轴对称全章教案概要.docx

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轴对称全章教案概要

13章《轴对称》单元计划

教材分析：

轴对称立足于已有的生活经验和初步的数学活动经历,从观察生活中的轴对称现象开始,从整体的角度直观认识并概括出轴对称的特征;通过逐步分析角、线段、等腰三角形等简单的轴对称图形,引入等腰三角形的性质和判定的概念。

本章目标：

1、理解关于直线对称和轴对称图形的概念，并能比较他们的异同点。

2、会画轴对称图形，理解并掌握垂直平分线的性质。

3、等腰三角形的性质与判定的理解与应用。

4、特殊的三角形等边三角形的特殊性。

5、三线合一的广泛应用

本章的课标要求是：

（1）图形的轴对称：

①通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质；②能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；探索简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴；③探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性及其相互关系；④欣赏现实生活中的轴对称图形，结合现实生活中典型实例了解并欣赏物体的镜面对称，能利用轴对称进行图案设计；⑤在同一直角坐标系中，感受图形轴对称变换后点的坐标的变化.

（2）线段的垂直平分线：

了解线段垂直平分线及其性质.（3）等腰三角形：

①了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质和一个三角形是等腰三角形的条件，了解等边三角形的概念并探索其性质；②了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件. 

学情分析：

本章是在学过了线段、角、相交线、平行线、全等三角形的有关知识以及一些简单的说理内容之后来学习的，为学习轴对称奠定了基础。

通过本小节的学习，可以丰富和加深学生对已学图形的认识，同时为学习其它图形知识打好基础，然而由于学生在图形识别能力上不足，教材要求学生会确定三线合一的理解和应用等腰三角形、等边三角形、垂直平分线的综合解题，也就成了学生有待突破的难点

教学措施：

根据教学内容以“概念、性质、应用”为侧重点，结合学生所具备的逻辑思维能力，本节课采用以启发式、实验法为主，讨论法、阅读法为辅的教学方法。

有机融合各种教法于一体，做到步步有序，环环相扣，不断引导学生动手、动口、动脑。

在教学中，我采用的是“设疑——实验——认识——实践——再认识”的教学模式，并采用“变式练习”方法提高学习效率。

本章重点：

线段的垂直平分线，等腰三角形的性质与判定的应用

本章难点：

三线合一的理解和应用等腰三角形、等边三角形、垂直平分线的综合解题。

本章课时安排：

本章共9课时

第一节轴对称                     3课时

第二节作轴对称图形                2课时

第三节 等腰三角形                4课时

小结复习                          2课时

 §13．1．1轴对称

（一）

教学目标

（一）教学知识点：

在生活实例中认识轴对称图；分析轴对称图形，理解其概念．

（二）能力训练要求1．通过丰富的生活实例认识轴对称，能够识别简单的轴对称图形及其对称轴．2．经历观察、分析的过程，训练学生观察、分析的能力．

（三）情感与价值观要求通过对丰富的轴对称现象的认识，进一步培养学生积极的情感、态度，促进观察、分析、归纳、概括等一般能力和审美能力的提高．

重、难点轴对称图形的概念．能够识别轴对称图形并找出它的对称轴．

教学过程

Ⅰ．创设情境，导入新课

1.举实例说明对称的重要性和生活充满着对称。

对称给我们带来多少美的感受！

初步掌握对称的奥秒，不仅可以帮助我们发现一些图形的特征，还可以使我们感受到自然界的美与和谐．

2.轴对称是对称中重要的一种，让我们一起走进轴对称世界，探索它的秘密吧！

Ⅱ．讲授新课

1.观察：

几幅图片（出示图片），观察它们都有些什么共同特征．强调：

对称现象无处不在，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，甚至日常生活用品，人们都可以找到对称的例子．练习：

从学生生活周围的事物中来找一些具有对称特征的例子．

2.观察：

如图14．1．2，把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸，就剪出了美丽的窗花．你能发现它们有什么共同的特点吗？

