船头方向与河岸间的夹角为θ，那么cosθ＝
渡河时间t＝
位移x＝
例 一小船渡河，河宽d＝180m，船在静水中的速度为v1＝5m/s，水流速度v2＝2.5m/s.求：
（1）欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？
用多长时间？
位移是多少？
（2）欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？
用多长时间？
位移是多少？
【解析】
（1）欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向
当船头垂直河岸时，如图甲所示，合速度为倾斜方向，垂直分速度为v1＝5m/s.
t＝
＝
s＝36s
v＝
＝
m/s
x＝vt＝90
m.
（2）欲使船渡河航程最短，合速度应垂直于河岸，船头应朝上游与垂直河岸方向成某一夹角α
如图乙所示，
有v1sinα＝v2，
得α＝30°
所以当船头向上游垂直河岸方向偏30°时航程最短．
x′＝d＝180m.
t′＝
＝
s
＝24
s.
【答案】
（1）垂直河岸方向 36s 90
m
（2）向上游垂直河岸方向偏30° 24
s 180m
1．解这类问题的关键是：
正确区分分运动和合运动．
2．运动分解的基本方法：
按实际运动效果分解．
（1）确定合速度的方向（就是物体的实际运动方向）；
（2）根据合速度产生的的实际运动效果确定分速度的方向；
（3）运用平行四边形定则进行分解．
3．小船渡河问题的处理
（1）小船渡河问题，无论v船＞v水，还是v船＜v水，渡河的最短时间均为tmin＝
（L为河宽）．
（2）当v船＞v水时，船能垂直于河岸渡河，河宽即是最小位移；当v船＜v水时，船不能垂直于河岸渡河，但此时仍有最小位移渡河，可利用矢量三角形定则求极值的方法处理．
[高考真题]
1．（2016·课标卷Ⅰ，18）一质点做匀速直线运动，现对其施加一恒力，且原来作用在质点上的力不发生改变，则（ ）
A．质点速度的方向总是与该恒力的方向相同
B．质点速度的方向不可能总是与该恒力的方向垂直
C．质点加速度的方向总是与该恒力的方向相同
D．质点单位时间内速率的变化量总是不变
【解析】 因为质点原来做匀速直线运动，合外力为0，现在施加一恒力，质点的合力就是这个恒力，所以质点可能做匀变速直线运动，也有可能做匀变速曲线运动，这个过程中加速度不变且一定与该恒力的方向相同，但若做匀变速曲线运动，单位时间内速率的变化量是变化的，故C正确，D错误．若做匀变速曲线运动，则质点速度的方向不会总是与该恒力的方向相同，故A错误；不管做匀变速直线运动，还是做匀变速曲线运动，质点速度的方向不可能总是与该恒力的方向垂直，故B正确．
【答案】 BC
2．（2015·广东卷，14）如图所示，帆板在海面上以速度v朝正西方向运动，帆船以速度v朝正北方向航行，以帆板为参照物（ ）
A．帆船朝正东方向航行，速度大小为v
B．帆船朝正西方向航行，速度大小为v
C．帆船朝南偏东45°方向航行，速度大小为
v
D．帆船朝北偏东45°方向航行，速度大小为
v
【解析】 以帆板为参照物，帆船具有朝正东方向的速度v和朝正北方向的速度v，两速度的合速度大小为
v，方向朝北偏东45°，故选项D正确．
【答案】 D
3．（2014·四川卷，4）有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河．小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直．去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为（ ）
A.
B．
C.
D．
【解析】 设河岸宽度为d，去程时t1＝
，回程时，t2＝
，又
＝k，得v静＝
，B正确．
【答案】 B
[名校模拟]
4．（2018·山东潍坊高三上学期期中）关于曲线运动，下列说法正确的是（ ）
A．曲线运动是变速运动
B．变速运动一定是曲线运动
C．物体保持速率不变沿曲线运动，其加速度为零
D．任何做圆周运动物体的加速度都指向圆心
【解析】 曲线运动是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动，例如匀变速直线运动，故A对，B错；匀速圆周运动速率不变，但加速度不为零，C错；只有做匀速圆周运动的物体加速度才指向圆心，D错．
【答案】 A
5．（2018·山东烟台高三上学期期中）一物体从位于一直角坐标系xOy平面上的O点开始运动，前2s在y轴方向的vt图象和x轴方向的st图象分别如图甲、乙所示，下列说法正确的是（ ）
甲 乙
A．物体做匀变速直线运动
B．物体的初速度为8m/s
C．2s末物体的速度大小为4m/s
