第二讲圆的周长和面积讲义教师版.docx
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第二讲圆的周长和面积讲义教师版
第二讲圆的周长和面积
情景引入
趣味数学故事：
圆周率的历史
古希腊数学家阿基米德发现：
当正多边形的边数增加时，它的形状就越来越接近圆。
我国魏晋时期的数学家刘徽创造了用“割圆术”求圆周率的方法，在数学史上占有重要的地位。
刘徽是怎样“割圆”的呢？
刘徽用这种方法不断地“割圆”，一直算到圆内接正192边形，得到圆周率的近似值是3.14.
我国南北朝时期的数学家祖冲之使用“缀术”计算圆周率。
可惜这种方法早已失传。
据专家推测，“缀术”类似“割圆术”，通过对正24576边形周长的计算来推导。
计算相当繁杂，当时还没有算盘。
最后得出了的两个分数形式的近似值：
约率为，
密率为，并且精确地算出圆周率在3.1415926和3.1415927之间。
这一成就，使中国在圆周率的计算方面在世界领先1000年。
电子计算机的出现带来了计算方面的革命，的小数点后面的精确数字越来越多。
到2002年，圆周率已经可以计算到小数点后12411亿位。
1、知识要点
1．圆的周长：
围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。
2．圆周率：
圆的周长总是直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。
我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，用字母
表示。
圆周率是一个无限不循环小数。
在计算时，取
3.14。
世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。
3．圆的周长公式：
C=
d或C=2
r
圆周长=
×直径圆周长=
×半径×2
【例题1】圆周率是 圆的周长 和 直径 的比值，它用字母 π 表示．圆的周长总是直径的 π 倍．已知圆的直径就可以用公式 C=πd 求周长；已知圆的半径就可以用公式 C=2πr 求周长．
π=3.142π=6.283π=9.424π=12.56
5π=15.76π=18.847π=21.988π=25.12
9π=28.2610π=31.415π=47.116π=50.24
20π=62.825π=78.530π=94.250π=157
针对性练习：
1、大圆的圆周率与小圆的圆周率比较（ ）
A．大圆的大B．无法比较C．相等
故选：
C．
2、大圆的直径是1米，小圆的直径是1厘米．那么，下面的说法正确的是（ ）
A．大圆的圆周率大于小圆的圆周率
B．大圆的圆周率小于小圆的圆周率
C．大圆的圆周率等于小圆的圆周率
D．无法确定
故选：
C．
3、判断：
①在同一圆中，圆的周长总是直径的3倍多一些． √ ；
②π=3.14． × ；
③在同一圆中，半径、直径、周长的比是1：
2：
π． × ．
有关圆的周长的计算
【例题2】计算圆的周长
（1）d=3l厘米
（2）d=8dm
（3）r=2m
（4）r=2.5m．
【解答】解：
（1）3.14×31=97.34（厘米）；答：
周长是97.34厘米．
（2）3.14×8=25.12（dm）；答：
周长是25.12dm．
（3）3.14×2×2=12.56（m）；答：
周长是12.56m．
（4）3.14×2.5×2=15.7（m）；答：
周长是15.7m．
【例题3】圆的周长是12.56分米，那么半圆的周长是 分米．
【解答】解：
12.56÷3.14=4（分米），12.56÷2+4，=6.28+4，=10.28（分米）；
【例题4】底面半径为0.5米的油桶，在两侧墙内滚动，两墙之间的距离是26.12米，油桶从这侧滚到那侧要滚 8 圈．
【解答】解：
（26.12﹣0.5×2）÷（3.14×2×0.5），=（26.12﹣1）÷3.14，=25.12÷3.14，