3.如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称．

4.动手操作：

取一张质地较硬的纸，将纸对折，并用小刀在纸的中央随意刻出一个图案，将纸打开后铺平，你得到两个成轴对称的图案了吗？

与同伴进行交流．（学生操作、讨论，教师指导）归纳小结：

由此我们进一步了解了轴对称图形的特征：

一个图形沿一条直线折叠后，折痕两侧的图形完全重合．

5.练习：

你能找出它们的对称轴吗？

分小组讨论．

思考：

大家想一想，你发现了什么？

（屏幕显示）

学生讨论后小结得出：

6.像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．

（屏幕显示上图中的两个成轴对称图形的对称点）

7.辨析概念

分组讨论：

轴对称图形和两个图形成轴对称这两个概念之间的联系和区别．讨论后可列表比较如下：

轴对称图形

两个图形成轴对称

区别

一个图形

两个图形

联系

1．沿着某条直线对折后，直线两旁的部分都能够互相重合（即直线两旁的两部分全等）

2．都有对称轴（至少一条）

3．如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条直线对称；如果把两个成轴对称的图形看成一个图形，那么这个图形就是轴对称图形

8.随堂练习课本P60练习

下列图形是部分汽车的标志，哪些是轴对称图形?

奔驰　　宝马　　　大众　　　　　　　奥迪

Ⅲ．课时小结

通过本节课的学习，你有什么收获?

主要围绕下列几个问题:

1．概念：

轴对称图形，两个图形关于某条直线对称，对称轴，对称点．2．找轴对称图形的对称轴．

课后作业

（一）课本习题13．1─1、2、6、7、8题．

（二）预习

板书设计

§13．1．1轴对称

（一）

导入讲授新课课时小结

轴对称图形轴对称

对称轴对称点作业

§14．1．2轴对称

（二）

第二课时

教学目标

（一）教学知识点1．了解两个图形成轴对称性的性质，了解轴对称图形的性质．

2．探究线段垂直平分线的性质．

（二）能力训练要求1．经历探索轴对称图形性质的过程，进一步体验轴对称的特点，发展空间观察．2．探索线段垂直平分线的性质，培养学生认真探究、积极思考的能力．

（三）情感与价值观要求通过对轴对称图形性质的探索，促使学生对轴对称有了更进一步的认识，活动与探究的过程可以更大程度地激发学生学习的主动性和积极性，并使学生具有一些初步研究问题的能力．

重、难点1．轴对称的性质．2．线段垂直平分线的性质．3.体验轴对称的特征．

教学过程

Ⅰ．创设情境，导入新课

1.什么样的图形是轴对称图形呢？

2.轴对称图形有哪些性质，从图形中能得到结论？

Ⅱ．讲授新课

1.如下图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、B、C对称点，线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？

为什么？

（学生思考并做小范围讨论）对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．我们把经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．

2.画一个轴对称图形，并找出两对称点，看一下对称轴和两对称点连线的关系．

3.对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．（归纳得出）

归纳图形轴对称的性质：

如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．下面我们来探究线段垂直平分线的性质．

4.[探究1]如下图．木条L与AB钉在一起，L垂直平分AB，P1，P2，P3，…是L上的点，分别量一量点P1，P2，P3，…到A与B的距离，你有什么发现？

学生活动：

1．学生用平面图将上述问题进行转化，先作出线段AB，过AB中点作AB的垂直平分线L，在L上取P1、P2、P3…，连结AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…

2．作好图后，用直尺量出AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…讨论发现什么样的规律．

探究结果：

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．即AP1=BP1，AP2=BP2，…证法:

利用轴对称性质．由于点C是线段AB的中点，将线段AB沿直线L对折，线段PA与PB是重合的，因此它们也是相等的．带着探究1的结论我们来看下面的问题．

5.[探究2]如下图．用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢？

为什么？

学生活动：

1．学生用平面图形将上述问题进行转化．作线段AB，取其中点P，过P作L，在L上取点P1、P2，连结AP1、AP2、BP1、BP2．会有以下两种可

能．2．讨论：

要使L与AB垂直，AP1、AP2、BP1、BP2应满足什么条件？

探究过程：

1．如上图甲，若AP1≠BP1，那么沿L将图形折叠后，A与B不可能重合，也就是∠APP1≠∠BPP1，即L与AB不垂直．

2．如上图乙，若AP1=BP1，那么沿L将图形折叠后，A与B恰好重合，就有∠APP1=∠BPP1，即L与AB重合．当AP2=BP2时，亦然．

6.探究结论：

与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．也就是说在[探究2]图中，只要使箭端到弓两端的端点的距离相等，就能保持射出箭的方向与木棒垂直．

上述两个探究问题的结果就给出了线段垂直平分线的性质，即：

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上．所以线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合．

7.随堂练习课本练习1、2．

Ⅲ．课时小结

让学生从以下几方面去思考：

1．本节课你学到了什么?

