数学高考真题文科数学全国卷II.docx

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数学高考真题文科数学全国卷II

绝密★启用前

2018年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：

本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．

A．

B．

C．

D．

2．已知集合

，

，则

A．

B．

C．

D．

3．函数

的图像大致为

4．已知向量

，

满足

，

，则

A．4B．3C．2D．0

5．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为

A．

B．

C．

D．

6．双曲线

的离心率为

，则其渐近线方程为

A．

B．

C．

D．

7．在

中，

，

，

，则

A．

B．

C．

D．

8．为计算

，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入

A．

B．

C．

D．

9．在正方体

中，

为棱

的中点，则异面直线

与

所成角的正切值为

A．

B．

C．

D．

10．若

在

是减函数，则

的最大值是

A．

B．

C．

D．

11．已知

，

是椭圆

的两个焦点，

是

上的一点，若

，且

，则

的离心率为

A．

B．

C．

D．

12．已知

是定义域为

的奇函数，满足

．若

，则

A．

B．0C．2D．50

二、填空题：

本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线

在点

处的切线方程为__________．

14．若

满足约束条件

则

的最大值为__________．

15．已知

，则

__________．

16．已知圆锥的顶点为

，母线

，

互相垂直，

与圆锥底面所成角为

，若

的面积为

，则该圆锥的体积为__________．

三、解答题：

共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23为选考题。

考生根据要求作答。

（一）必考题：

共60分。

17．（12分）

记

为等差数列

的前

项和，已知

，

．

（1）求

的通项公式；

（2）求

，并求

的最小值．

18．（12分）

下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额

（单位：

亿元）的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了

与时间变量

的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量

的值依次为

）建立模型①：

；根据2010年至2016年的数据（时间变量

的值依次为

）建立模型②：

．

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？

并说明理由．

19．（12分）

如图，在三棱锥

中，

，

，

为

的中点．

（1）证明：

平面

；

（2）若点

在棱

上，且

，求点

到平面

的距离．

20．（12分）

设抛物线

的焦点为

，过

且斜率为

的直线

与

交于

，

两点，

．

（1）求

的方程；

（2）求过点

，

且与

的准线相切的圆的方程．

21．（12分）

已知函数

．

（1）若

，求

的单调区间；

（2）证明：

只有一个零点．

（二）选考题：

共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4－4：

坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系

中，曲线

的参数方程为

（

为参数），直线

的参数方程为

（

为参数）．

（1）求

和

的直角坐标方程；

（2）若曲线

截直线

所得线段的中点坐标为

，求

的斜率．

23．[选修4－5：

不等式选讲]（10分）

设函数

．

（1）当

时，求不等式

的解集；

（2）若

，求

的取值范围．

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2018年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学试题参考答案

一、选择题

1．D2．C3．B4．B5．D6．A

7．A8．B9．C10．C11．D12．C

二、填空题

13．y=2x–214．915．

16．8π

三、解答题

17．解：

（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．

由a1=–7得d=2．

所以{an}的通项公式为an=2n–9．

（2）由

（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．

所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．

18．解：

（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．

利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

=99+17.5×9=256.5（亿元）．

（2）利用模型②得到的预测值更可靠．

理由如下：

（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型

=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．

（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．

以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．

19．解：

（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=

．

连结OB．因为AB=BC=

，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB=

=2．

由

知，OP⊥OB．

由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．

（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由

（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．

故CH的长为点C到平面POM的距离．

由题设可知OC=

=2，CM=

=

，∠ACB=45°．

所以OM=

，CH=

=

．

所以点C到平面POM的距离为

．

20．解：

（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k>0）．

设A（x1，y1），B（x2，y2）．

由

得

．

，故

．

所以

．

由题设知

，解得k=–1（舍去），k=1．

因此l的方程为y=x–1．

（2）由

（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为

，即

．

设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则

解得

或

因此所求圆的方程为

或

．

21．解：

（1）当a=3时，f（x）=

，f′（x）=

．

令f′（x）=0解得x=

或x=

．

当x∈（–∞，

）∪（

，+∞）时，f′（x）>0；

当x∈（

，

）时，f′（x）<0．

故f（x）在（–∞，

），（

，+∞）单调递增，在（

，

）单调递减．

（2）由于

，所以

等价于

．

设

=

，则g′（x）=

≥0，仅当x=0时g′（x）=0，所以g（x）在（–∞，+∞）单调递增．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点．

又f（3a–1）=

，f（3a+1）=

，故f（x）有一个零点．

综上，f（x）只有一个零点．

22．解：

（1）曲线

的直角坐标方程为

．

当

时，

的直角坐标方程为

，

当

时，

的直角坐标方程为

．

（2）将

的参数方程代入

的直角坐标方程，整理得关于

的方程

．①

因为曲线

截直线

所得线段的中点

在

内，所以①有两个解，设为

，

，则

．

又由①得

，故

，于是直线

的斜率

．

23．解：

（1）当

时，

可得

的解集为

．

（2）

等价于

．

而

，且当

时等号成立．故

等价于

．

由

可得

或

，所以

的取值范围是

．

2018年高考考前猜题卷

理科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：

本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设复数

满足

，则

（）

A．3B．

C．9D．10

2．已知全集

，集合

，

，则

（）

A．

B．

C．

D．

3．已知蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点的距离都大于2的区域内的概率

为（）

A．

B．

C．

D．

4．已知双曲线

，过双曲线左焦点

且斜率为1的直线与其右支交于点

，且以

为直径的圆过右焦点

，则双曲线的离心率是（）

A．

B．

C．

D．

5．一个算法的程序框图如图所示，如果输出

的值是1，那么输入

的值是（）

A．

或

B．

或2C．

或

D．

或2

6．已知函数

的图象中相邻两条对称轴之间的距离为

，将函数

的图象向左平移

个单位后，得到的图象关于

轴对称，那么

的图象（）

A．关于点

对称B．关于点

对称

C．关于直线

对称D．关于直线

对称

7．如下图，网格纸上小正方形的边长为1，图中实线画的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱的长度为（）

A.

B.

C.2D.

8．已知等差数列

的第6项是

展开式中的常数项，则

（）

A．160B．

C．350D．

9．已知函数

与

的图象上存在关于

轴对称的点，则

的取值范围是（）

A．

B．

C．

D．

10．已知正四棱台

的上、下底面边长分别为

，高为2，则其外接球的表面积为（）

A．

B．

C．

D．

11．平行四边形

中，

，

，

是平行四边形

内一点，且

，若

，则

的最大值为（）

A．1B．2C．3D．4

12．设

的三边长分别为

，

的面积为

…，若

，

，则（）

A．

为递减数列

B．

为递增数列

C．

为递增数列，

为递减数列

D．

为递减数列，

为递增数列

二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．函数

的导函数

是奇函数，则实数

.

14．已知

满足约束条件

（

），则

的最大值为.

15．已知

为抛物线

的焦点，过点

作两条互相垂直的直线

，直线

与

交于

两点，直线

与

交于

两点，则

的最小值为.

16．在锐角三角形