q一真一假．
①若p真q假，则
所以
≤a<1；
②若p假q真，则
所以a≤0或a>
.
故实数a的取值范围是a≤0或
≤a<1或a>
.
4．已知f（x）＝m（x－2m）（x＋m＋3），g（x）＝2x－2.若同时满足条件：
①∀x∈R，f（x）<0或g（x）<0；②∃x∈（－∞，－4），f（x）g（x）<0，求m的取值范围．
解 由题意知m≠0，∴f（x）＝m（x－2m）（x＋m＋3）为二次函数，若∀x∈R，f（x）<0或g（x）<0，必须抛物线
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