（1）从知识上：

一个概念（线段的垂直平分线），四条性质（轴对称图形的性质、垂直平分线的性质）；

（2）从方法上：

合作探究是数学学习的一种重要方法，数学与实际问题的联系．2．轴对称图形的性质与线段垂直平分线的性质之间的联系；在解决问题的过程中所看到的新旧知识之间的联系注：

让学生进行小结有利于培养学生良好的学习品质和学习习惯，当然教师应该加以引导．

课后作业

课本习题13．1─3、4、9题．

板书设计

§13．1．1轴对称

（二）

导入讲授新课课时小结

轴对称的性质

线段垂直平分线的性质作业

§13．1．3轴对称（三）

教学目标

（一）教学知识点：

探索作出轴对称图形的对称轴的方法．

（二）能力训练要求1．经历探究轴对称图形的对称轴的作法的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．2．掌握轴对称图形对称轴的作法．3．在探索的过程中，培养学生分析、归纳的能力．

（三）情感与价值观要求通过提问、思考、归纳、探究来激发学生学习数学的兴趣，并使学生了解一些研究问题的经验和方法，开拓实践能力，培养创新精神．

重、难点轴对称图形对称轴的作法．探索轴对称图形对称轴的作法．

教学过程

Ⅰ．提出问题，导入新课

1.有时我们感觉两个图形是轴对称的，如何验证呢？

不折叠图形，你能比较准备地作出轴对称图形的对称轴吗？

2.轴对称图形性质．如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．轴对称图形的对称轴，是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．

3.找到一对对应点，作出连结它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴了．

4.问题：

如何作出线段的垂直平分线？

提示：

由两点确定一条直线和线段垂直平分线的性质，只要作出到线段两端点距离相等的两点即可．分组讨论我们用折纸的方法，根据折叠的过程中线段重合，说明了线段垂直平分线的一个性质：

线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．所以这个问题利用此性质就能完成．

Ⅱ．讲授新课

1.要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定定理，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，又由两点确定一条直线这个公理，那么我们必须找到两个到线段两端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线．一学生上台来写出已知、求作、作法，体会作法中每一步的依据．[师生共析]

[例]如图

（1），点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？

已知：

线段AB[如图

（1）]．求作：

线段AB的垂直平分线．

作法：

如图

（2）

（1）．分别以点A、B为圆心，以大于

AB的长为半径作弧，两弧相交于C和D两点；

（2）．作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线．

2.思考：

（1）在上述作法中，为什么要以“大于

AB的长”为半径作弧？

（2）如果以

AB长为半径作弧，两弧只有一个交点，正好是线段AB的中点．这样就找不到到端点A、B距离相等的两点，也就作不出线段AB的垂直平分线．（3）如果以小于

AB长为半径，两弧就没有交点，这样找不到到A、B两端点距离相等的点，也就作不出线段AB的垂直平分线了．只有以大于

长为半径作弧才可以作出线段AB的垂直平分线．3.[例]下图中的五角星有几条对称轴？

作出这些对称轴．

作法：

1．找出五角星的一对对应点A和A′，连结AA′．

2．作出线段AA′的垂直平分线L．

则L就是这个五角星的一条对称轴．

用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴．

4．随堂练习课本练习1、2、3

Ⅲ．课时小结

主要围绕以下几点进行归纳：

1．线段垂直平分线的作法；2．画成轴对称的图形的对称轴的几种常见方法：

（1）将图形对折；

（2）用尺规作图；（3）用刻度尺先取一对对称点连线的中点，然后画垂线．3．有许多图形的对称轴不止一条．

课后作业

课本习题─5、10、11、12题．

板书设计

§13．1．1轴对称（三）

导入讲授新课课时小结

轴对称图形的对称轴的作法

轴对称图形对称轴的作法作业

§13．2．1．1轴对称变换

（一）

教学目标

（一）教学知识点1．通过实际操作，了解什么叫做轴对称变换．2．如何作出一个图形关于一条直线的轴对称图形．

（二）能力训练要求经历实际操作、认真体验的过程，发展学生的思维空间，并从实践中体会轴对称变换在实际生活中的应用．

（三）情感与价值观要求1．鼓励学生积极参与数学活动，培养学生的数学兴趣．2．初步认识数学和人类生活的密切联系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的应用意识．3．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．