=8（圈）；答：
油桶从这侧滚到那侧要滚8圈，故答案为：
8．
针对性练习：
1、在一张边长是8cm的正方形纸上剪下一个最大的半圆，这个半圆的周长是 20.56 cm．
【解答】解：
3.14×8÷2+8=12.56+8=20.56（厘米）答：
这个半圆的周长是20.56厘米．故答案为：
20.56．
2、小红量得一棵古树最粗处的周长约是4.71米，这棵古树的直径最大是 1.5 米．
【解答】解：
4.71÷3.14=1.5（米）答：
这棵古树的直径最大是1.5米．故答案为：
1.5．
3、如图，求阴影部分的周长（单位：
厘米）
【解答】解：
3.14×8+8×4=25.12+32=57.12（厘米）答：
阴影部分的周长是57.12厘米．
4、求阴影部分的周长．（单位：
cm）
【解答】解：
3.14×（4+8）=3.14×12=37.68（厘米）．答：
阴影部分的周长是37.68厘米．
5、一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行地面放置，搬动时为保护圆弧部分不受损伤，先将半圆如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50m，半圆的直径为4m，则圆心O所经过的路线长是 2π+50 米．
【解答】解：
由图形可知，圆心先向前走O1O2的长度即
圆的周长，然后沿着弧O2O3旋转
圆的周长，
然后后向右平移50米，所以圆心总共走过的路程为圆周长的一半即半圆的弧长加上50m，由已知得圆的半径为2m，设半圆形的弧长为l，则半圆形的弧长l=
═2π米，故圆心O所经过的路线长=（2π+50）米．故答案为：
2π+50．
圆的面积
1.圆的面积：
圆所占面积的大小叫圆的面积。
2．把一个圆割成一个近似的长方形，割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半，用字母（
r）表示，宽相当于圆的半径，用字母（r）表示，因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积=
r×r。
圆的面积公式：
Ｓ＝
ｒ²。
3．圆的面积公式：
Ｓ＝
ｒ² 或者S=
（d
2）²或者S=
（C
2）²
圆的面积推导
如图，把一个圆分成若干等份后，还可以拼成近似的长方形。
拼成的图形与原来的圆之
间有什么联系？
推导一下圆的面积计算公式
圆的面积长方形的面积
长方形的面积=长×宽圆的面积=圆周长的一半×半径
【例题5】求下列各圆的面积．
（1）r=2分米
（2）d=20厘米
（3）c=6.28厘米．
【解答】解：
（1）3.14×22=3.14×4=12.56（平方分米）；答：
它的面积是12.56平方分米．
（2）3.14×（20÷2）2=3.14×100=314（平方厘米）；答：
它的面积是314平方厘米．
（3）3.14×（6.28÷2÷3.14）2=3.14×1=3.14（平方厘米）；答：
它的面积是3.14平方厘米．
【例题6】计算下面图形的面积．（单位：
厘米）
【解答】解：
（1）3.14×52=78.5（平方厘米）；
（2）3×2﹣3.14×（2÷2）2=6﹣3.14=2.86（平方厘米）；
（3）3.14×（42﹣22）=3.14×（16﹣4）=3.14×12=37.68（平方厘米）；
（4）12÷2=6（厘米）3.14×62÷2﹣12×6÷2=56.52﹣36=20.52（平方厘米）．
【例题7】一块环形铁片，外圆半径12分米，内圆半径10分米，它的面积是多少平方分米？
【解答】解：
3.14×（122﹣102）=3.14×（144﹣100）=3.14×44=138.16（平方分米），
答：
它的面积是138.16平方分米．
针对性练习：
1、半径是2厘米的圆，它的周长和面积相比（ ）
A．周长大B．面积大
C．周长和面积相等D．无法比较
