角θ所有三角函.docx
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角θ所有三角函
角θ所有三角函
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角θ的所有三角函数
三角函数（Trigonometric）是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。
它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。
另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。
现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
它包含六种基本函数：
正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。
由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。
三角函数在复数中有较为重要的应用。
在物理学中，三角函数也是常用的工具。
锐角三角函数定义
如右图，当平面上的三点A、B、C的连线，AB、AC、BC，构成一个直角三角形，其中∠ACB为直角。
对于AB与AC的夹角∠BAC而言：
Rt△ABC
对边（opposite）a=BC
斜边（hypotenuse）h=AB
邻边（adjacent）b=AC
基本函数
英文
缩写
表达式
语言描述
正弦函数
Sine
sin
a/h
∠A的对边比斜边
余弦函数
cosine
cos
b/h
∠A的邻边比斜边
正切函数
Tangent
tan
a/b
∠A的对边比邻边
余切函数
Cotangent
cot
b/a
∠A的邻边比对边
正割函数
Secant
sec
h/b
∠A的斜边比邻边
余割函数
Cosecant
csc
h/a
∠A的斜边比对边
（注：
tan、cot曾被写作tg、ctg，现已不用这种写法。
）
罕见三角函数
除了上述六个常见的函数，还有一些不常见的三角函数：
函数名
与常见函数转化关系
正矢函数
versinθ=1-cosθ
vercosinθ=1+cosθ
余矢函数
coversinθ=1-sinθ
covercosinθ=1+sinθ
半正矢函数
haversinθ=（1-cosθ）/2
havercosinθ=（1+cosθ）/2
半余矢函数
hacoversinθ=（1-sinθ）/2
hacovercosinθ=（1+sinθ）/2
外正割函数
exsecθ=secθ-1
外余割函数
excscθ=cscθ-1
任意角三角函数定义
如图：
在平面直角坐标系中设O-x为任意角α的始边，在角α终边上任取一点P（x，y），令OP=r.
三角函数
sinα=y/rcscα=r/y
cosα=x/rsecα=r/x[1]
tanα=y/xcotα=x/y
单位圆定义
六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。
单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。
但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在0和π/2弧度之间的角。
它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。
根据勾股定理，
那么向量MP对应的就是α的正弦值，向量OM对应的就是余弦值。
OP的延长线（或反向延长线）与l的交点为T，则向量ST对应的就是正切值。
向量的起止点不能颠倒，因为其方向是有意义的。
借助线三角函数线，我们可以观察到第二象限角α的正弦值为正，余弦值为负，正切值为负。
三角函数
三角学理论的基础，是对三角形各元素之间相依关系的认识。
一般认为，这一认识最早是由希腊天文学家获得的。
当时，希腊天文学家为了正确地测量天体的位置。
研究天体的运行轨道，力求把天文学发展成为一门以精确的观测和正确的计算为基础之具有定量分析的科学。
他们给自己提出的第一个任务是解直角三角形，因为进行天文观测时，人与星球以及大地的位置关系，通常是以直角三角形边角之间的关系反映出来的。
在很早以前，希腊天文学家从天文观测的经验中获得了这样一个认识：
星球距地面的高度是可以通过人观测星球时所采用的角度来反映的（如图一）；角度（∠ABC）越大，星球距地面（AC）就越高。
然而，星球的高度与人观测的角度之间在数量上究竟怎么样呢？
能不能把各种不同的角度所反映的星球的高度都一一算出来呢?
这就是天文学向数学提出的第一个课题－制造弦表。
所谓弦表，就是在保持AB不变的情况下可以供查阅的表（如图二），AC的长度与∠ABC的大小之间的对应关系。
三角函数的特殊值
角度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
弧度
0
π/6
π/4
π/3
π/2
2π/3
3π/4
5π/6
π
3π/2
sin值
0
1/2
√2/2
√3/2
1
√3/2
√2/2
1/2
0
-1
cos值
1
√3/2
√2/2
1/2
0
-1/2
-√2/2
-√3/2
-1
0
tan值
0
√3/3
1
√3
∞
-√3
-1
-√3/3
0
∞
cot值
∞
√3
1
√3/3
0
-√3/3
-1
-√3
∞
0
编辑本段公式
同角三角函数关系式
平方关系
倒数关系
商的关系
（sinα）^2+（cosα）^2=1（tanα）^2+1=（secα）^2
（cotα）^2+1=（cscα）^2
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
sinα/cosα=tanα=secα/cscα
cosα/sinα=cotα=cscα/secα
积的关系sinα=tanα×cosα
cosα=cotα×sinα
tanα=sinα×secα
cotα=cosα×cscα
secα=tanα×cscα
cscα=secα×cotα·对称性
180度-α的终边和α的终边关于y轴对称。
-α的终边和α的终边关于x轴对称。
180度+α的终边和α的终边关于原点对称。
90度-α的终边和α的终边关于y=x对称。
三角形与三角函数
1、正弦定理：