重、难点：

1．轴对称变换的定义．2．能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形．3．作出简单平面图形关于直线的轴对称图形．4．利用轴对称进行一些图案设计

教学过程

Ⅰ．设置情境，引入新课

1.同学们思考一种作轴对称图形的方法？

．

（1）将一张纸对折后，用针尖在纸上扎出一个图案，将纸打开后铺平，得到的两个图案是关于折痕成轴对称的图形．

（2）准备一张质地较软，吸水性能好的纸或报纸，在纸的一侧上滴上一滴墨水，将纸迅速对折，压平，并且手指压出清晰的折痕．再将纸打开后铺平，位于折痕两侧的墨迹图案也是对称的．上述方法，行吗？

为什么？

．

Ⅱ．导入新课

1.连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．类似地，我们也可以由一个图形得到与它成轴对称的另一个图形，重复这个过程，可以得到美丽的图案．

2.同学们自己动手在一张纸上画一个图形，将这张纸折叠描图，再打开看看，得到了什么？

改变折痕的位置并重复几次，又得到了什么？

同学们互相交流一下．（学生动手做）结论：

由一个平面图形呆以得到它关于一条直线L对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；

3.新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点；连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．

4.我们把上面由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称变换后得到．一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础，经轴对称变换扩展而成的．

5.练习：

取一张长30厘米，宽6厘米的纸条，将它每3厘米一段，一正一反像“手风琴”那样折叠起来，并在折叠好的纸上画上字母E，用小刀把画出的字母E挖去，拉开“手风琴”，你就可以得到以字母E为图案的花边．回答下列问题．

（1）在你所得的花边中，相邻两个图案有什么关系？

相间的两个图案又有什么关系？

说说你的理由．

（2）如果以相邻两个图案为一组，每一组图案之间有什么关系？

三个图案为一组呢？

为什么？

（3）在上面的活动中，如果先将纸条纵向对折，再折成“手风琴”，然后继续上面的步骤，此时会得到怎样的花边？

它是轴对称图形吗？

先猜一猜，再做一做．注：

为了保证剪开后的纸条保持连结，画出的图案应与折叠线稍远一些．

投影仪演示学生的作品．

6．随堂练习

Iii．课时小结

1．由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全一样．2．经轴对称变换后的图形与原图形上的对应点连线被对称轴垂直平分．3．画一个图形经轴对称变换后的图形，关键是找到图形上的一些点，作出这些点的对称点．．

课后作业

板书设计

§13．2．1．2轴对称变换

（一）

导入讲授新课课时小结

轴对称变换

作轴对称图形．作业

§13．2．1．2轴对称变换

（二）

教学目标

（一）教学知识点1．能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形．2．轴对称的简单应用．

（二）能力训练要求1．能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形．2．培养学生运用轴对称解决实际问题的基本能力．3．使学生掌握数学知识的衔接与各部分知识间的相互联系．