【解答】解：
因为周长和面积的概念不同，单位名称不同，所以周长和面积不能比较大小；故选：
D．
2、直径2分米的圆，它的面积是（ ）
A．31.4平方分米B．314平方厘米
C．12.56平方分米D．3.14平方厘米
【解答】解：
半径为：
2÷2=1（分米）圆的面积为：
3.14×12=3.14（平方分米）=314（平方厘米）
答：
这个圆的面积是314平方厘米．故选：
B．
3、大小两个圆的半径之比是3：
1，则它们的面积之比是（ ）
A．3：
1B．6：
1C．9：
1D．9：
2
【解答】解：
设小圆的半径为r，则大圆的半径为3r小小圆的面积=πr2，大圆的面积=π（3r）2=9πr2，
9πr2：
πr2=9：
1；故选：
C．
4、在一张长6cm，宽4cm的长方形纸片上，画一个最大的圆，圆的直径是 4 cm，周长是 12.56 cm，面积是 12.56 cm2，剪下圆后剩下的面积是 11.44 cm2．
【解答】解：
3.14×4=12.56（厘米），3.14×（4÷2）2=3.14×22=3.14×4=12.56（平方厘米），
6×4﹣12.56=24﹣12.56=11.44（平方厘米），答：
圆的直径是4厘米、周长是12.56厘米、面积是12.56平方厘米，剪下后剩下的面积是11.44平方厘米．故答案为：
4、12.56、12.56、11.44．
5、求阴影部分的面积．
【解答】解：
（1）由题意得，半圆的面积：
×3.14×（4÷2）2，=3.14×2，=6.28（平方米）．
空白部分的面积：
6.28×2=12.56（平方米），阴影部分的面积=正方形的面积﹣空白部分的面积，
=4×4﹣12.56，=16﹣12.56，=3.44（平方米）．答：
阴影部分的面积是3.44平方米．
（2）阴影的面积：
3.14×（102﹣62），=3.14×64，=200.96（cm2）．答：
阴影部分的面积是200.96cm2
二、同步巩固：
一、细心填写
1．圆周率表示一个圆的 周长 和 直径 的倍数关系．π约等于 3.14 ．
【解答】解：
圆周率表示一个圆的周长和直径的倍数关系．π约等于3.14；故答案为：
周长，直径，3.14．
2．在一个圆中，圆的周长是直径的 π 倍，是半径的 2π 倍．
【解答】解：
在一个圆中，圆的周长是直径的π倍，是半径的2π倍．故答案为：
π，2π．
3．一个圆的直径是20厘米，这个圆的面积是 314平方厘米 ．
【解答】解：
3.14×（20÷2）2=3.14×100=314（平方厘米）答：
这个圆的面积是314平方厘米．
故答案为：
314平方厘米．
4．要画一个周长是31.4厘米的圆，圆规两脚之间的距离是 5 厘米．
【解答】解：
31.4÷3.14÷2=10÷2=5（厘米）答：
圆规两脚之间的距离是5厘米．故答案为：
5．
5．大圆的半径相当于小圆的直径，已知大圆面积比小圆面积多9.42平方分米，大圆的面积是 12.56 平方分米．
【解答】解：
设小圆的半径为r，则大圆的半径就是2r，大圆的面积为：
π（2r）2=4πr2，
小圆的面积为：
πr2，所以大圆的面积是小圆的面积的4倍，则大圆面积比小圆面积大4﹣1=3倍，
9.42÷3=3.14（dm2），3.14×4=12.56（dm2）答：
大圆的面积是12.56dm2．故答案为：
12.56．
6．在一个正方形里面画一个最大的圆，这个圆的周长是6.28厘米，这正方形的面积是 4 平方厘米．剩下的面积是 0.86 平方厘米．
【解答】解：
（1）6.28÷3.14=2（厘米）；2×2=4（平方厘米）；答：
这个正方形的面积是4平方厘米；
（2）4﹣3.14×（2÷2）2，=4﹣3.14，=0.86（平方厘米），答：
剩下的面积是0.86平方厘米，
故答案为：
4，0.86．
7．大圆半径是3分米，小圆半径是2分米，小圆面积是大圆面积的
．
【解答】解：
（π×22）÷（π×32），=9π÷4π，=
；答：
