数值分析宋岱才版课后答案.docx
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数值分析宋岱才版课后答案
第一章绪论
一本章的学习要求
（1）会求有效数字。
（2）会求函数的误差及误差限。
（3）能根据要求进行误差分析。
二本章应掌握的重点公式
（1）绝对误差：
设x为精确值，x为x的一个近似值，称exx为x的绝对误
差。
（2）相对误差：
er
e
。
x
（3）绝对误差限：
e
x
x。
（4）相对误差限：
r
x
x。
x
x
（5）一元函数的绝对误差限：
设一元函数
f
x
0,则
df
x。
f
dx
（6）一元函数的相对误差限：
r
f
1
df
x
。
f
dx
（7）二元函数的绝对误差限：
设一元函数
f
x,y
0,则
f
y。
f
y
（8）二元函数的相对误差限：
f
1
f
x
f
。
r
f
x
y
y
三本章习题解析
1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，
（1）试指出它们有几位有效数字，
（2）分别
估计A1
X1X2
X3及A2
X2
的相对误差限。
X4
x11.1021,x2
0.031,x3
385.6,x4
56.430
解：
（1）x1
有5位有效数字，x2
有2位有效数字，x3有4位有效数字，
x4有5位有效
数字。
（2）A1
x1x2x3
A1
x2x3,
A1
x1x3,A1
x1x2,由题可知：
A1为A1的近似值，
x1
x2
x3
x1,x2,x3分别为x1,x2,x3近似值。
所以
A1
r
A1
A1
1
A1
A1
A1
x
A1
x
1
x
2
3
X1
X2
X3
1
x2x3
1
104
x1x3
1103
x1x2
1
101
0.215
x1x2x3
2
2
2
A2
X2,则有A2
1,
A2
x2
2,同理有A2
为A2的近似值，x2
，x4
为x2，
X4
x2
x4
x4
x4
x4的近似值，代入相对误差限公式：
A2
rA2
A2
1
A2
X2
A2
X4
A2
X2
X4
X4
1
1
3
X2
1
10
3
5
10
2
2
10
X2
X
2
X4
4
2.正方形的边长大约为100cm，怎样测量才能使其面积误差不超过1cm2?
解：
设正方形的边长为x，则面积为Sx2，ds2x，在这里设x为边长的近似值，S为
dx
面积的近似值：
由题可知：
s
ds
1
x
dx
即：
2x
x
1
推出：
x
1
0.005cm。
200
3.测得某房间长约
L=4.32m，宽约为d=3.12m，且长与宽的误差限均为
0.01m，试问房
间面积S=Ld的误差限和相对误差限分别为多少？
解：
设sld
则有：
s
d，
s
l。
在这里l，d，S
分别为l，d，s的近似值：
l
d
s
s
l
s
ddl
ld
3.120.01
4.320.010.0744cm2
l
d
S
0.0744
相对误差限为：
rS
0.0055
。
S
4.323.12
4.下列公式如何计算才比较准确：
e
2x
1
（1）当x的绝对值充分小时，计算
2
；
（2）当N的绝对值充分大时，计算
N
1
1
2dx
；
N
1
x
（3）当x的绝对值充分大时，计算
x
1
x1
。
x
x
2x
2x
2x
4x
x3x
x
e
1
2xe
1
xex
1
=exex
ex
解：
（1）当x
0时，e
1
=
x
2
2e
1
2eee
2eee
3x
e
x
x
2x
2x
e
ee
e
=
x
e
x
x
e
x
2
e
2e
（2）当N
N1
1
N
1
时，
1
X
2dx=argtgx
N
=argtg
N
1argtgN
N
=argtg
1
N
1
1N
x
1
x
1
1
1
x
x
x
x
（3）当x
时，x
1
x
1
=
x
x
1
1
x
x
x
x
x
x
=
2
。
2
2
x
x
1
x
1
5.
列yn
满足递推关系yn
=10yn1
-1，n=1,2,⋯，若y0=
2
1.41
，计算到y10时误差有多
大？
这个计算数值稳定吗？
解：
已知准确值
y0
2
，近似值
y0
1.41
，设他们的误差为
0
y0
y0，则有：
1
y1
y1
10y01
10y0
1=10y0
y0
100
2
y2
y2
10y1
1
10y1
1=100y0
y0
100
0
y10
y10
10y9
1
10y
1
10
y0
y0
10
以此类推所以
10
9
=10
100
10
10
1
2
1
8
=10
2
1.41
10
2
10
2
10
6.
计算f
2-1
6，取
2
1.4，直接计算和用
1
来计算，哪一个最好？
3
2
2
3
解：
依题意构造函数
fx
x
1
，则fI
x
6
x
1
5
，由绝对误差公式
f
fx
x
=6
1.4
1
5
2
1.4
6
0.0124
1
101=0.003072
2
7.