在三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R．（其中R为外接圆的半径）
2、第一余弦定理：
三角形中任意一边等于其他两边以及对应角余弦的交叉乘积的和，即a=ccosB+bcosC
3、第二余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方之和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即a^2=b^2+c^2-2bc·cosA
4、正切定理（napier比拟）：
三角形中任意两边差和的比值等于对应角半角差和的正切比值，即（a-b）/（a+b）=tan[（A-B）/2]/tan[（A+B）/2]=tan[（A-B）/2]/cot（C/2）
5、三角形中的恒等式：
对于任意非直角三角形中,如三角形ABC,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
证明：
已知（A+B）=（π-C）
所以tan（A+B）=tan（π-C）
则（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）=（tanπ-tanC）/（1+tanπtanC）
整理可得
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
类似地，我们同样也可以求证:
当α+β+γ=nπ（n∈Z）时，总有tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ
定义域和值域
sin（x）,cos（x）的定义域为R，值域为[-1,1]。
tan（x）的定义域为x不等于π/2+kπ（k∈Z），值域为R。
cot（x）的定义域为x不等于kπ（k∈Z）,值域为R。
y=a·sin（x）+b·cos（x）+c的值域为[c-√（a²+b²）,c+√（a²+b²）]
三角函数的画法
以y=sinx的图像为例，得到y=Asin（ωx+φ）的图像：
方法一：
y=sinx→【左移（φ>0）/右移（φ<0）∣∣∣φ∣个单位】→y=sin（x+φ）→【纵坐标不变，横坐标伸缩到原来的（1/ω）】→y=sin（ωx+φ）→【纵坐标变为原来的A倍（伸长[A>1]/缩短[0 方法二：
y=sinx→【纵坐标不变，横坐标伸缩到原来的（1/ω）】→y=sinωx→【左移（φ>0）/右移（φ<0）∣φ∣/ω个单位】→y=sin（ωx+φ）→【纵坐标变为原来的A倍（伸长[A>1]/缩短[0初等三角函数导数
三角函数图象
y=sinx---y'=cosx
y=cosx---y'=-sinx
y=tanx---y'=1/cos^2x=sec^2x
y=cotx---y'=-1/sin^2x=-csc^2x
y=secx---y'=secxtanx
y=cscx---y'=-cscxcotx
y=arcsinx---y'=1/√（1-x²）
y=arccosx---y'=-1/√（1-x²）
y=arctanx---y'=1/（1+x²）
y=arccotx---y'=-1/（1+x²）
备注：
此处²是对前式进行平方：
x²也即x^2
倍半角规律
如果角a的余弦值为1/2，那么a/2的余弦值为√3/2
反三角函数
三角函数的反函数，是多值函数。
它们是反正弦Arcsinx，反余弦Arccosx，反正切Arctanx，反余切Arccotx等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x的角。
为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，将y为反正弦函数的主值，记为y=arcsinx；相应地，反余弦函数y=arccosx的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctanx的主值限在-π/2 反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。
其概念首先由欧拉提出，并且首先使用了arc+函数名的形式表示反三角函数，而不是f-1（x）.
反三角函数主要是三个：
y=arcsin（x），定义域[-1,1]，值域[-π/2,π/2]，图象用红色线条；
y=arccos（x），定义域[-1,1]，值域[0,π]，图象用蓝色线条；
y=arctan（x），定义域（-∞，+∞），值域（-π/2,π/2），图象用绿色线条；
sinarcsin（x）=x,定义域[-1,1],值域[-π/2,π/2]
证明方法如下：
设arcsin（x）=y,则sin（y）=x,将这两个式子代入上式即可得
其他几个用类似方法可得。
编辑本段高等应用
总体情况
高等代数中三角函数的指数表示（由泰勒级数易得）：
sinz=[e^（iz）-e^（-iz）]/（2i）
cosz=[e^（iz）+e^（-iz）]/2
tanx=[e^（iz）-e^（-iz）]/[ie^（iz）+ie^（-iz）]
泰勒展开有无穷级数，e^z=exp（z）=1+z/1！
+z^2/2！
+z^3/3！
+z^4/4！
+…+z^n/n！
+…≦
此时三角函数定义域已推广至整个复数集。
·三角函数作为微分方程的解：
对于微分方程组y=-y'';y=y''''，有通解Q，可证明
Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。
补充：
由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数－－双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。
复数域内性质
（1）对于z为实数y来说，复数域内正余弦函数的性质与通常所说的正余弦函数性质是一样的。
（2）复数域内正余弦函数在z平面是解析的。
（3）在复数域内不能再断言|sinz|≦1,|cosz|≦1。
（4）sinz、cosz分别为奇函数，偶函数，且以2π为周期。
（5）棣莫佛（DeMoivre）定理 设两个复数（用三角形式表示）Z1=r1（cosθ1+isinθ1）,Z2=r2（cosθ2+isinθ2）,则：
Z1Z2=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）].