D．前2s内物体的位移大小为8
m
【解析】 由图象可知，y轴方向为匀加速运动，x轴方向为匀速直线运动，故合运动为曲线运动，A错；物体初速度为4m/s，B错；2s末速度v＝
m/s＝4
m/s，C错；前2s内位移x＝
m＝8
m，D对．
【答案】 D
6．（2018·山东师大附中高三质检）如图所示，水平面上固定一个与水平面夹角为θ的斜杆A，另一竖直杆B以速度v水平向左做匀速直线运动，则从两杆开始相交到最后分离的过程中，两杆交点P的速度方向和大小分别为（ ）
A．水平向左，大小为v
B．竖直向上，大小为vtanθ
C．沿A杆斜向上，大小为
D．沿A杆斜向上，大小为vcosθ
【解析】 两杆的交点P参与了两个分运动：
与B杆一起以速度v水平向左的匀速直线运动和沿B杆竖直向上的匀速运动，交点P的实际运动方向沿A杆斜向上，如图所示，则交点P的速度大小为vP＝
，故C正确．
【答案】 C
课时作业（十）
[基础小题练]
1．趣味投篮比赛中，运动员站在一个旋转较快的大平台边缘上，相对平台静止，向平台圆心处的球筐内投篮球．则下图各俯视图中篮球可能被投入球筐（图中箭头指向表示投篮方向）的是（ ）
【解析】 当沿圆周切线方向的速度和出手速度的合速度沿球筐方向，球就会被投入球筐．故C正确，A、B、D错误．
【答案】 C
2．下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图v的箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线．则其中可能正确的是（ ）
【解析】 船头垂直于河岸时，船的实际航向应斜向右上方，A正确，C错误；船头斜向上游时，船的实际航向可能垂直于河岸，B正确；船头斜向下游时，船的实际航向一定斜向下游，D错误．
【答案】 AB
3.（2018·衡阳联考）如图所示，当汽车静止时，车内乘客看到窗外雨滴沿竖直方向OE匀速运动．现从t＝0时汽车由静止开始做甲、乙两种匀加速启动，甲种状态启动后t1时刻，乘客看到雨滴从B处离开车窗，乙种状态启动后t2时刻，乘客看到雨滴从F处离开车窗，F为AB的中点．则t1∶t2为（ ）
A．2∶1B．1∶
C．1∶
D．1∶（
－1）
【解析】 雨滴在竖直方向的分运动为匀速直线运动，其速度大小与水平方向的运动无关，故t1∶t2＝
∶
＝2∶1，选项A正确．
【答案】 A
4．有甲、乙两只船，它们在静水中航行速度分别为v1和v2，现在两船从同一渡口向河对岸开去，已知甲船想用最短时间渡河，乙船想以最短航程渡河，结果两船抵达对岸的地点恰好相同．则甲、乙两船渡河所用时间之比
为（ ）
A.
B．
C.
D．
【解析】 当v1与河岸垂直时，甲船渡河时间最短；乙船船头斜向上游开去，才有可能航程最短，由于甲、乙两只船到达对岸的地点相同（此地点并不在河正对岸），可见乙船在静水中速度v2比水的流速v0要小，要满足题意，则如图所示．由图可得
＝
·sinθ①
cosθ＝
②
tanθ＝
③
由②③式得
＝sinθ，将此式代入①式得
＝
.
【答案】 C
5.自行车转弯时，可近似看成自行车绕某个定点O（图中未画出）做圆周运动，如图所示为自行车转弯时的俯视图，自行车前、后两轮轴A、B相距L，虚线表示两轮转弯的轨迹，前轮所在平面与车身间的夹角θ＝30°，此时轮轴B的速度大小v2＝3m/s，则轮轴A的速度v1大小为（ ）
A.
m/sB．2
m/s
C.
m/sD．3
m/s
【解析】 将两车轴视为杆的两端，杆两端速度沿杆方向的投影大小相等，有v1cos30°＝v2，解得v1＝2
m/s，B正确．
【答案】 B
6．（2018·山东济南一中上学期期中）如图所示，汽车用跨过定滑轮的轻绳提升物块A.汽车匀速向右运动，在物块A到达滑轮之前，关于物块A，下列说法正确的是（ ）
A．将竖直向上做匀速运动
B．将处于超重状态
C．将处于失重状态
D．将竖直向上先加速后减速
【解析】 vA＝v车·cosθ，v车不变，θ减小，vA增大，由T－mAg＝ma知T>mAg，物块A处于超重状态，B对．
【答案】 B
[创新导向练]
7．生活科技——曲线运动的条件在飞行中孔明灯的应用
春节期间人们放飞孔明灯表达对新年的祝福，如图甲所示，孔明灯在竖直Oy方向做匀加速运动，在水平Ox方向做匀速运动，孔明灯的运动轨迹可能为图乙中的（ ）
A．直线OAB．曲线OB
C．曲线OCD．曲线OD
【解析】 孔明灯在竖直Oy方向做匀加速运动，则合外力沿Oy方向，在水平Ox方向做匀速运动，此方向上合力为零，所以合运动的加速度方向沿Oy方向，但合速度方向不沿Oy方向，故孔明灯做曲线运动，结合合力指向轨迹内侧可知轨迹可能为曲线OD，故D正确．
【答案】 D
8．体育运动——足球运动中的力学问题