2
-16x+1=0的较小正根，要求有
3位有效数字。
求二次方程x
解：
由求根公式：
x
16
162
4。
所以。
x1
8
63，x2
8
63对比可知：
2
较小的根为x2863，由相近数相减原理则有：
8
63
8
63
1
x28
63
8
63
8
0.0627
63
8.如果利用四位函数表计算1cos20，试用不同方法计算并比较结果的误差。
解：
1
cos20
1
0.994
0.006
1
cos20
1
sin220
0.0349
2
6.092104
cos20
1.994
9.设x的相对误差限为δ，求x100的相对误差限。
解：
由题意可知：
设fxx100，则有fIx100X99在这里设x为X的近似值，f为f
的近似值，由已知
x的相对误差限为
。
f
fI
x
x
100x
99
x
100
x
f
所以：
100
100
f
f
x
x
x
10.已知三角形面积S=
1
，且a,b,c,的误差分别为
a,
b，
2absinc,其中c为弧度，满足02
c。
证明面积误差
s满足
s
a+
b+
c。
s
a
b
c
解：
由误差定义：
s
s
a
s
b
s
c，又因为：
s
1bsinc，s
1asinc
a
b
c
a
2
b
2
s
1
1
bsinc
a
1
1
c
c
abcosc，代入上式可得：
s
asinc
babcosc
2
2
2
2
s
1bsinc
1asinc
1abcosc
2
a
2
b
2
c，
两边同除以s可得：
s
1
1
1
absinc
absinc
absinc
2
2
2
约分可得：
s
a
b
c
则有：
tgc>c>0.，
s
a
b
，因为：
0tgc
2
所以命题
s
a
b
c
s
a
b
成立。
c
第二章插值法
一本章的学习要求
（1）会用拉格朗日插值和牛顿插值求低阶插值多项式。
（2）会应用插值余项求节点数。
（3）会应用均差的性质。
二本章应掌握的重点公式
（1）线性插值：
L1x
l0
x
y0
l1
xy1。
（2）抛物插值：
L1
x
l0
x
y0
l1
x
y1
l2
x
y2。
（3）n次插值：
Ln
n
x
lk
x
yk。
k
0
（4）拉格朗日插值余项：
Rn
x
f
x
Ln
x
fn1
1x
。
n
n
1!
（5）牛顿插值公式：
NXfx0
fx0,x1
xx0
fx0,x1
xn
xx0
xx1xxn1。
n
f
xj
（6）fx0,x1,xn
j1xx0
xx1
xxj1xxj1
。
xxn
（7）fx0,x1,xn
f
n
。
n!
（8）牛顿插值余项：
Rn
x
f
x
Nn
x
f
x0,x1
xn
n1
x。
三本章习题解析
1.给定x,fx
的一系列离散点（
1，0），（2，—5），（3，—6），（4，3），试求Lagrange
插值多项试。
解：
设所求插值多项式为
px
L3
X
l0x
y0l1x
y1
l2xy2
，且已知：
x01，y0
0，x1
2，y1
5，x2
3，y2
6，x3
4，y3
3，代入插值基函数公
式：
可得：
l0
x
x
x1
x
x2
x
x3
=
x0
x1
x0
x2
x0
x3
l1
x
x
x0
x
x2
xx3
=
x1
x0
x1
x2
x1
x3
l2
x
x
x0
x
x1
x
x3
=
x2
x0
x2
x1
x2
x3
x
2
x3
x
4
1
2
3
x
1x
3
x
4
112
x1x2x4
211
化简代入p
x得:
p
x
x3
4x23
2.若fx
2x6
3x5
x3
1，求f30,31
36
，f30,31
37
。
解:
由f6
x
2
6!
，所以:
f
6
26!
，f
7
xf7
0.由均差的性质（三）
6
7
可知:
f30,31
36
f
26!
2，f30,31
37
f
0
0
7!
6!
6!
7!
3.给定函数表
xi
0
1
2
3
4
5
f
xi
-7
-4
5
26
65
128
（1）
试用Lagrange插值法求一个三次插值多项式
L3X，并由此求f
0.5
的近似值。
（2）
试用Newton插值公式求一个三次插值多项式
N3
X
，并由此求
f0.5
的近似值。
解：
（1）
n
3，取0.5
附近的4个点为宜。
故取，x0
0，y0
7，x1
1，y1
4，x2
2,y25，
x3
3，y3
26。
则L3X
l0x
y0
l1
xy1
l2
x
y2
，按照习题
1求出插值基
3
函数。
代入L3X。
可得：
L3
X
x
3
2x
7，所以：
f
0.5
1
2
1
75.875
2
2
（2）设牛顿插值多项式为
N
3
x
f
x0
f
x1
x
x0
f
x2
x
x0
x
x1
x0
x0
x1
fx0,x1,x2,x3
xx0
xx1
xx2
，
列差商表：
xi
yi
一阶插商
二阶插商
三阶插商
0
-7
1
-4
3
2
5
9
3
3
26
21
6
1
所以：
N3
X
73x
0
3x0
x
1
x
0
x
1
x2
x3
2x7=-5.875
n
k
k
，k=0,1,2,⋯,n其中lj
4.设xj为互异节点（j=0,1,2,⋯,n）求证：
j
0
xjlj
x
x
x为
n次插值基函数。
证明：
根据题意：
设
k
yj
k
f
x
x，所以有
f
xj
xj，
n
k
n
xj
lj
n
lj
yj
结合上式所以有：
j0
xjlj
x
j
0
f
x
j0
x
=Lnxj
，
由余项定理可知：
f
xj
Ln
xj
Rnxj
，
且由定理二可知，当
0
j
n时，Rn
xj
0所以就有f
xj
Ln
xj
xjk
。
在这里令变量xj
x，所以命题：
n
k
x
k
，成立。
j0
xjlj
x
5.设fx
c2a,b
且f
a
f
b
0，求证：
maxf
x
1
ba
2
maxfII
x。
axb
8
ax
b
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