小圆面积是大圆面积的
．故答案为：
．
8．有大小两个圆，大圆直径是小圆半径的4倍，大圆周长是小圆的 2倍 ，大圆面积是小圆的 4倍 ．
【解答】解：
（1）设小圆的半径为r，则大圆直径为4r，大圆周长是小圆的：
[π（4r）]÷（π2r），
=[4πr]÷（2πr），=2；
（2）大圆面积：
π×（4r÷2）2=4πr2，小圆面积：
π×r2=πr2，大圆面积是小圆面积的比：
4πr2：
πr2=4．
答：
大圆周长是小圆的2倍，大圆面积是小圆的4倍，故答案为：
2倍，4倍．
9．用一根长12.56厘米的铁丝围成一个正方形，正方形的面积是 9.8596 平方厘米；如果用这根铁丝围成一个圆，这个圆的面积是 12.56 平方厘米．
【解答】解：
（1）12.56÷4=3.14（厘米）3.14×3.14=9.8596（平方厘米）．
（2）12.56÷2÷3.14=2（厘米）3.14×22=3.14×4=12.56（平方厘米）．故答案为：
9.8596，12.56．
10．时钟的分针转动一周形成的图形是 圆形 ．
【解答】解：
根据圆的定义，时钟的分针转动一周形成的图形是圆形．故答案为：
圆形．
11．有一个圆形鱼池的半径是10米，绕其周围走一圈，要走 62.8米 ，这个鱼池的占地面积是 314平方米 ．
【解答】解：
周长：
2×3.14×10=62.8（米）面积：
3.14×102=3.14×100=314（平方米）
答：
要走62.8米，这个鱼池的面积是314平方米．故答案为：
62.8米，314平方米．
12．一个挂钟的时针长5厘米，一昼夜这根时针的尖端走了 62.8 厘米，针尖扫的面积是 157 平方厘米．
【解答】解：
2×3.14×5×2=62.8（厘米），3.14×52×2，=3.14×25×2，=157（平方厘米），
答：
一昼夜这根时针的尖端走了62.8厘米，针尖扫的面积是157平方厘米．故答案为：
62.8，157．
13．圆的半径和直径的比是 1：
2 ，圆的周长和直径的比是 π：
1 ．
【解答】解：
（1）因为在同一个圆或等圆中，圆的直径等于半径的2倍，
所以圆的半径与直径的比是1：
2；
（2）周长和直径的比是：
2πr：
d=2πr：
2r=π：
1．故答案为：
1：
2；π：
1
14．小圆的半径是6厘米，大圆的半径是9厘米．小圆直径和大圆直径的比是 2：
3 ，小圆周长和大圆周长的比是 2：
3 ．面积的比是 4：
9 ．
【解答】解：
（1）小圆直径和大圆直径的比：
（2×6）：
（2×9），=12：
18，=（12÷6）：
（18÷6），=2：
3；
（2）小圆周长和大圆周长的比：
（2π×6）：
（2π×9），=12π：
18π，=（12π÷6π）：
（18π÷6π），
=2：
3；
（3）小圆面积和大圆面积的比：
62π：
92π，=36π：
81π，=（36π÷9π）：
（81π÷9π），
=4：
9；故答案为：
2：
3，2：
3，4：
9．
15．圆的半径是7厘米，它的面积是 153.86平方 厘米，圆的直径是13米，它的周长是 40.82 米．圆的周长是75.36分米，它的面积是 452.16平方 分米．
【解答】解：
（1）3.14×72=3.14×49=153.86（平方厘米）答：
它的面积是153.86平方厘米．
（2）3.14×13=40.82（米）答：
它的周长是40.82米．
（3）75.36÷3.14÷2=12（分米）3.14×122=3.14×144=452.16（平方分米）
答：
它的面积是452.16平方分米．故答案为：
153.86平方；40.82；452.16平方．
16．要在底面半径是14厘米的圆柱形水桶外面打上一个铁丝箍，接头部分是6厘米，需用铁丝 93.92 厘米．
【解答】解：
3.14×2×14+6，=87.92+6，=93.92（厘米）；答：
需用铁丝93.92厘米．故答案为：
93.92．