在足球场上罚任意球时，运动员踢出的足球，在行进中绕过“人墙”转弯进入了球门，守门员“望球莫及”，轨迹如图所示．关于足球在这一飞行过程中的受力方向和速度方向，下列说法中正确的是（ ）
A．合外力的方向与速度方向在一条直线上
B．合外力的方向沿轨迹切线方向，速度方向指向轨迹内侧
C．合外力方向指向轨迹内侧，速度方向沿轨迹切线方向
D．合外力方向指向轨迹外侧，速度方向沿轨迹切线方向
【解析】 足球做曲线运动，则其速度方向为轨迹的切线方向，根据物体做曲线运动的条件可知，合外力的方向一定指向轨迹的内侧，故C正确．
【答案】 C
9．生活科技——教具中的运动合成与分解的原理
如图所示为竖直黑板，下边为黑板的水平槽，现有一三角板ABC，∠C＝30°.三角板上A处固定一大小不计的滑轮．现让三角板竖直紧靠黑板，BC边与黑板的水平槽重合，将一细线一端固定在黑板上与A等高的Q点，另一端系一粉笔头（可视为质点）．粉笔头最初与C重合，且细线绷紧．现用一水平向左的力推动三角板向左移动，保证粉笔头紧靠黑板的同时，紧靠三角板的AC边，当三角板向左移动的过程中，粉笔头会在黑板上留下一条印迹．关于此印迹，以下说法正确的是（ ）
A．若匀速推动三角板，印迹为一条直线
B．若匀加速推动三角板，印迹为一条曲线
C．若变加速推动三角板，印迹为一条曲线
D．无论如何推动三角板，印迹均为直线，且印迹与AC边成75°角
【解析】
在三角板向左移动的过程中，粉笔头沿AC边向上运动，且相对于黑板水平方向向左运动，由于两个分运动的速度始终相等，故粉笔头的印迹为一条直线，如图中CD所示，A正确，B、C错误；根据图中的几何关系可得，∠ACD＝∠ADC＝
＝75°，D正确．
【答案】 AD
10．科技前沿——做曲线运动的波音737飞机
如图所示，从广州飞往上海的波音737航班上午10点到达上海浦东机场，若飞机在降落过程中的水平分速度为60m/s，竖直分速度为6m/s，已知飞机在水平方向做加速度大小等于2m/s2的匀减速直线运动，在竖直方向做加速度大小等于0.2m/s2的匀减速直线运动，则飞机落地之前（ ）
A．飞机的运动轨迹为曲线
B．经20s飞机水平方向的分速度与竖直方向的分速度大小相等
C．在第20s内，飞机在水平方向的分位移与竖直方向的分位移大小相等
D．飞机在第20s内，水平方向的平均速度为21m/s
【解析】 由于合初速度的方向与合加速度的方向相反，故飞机的运动轨迹为直线，A错误；由匀减速运动规律可知，飞机在第20s末的水平分速度为20m/s，竖直方向的分速度为2m/s，B错误；飞机在第20s内，水平位移x＝
－
＝21m，竖直位移y＝
－
＝2.1m，C错误．飞机在第20s内，水平方向的平均速度为21m/s，D正确．
【答案】 D
[综合提升练]
11．如图甲所示，质量m＝2.0kg的物体在水平外力的作用下在水平面上运动，已知物体沿x方向和y方向的xt图象和vyt图象如图乙、丙所示，t＝0时刻，物体位于原点O.g取10m/s2.根据以上条件，求：
（1）t＝10s时刻物体的位置坐标；
（2）t＝10s时刻物体的速度大小．
【解析】
（1）由图可知坐标与时间的关系为：
在x轴方向上：
x＝3.0tm，在y轴方向上：
y＝0.2t2m
代入时间t＝10s，可得：
x＝3.0×10m＝30m，y＝0.2×102m＝20m
即t＝10s时刻物体的位置坐标为（30m,20m）．
（2）在x轴方向上：
v0＝3.0m/s
当t＝10s时，vy＝at＝0.4×10m/s＝4.0m/s
v＝
＝
m/s＝5.0m/s
【答案】
（1）（30m,20m）
（2）5.0m/s
12．如图所示，在竖直平面内的xOy坐标系中，Oy竖直向上，Ox水平向右．设平面内存在沿x轴正方向的恒定风力．一小球从坐标原点沿Oy方向竖直向上抛出，初速度为v0＝4m/s，不计空气阻力，到达最高点的位置如图中M点所示（坐标格为正方形，g＝10m/s2）求：
（1）小球在M点的速度v1；
（2）在图中定性画出小球的运动轨迹并标出小球落回x轴时的位置N；
（3）小球到达N点的速度v2的大小．
【解析】
（1）设正方形的边长为x0.
竖直方向做竖直上抛运动，有v0＝gt1,2x0＝
t1
水平方向做匀加速直线运动，有3x0＝
t1.
解得v1＝6m/s.
（2）由竖直方向的对称性可知，小球再经过t1到x轴，水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，所以回到x轴时落到x＝12处，位置N的坐标为（12,0）．
（3）到N点时竖直分速度大小为v0＝4m/s
水平分速度vx＝a水平tN＝2v1＝12m/s，
故v2＝
＝4
m/s.
【答案】
（1）6m/s
（2）见解析图 （3）4
m/s
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