编辑本段性质定理
三角函数，正如其名称那样，在三角学中是十分重要的，主要是因为正弦定理与余弦定理。
正弦定理
对于边长为a,b和c而相应角为A,B和C的三角形，有：
sinA/a=sinB/b=sinC/c
也可表示为：
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
变形：
a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
其中R是三角形的外接圆半径。
它可以通过把三角形分为两个直角三角形并使用上述正弦的定义来证明。
在这个定理中出现的公共数（sinA）/a是通过A,B和C三点的圆的直径的倒数。
正弦定理用于在一个三角形中
（1）已知两个角和一个边求未知边和角
（2）已知两边及其一边的对角求其他角和边的问题。
这是三角测量中常见情况。
余弦定理
对于边长为a、b、c而相应角为A、B、C的三角形，有：
a^2=b^2+c^2-2bc·cosA
b^2=a^2+c^2-2ac·cosB
c^2=a^2+b^2-2ab·cosC
也可表示为：
cosC=（a^2+b^2－c^2）/2ab
cosB=（a^2+c^2-b^2）/2ac
cosA=（c^2+b^2-a^2）/2bc
这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。
余弦定理用于在一个三角形的两个边和一个角已知时确定未知的数据。
如果这个角不是两条边的夹角，那么三角形可能不是唯一的（边-边-角）。
要小心余弦定理的这种歧义情况。
物理力学方面的平行四边形定则中也会用到相关知识。
延伸定理：
第一余弦定理（任意三角形射影定理）
设△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有
a=b·cosC+c·cosB，b=c·cosA+a·cosC，c=a·cosB+b·cosA
正切定理
对于边长为a,b和c而相应角为A,B和C的三角形，有：
（a+b）/（a-b）=tan[（A+B）/2]/tan[（A-B）/2]
编辑本段应用：
一元三次方程
一元三次方程的解是三个不相等的实根时，可用三角函数知识求出方程的解。
一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）
重根判别式：
A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd。
总判别式：
Δ=B^2－4AC。
当Δ=B^2－4AC<0时，盛金公式4：
盛金公式4
在利用卡尔丹公式解三次方程时，对于x^3+px+q=0，有
x1=√（-p/3）cos（Φ/3）
x2=√（-p/3）cos（Φ/3+2π/3）
x3=√（-p/3）cos（Φ/3+4π/3）
对于一般的方程ax^3+bx^2+cx+d=0，只需令x=y-b/（3a）即可化为上式求解。
例：
一建筑物的楼顶要建一个储水池，按施工的设计要求，这个储水池的长、宽、高之和为70.5dm（为了减少占用楼顶面积，取长>高>宽），满储水量为10082.44（dm）^3，立体对角线为1903.17dm，问：
如何施工才能达到设计要求？
解：
设取长、宽、高分别为X⑴、X⑵、X⑶，依题意：
X⑴+X⑵+X⑶=70.5
X⑴·X⑵·X⑶=10082.44
X⑴^2+X⑵^2+X⑶^2=1903.17。
解这个方程组。
根据韦达定理，得一元三次方程：
X^3－70.5X^2+1533.54X－10082.44=0
a=1，b=－70.5，c=1533.54，d=－10082.44。
A=369.63；B=－17372.61；C=219308.8716，
Δ=－22444974.63<0。
根据盛金判别法，此方程有三个不相等的实根。
应用盛金公式4求解。
θ=90°。
把有关值代入盛金公式④，得：
X⑴=12.4（dm）；X⑵=34.6（dm）；X⑶=23.5（dm）。
经检验，结果正确。
因为取长>高>宽，
所以，应取长为34.6dm；高为23.5dm；宽为12.4dm来进行施工。
编辑本段复数三角函数
sin（a+bi）=sinacosbi+sinbicosa
=sinachb+ishbcosa
cos（a-bi）=cosacosbi+sinbisina
=cosachb+ishbsina
tan（a+bi）=sin（a+bi）/cos（a+bi）
cot（a+bi）=cos（a+bi）/sin（a+bi）
sec（a+bi）=1/cos（a+bi）
csc（a+bi）=1/sin（a+bi）
编辑本段高中生数学三角函数公式定理口诀
三角函数是函数，象限符号坐标注。
函数图象单位圆，周期奇偶增减现。
同角关系很重要，化简证明都需要。
正六边形顶点处，从上到下弦切割;[3]
中心记上数字1，连结顶点三角形;向下三角平方和，倒数关系是对角，
顶点任意一函数，等于后面两根除。
诱导公式就是好，负化正后大化小，
变成税角好查表，化简证明少不了。
二的一半整数倍，奇数化余偶不变，
将其后者视锐角，符号原来函数判。
两角和的余弦值，化为单角好求值，
余弦积减正弦积，换角变形众公式。
和差化积须同名，互余角度变名称。
计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。
逆反原则作指导，升幂降次和差积。
条件等式的证明，方程思想指路明。
万能公式不一般，化为有理式居先。
公式顺用和逆用，变形运用加巧用;
1加余弦想余弦，1减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范;
三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围;
利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集;
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