17．用圆规画一个圆，如果圆规两脚之间的距离是6厘米，画出的这个圆的周长是 37.68 厘米．这个圆的面积是 113.04 平方厘米．
【解答】解：
周长是：
3.14×6×2=37.68（厘米），
面积是：
3.14×62=113.04（平方厘米），
答：
这个圆的周长是37.68厘米，是113.04平方厘米．
故答案为：
37.68；113.04．
18．已知圆的周长是50.24分米，圆的面积是 200.96平方分米 ．
【解答】解：
r=50.24÷3.14÷2=8（分米）82×3.14=200.96（平方分米）
答：
圆的面积是200.96（平方分米）．故答案为：
200.96平方分米．
2、我会辨一辨
19．两端都在圆上的线段，直径最长． √ （判断对错）
【解答】解：
由题意可作图如下：
通过观察可知，两端都在圆上的所有线段中，直径是最长的一条．故答案为：
√．
20．圆的周长是6.28分米，那么半圆的周长是3.14分米． × ．（判断对错）
【解答】解：
已知C=6.28分米d=6.28÷3.14=2（分米）6.28÷2+2=3.14+2=5.14（分米）
答：
半圆的周长是5.14分米．故答案为：
×．
21．圆的直径是半径的2倍． × ．（判断对错）
【解答】解：
在同圆或等圆中，直径等于半径的2倍，也就是“圆的直径是圆的半径的2倍”的前提条件是“同圆或等圆”．所以原题说法错误；故答案为：
×．
22．π=3.14 × ．（判断对错）
【解答】解：
根据圆周率的含义可知：
π是一个无限不循环小数，π的近似值为3.14；故答案为：
错误．
23．圆的半径扩大4倍，圆的周长也扩大4倍． 正确 ．
【解答】解：
设半径为2，则扩大4倍后的半径为8，原来的周长：
2×π×2=4π，
扩大后的周长：
2×π×（2×4）=16π，周长扩大：
16π÷4π=4倍；所以原题说法正确．答案为：
正确．
24．如果两个圆的周长相等，那么这两个圆的半径和直径的长度也一定分别相等． √ ．（判断对错）
【解答】解：
由圆的周长公式：
c=πd=2πr可知，圆的周长是由半径或直径的大小决定的，如果两个圆的周长相等，由于圆周率π是一个定值，则这两个圆的半径和直径的长度也一定分别相等．所以原题说法正确．
故答案为：
√．
三、我会选
25．周长相等的图形中，面积最大的是（ ）
A．长方形B．圆C．正方形
【解答】解：
比较圆、正方形及长方形在周长相等的情况下，哪种图形面积最大；设一个圆的半径是1，它的周长是6.28，面积是3.14，和它周长相等的正方形的面积是：
（6.28÷4）2=2.4649，
和它周长相等的长方形的面积是：
6.28÷2=3.14，设这个长方形的长、宽分别为a、b：
取一些数字（0.1，3.04），（0.5，2.64），（1，2.14），…（2.14，1），（2.64，0.5），（3.04，0.1）
可以发现长方形的长和宽越接近，面积就越大，当长和宽相等时，也就是变成正方形了，所以这个长方形的面积一定小于正方形的面积．所以在周长相等的情况下，面积：
圆＞正方形＞长方形．故选：
B．
26．圆的半径扩大3倍，它的面积就扩大（ ）
A．3倍B．6倍C．9倍
【解答】解：
假设这个圆原来的半径是1厘米，则扩大3倍后半径是3厘米，原来圆的面积S=πr2=π×12=π（平方厘米），扩大后圆的面积S=πr2=π×32=9π（平方厘米），9π÷π=9倍；答：
面积扩大9倍．故选：
C．
27．以正方形的边长为半径的圆，它的面积是正方形的（ ）正确答案是：
A．4倍B．3.5倍C．3.14倍D．3倍
【解答】解：
设圆的半径为r则正方形的面积=r×r=r2圆的面积=3.14r2所以3.14r2÷r2=3.14．
答：
它的面积是正方形的3.14倍．故选：
C．
28．在下面各圆中，面积最大的圆是 A ，面积相等的圆是 B、C
A．半径3厘米B．直径4厘米C．周长12.56厘米D．周长9.42厘米．
【解答】解：
（1）3.14×32=28.26（平方厘米）；