（三）情感与价值观要求1．积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．

重、难点：

能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形．应用轴对称解决实际问题．

教学过程

Ⅰ．导入情境

1.上节课我们学习了轴对称变换的概念，知道了一个图形经过轴对称变换可以得到它的轴对称图形，那么具体过程如何操作呢？

这就是我们这节课要学习的．下面同学们来仔细观察一个图案．以虚线为对称轴画出图的另一半：

Ⅱ．讲授新课

1.如何作一个图形经过轴对称后的图形呢？

我们知道：

任何一个图形都是由点组成的．因为我们来作一个点关于一条直线的对称点．由已经学过的知识知道：

对应点的连线被对称轴垂直平分．所以，已知对称轴L和一个点A，要画出点A关于L的对应点A′，可采取如下方法：

（1）过点A作对称轴L的垂线，垂足为B；

（2）在垂线上截取BA′，使BA′=AB．点A′就是点A关于直线L的对应点．

好，大家来动手画一点A关于直线L对称的对应点，教师口述，大家来画图，要注意作图的准确性．……

2.现在我们会画一点关于已知直线的对称点，那么一个图形呢？

大家请看大屏幕．[例1]如图

（1），已知△ABC和直线L，作出与△ABC关于直线L对称的图形．

作法：

如图

（2）．

（1）过点A作直线L的垂线，垂足为点O，在垂线上截取OA′=OA，点A′就是点A关于直线L的对称点；

（2）类似地，作出点B、C关于直线L的对称点B′、C′；（3）连结A′B′、B′C′、C′A′，得到△A′B′C′即为所求．

3.我们共同来归纳一下如何作出简单平面图形经过轴对称后的图形．归纳：

几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对称点，再连结这些对应点，就可得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对应点，连结这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形．

4.随堂练习课本练习1、2．

Ⅲ．课时小结

本节课我们主要研究了如何作出简单平面图形经过轴对称后的图形．在按要求作图时要注意作图的准确性．求作一个几何图形关于某条直线对称的图形，可以转化为求作这个图形上的点关于这条直线的对称点．对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段的端点）的对称点，连结这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．

课后作业课本习题─1、5、8、9题．

板书设计

§13．2．1．2轴对称变换

（二）

导入讲授新课课时小结

轴对称变换

作轴对称图形．作业

§13．2．2用坐标表示轴对称

教学目标

（一）教学知识点1．在平面直角坐标系中，探索关于x轴、y轴对称的点的坐标规律．2．利用关于x轴、y轴对称的点的坐标的规律，能作出关于x轴、y轴对称的图形．

（二）能力训练要求1．在探索关于x轴，y轴对称的点的坐标的规律时，发展学生数形结合的思维意识．2．在同一坐标系中，感受图形上点的坐标的变化与图形的轴对称变换之间的关系．

（三）情感与价值观要求在探索规律的过程中，提高学生的求知欲和强烈的好奇心．

重、难点：

1．理解图形上的点的坐标的变化与图形的轴对称变换之间的关系．

2．在用坐标表示轴对称时发展形象思维能力和数形结合的意识．

教学过程

Ⅰ．提出问题，创设情境

1．如图：

（1）观察上图中两个圆脸有什么关系？

（2）已知右边图脸右眼的坐标为（4，3），左眼的坐标为（2，3），嘴角两个端点，右端点的坐标为（4，1），左端点的坐标为（2，1）．你能根据轴对称的性质写出左边圆脸上左眼，右眼及嘴角两端点的坐标吗？

2．在平面直角坐标系中，将坐标为（2，2），（4，2），（4，4），（2，4），（2，2）的点用线段依次连结起来形成一个图案．

（1）纵坐标不变，横坐标分别乘以-1，再将所得的各个点用线段依次连结起来，所得的图案与原图案相比有何变化？

（2）横坐标不变，纵坐标分别乘以-1，再将所得的各个点用线段依次连结起来，所得的图案又与原图案相比有何变化？

2．在直角坐标系中根据坐标描出四个点并依次连结如图．A（2，2），B（4，2），C（4，4），D（2，4）．

（1）纵坐标不变，横坐标乘以-1，得到相应四个点为A1（-2，2），B1（-4，2），C1（-4，4），D1（-2，4）．顺次连结所得到的图案和原图案比较，不难发现它们是关于y轴对称的．

（2）横坐标不变，纵坐标乘以-1，得到相应的四个点为A2（2，-2），B2（4，-2），C2（4，-4），D2（2，-4）．顺次连结所得到的图案和原图案比较，可得它们是关于x轴对称的．

[师]A（2，2）与A1（-2，2）关于y轴对称，

B（4，2）与B1（-4，2）关于y轴对称，

C（4，4）与C1（-4，4）关于y轴对称，

D（2，4）与D1（-2，4）关于y轴对称．那么关于y轴对称的点具有什么规律呢？

A（2，2）与A2（2，-2）关于x轴对称，B（4，2）与B2（4，-2）关于x轴对称，C（4，4）与C2（4，-4）关于x轴对称，D（2，4）与D2（2，-