（2）3.14×（4÷2）2=12.56（平方厘米）；
（3）3.14×（12.56÷3.14÷2）2=12.56（平方厘米）；（4）3.14×（9.42÷3.14÷2）2=7.065（平方厘米）；
所以面积最大的圆是A，面积相等的圆是B和C；故选：
A；B、C．
29．一个环形，内圆半径是3分米，外圆半径是5分米，这个环形的面积是多少平方分米？
列式正确的有（ ）
A．3.14×（5×2﹣3×2）B．3.14×52﹣3.14×32C．3.14×（52﹣32）
【解答】解：
3.14×（52﹣32），=3.14×16，=50.24（平方分米），答：
这个环形的面积是50.24平方分米．
故选：
BC．
四、我会算
30．求阴影部分的面积．
【解答】解：
（1）16÷2=8（厘米）3.14×82÷2+16×8÷2=100.48+64=164.48（平方厘米）
答：
阴影部分面积是164.48平方厘米．
（2）6×（6÷2）÷2×2=6×3÷2×2=18（平方厘米）答：
阴影部分面积是18平方厘米．
（3）10×10﹣3.14×（10÷2）2=10×10﹣3.14×52=100﹣78.5=21.5（平方厘米）
答：
阴影部分面积是21.5平方厘米．
（4）6÷2=3（厘米）3+1=4（厘米）3.14×（42﹣32）÷2=3.14×7÷2=10.99（平方厘米）
答：
阴影部分面积是10.99平方厘米．
五、解决问题
31．饭店的大厅内挂着一只大钟，它的分针长48厘米．这根分针的尖端转动一周所走的路程是多少厘米？
【解答】解：
3.14×48×2，=3.14×96，=301.44（厘米）．答：
所走的路程是301.44厘米．
32．学校操场（如图，单位：
米），操场的周长是多少米？
面积是多少平方米？
【解答】解：
3.14×32+75×2=100.48+150=250.48（米）
3.14×（32÷2）2+75×32=3.14×256+2400=803.84+2400=3203.84（平方米）
答：
操场的周长是250.48米，面积是3203.84平方米．
33．一辆自行车的车轮半径是40厘米，车轮每分钟转100圈，要通过2512米的桥，大约需要几分钟？
【解答】解：
2×3.14×40=251.2（厘米）；251.2×100=25120（厘米）；25120厘米=251.2米；
2512÷251.2=10（分钟）；答：
要通过2512米的大桥，大约需要10分钟．
34．在一个圆形喷水池的周长是62.8米，绕着这个水池修一条宽2米的水泥路．求路面的面积．
【解答】解：
水池的半径为：
62.8÷3.14÷2=10（米），路面的面积为：
3.14×[（10+2）2﹣102]
=3.14×（144﹣100），=3.14×44，=138.16（平方米），答：
路面的面积是138.16平方米．
35．一个圆形养鱼池，直径是4米，这个养鱼池的周长是多少米？
占地面积是多少平方米？
【解答】解：
3.14×4=12.56（米）；4÷2=2（米），3.14×22=12.56（平方米）；
答：
这个养鱼池的周长是12.56米，占地面积是12.56平方米．
36．一个环形铁片，内圆直径是14厘米，外圆直径是18厘米，这个环形铁片的面积是多少？
【解答】解：
14÷2=7（厘米），18÷2=9（厘米），3.14×（92﹣72），=3.14×（81﹣49），
=3.14×32，=100.48（平方厘米）；答：
这个环形铁片的面积是100.48平方厘米．
37．在一个直径是16米的圆心花坛周围，有一条宽为2米的小路围绕，小路的面积是多少平方米？
【解答】解：
16÷2=8（米），8+2=10（米），3.14×（102﹣82），
=3.14×（100﹣64），=3.14×36，=113.04（平方米）．答：
小路的面积是113.04平方米．
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