数学培优.docx
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数学培优
数学培优
第一讲整除的特征
（1）
【知识要点】
数的整除特征：
（1）末尾数是偶数的能被2整除；末尾数是0或5的能被5整除；末两位是4或25的倍数的能被4或25整除；末三位是8或125的倍数的能被8或123整除。
【解读】abcde我们可以理解为abc*100+de，100可以被4或者25整除，那么100的倍数肯定也可以被4或者25整除，所以只需要末两位数的和能够被4或者25整除，这个数一定能够被4或者25整除。
【备注】十位数的2倍+个位数的和，能够被4整除，这个数也能够被4整除0.
（2）各位数字之和能被3或9整除的数，能被3和9整除。
（3）如果一个数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差，能被11整除，则这个数能被11整除。
【备注】奇数位的数不一定是奇数，偶数位的数，不一定是偶数。
（4）一个数分成分成两个数；末三位为一个数，如果这两个数之差能被7，11或13整除，那么这个数就能被7、11或13整除。
（5）同时被2和3整除的这个数可以被6整除
例题1
1,2,3,4,5,6这六个数中的四个数组成一个四位数，它是4的倍数且最大是多少？
最小是多少？
【解题思路】
1四位数最小的在千位和百位先填上一和二再来估算即为：
12剩下的数还有3,4,5,6再进行组合。
最小的数字36可以被4整除，那么1236即为最小的被4整除的数。
2四位数最大的在千位和百位先填上6和5再来估算即为：
65剩下的数还有1,2,3,4再进行组合。
最大的数字32可以被4整除，那么6532即为最大的被4整除的数。
例题2
六位数23.56.是8的倍数，也是9的倍数，这个数是几？
【解题思路】
156.=8的倍数方框内的取值是0—9的范围，
我们逐一代入。
方框内只能够填写0和8
22+3+.+5+6+0=9的倍数方框内只能填写2
32+3+.+5+6+8=9的倍数方框内只能填写3
那么这个数是：
232560和233568
第二讲整除性质
和、差、积的整除性质
1。
a、b、c是整数，如果a能被b整除，b能够被c整除，那么a也能被c整除
【解读】包含关系，可以理解为，a里面包含着n个b，b里面包含着n个c
那么a里面肯定也包含着n个c
2.a，b，c是整数，并且a＞b，如果a和b都能被c整除，那么a与b的和a+b及差a-b也能被c整除
【解读】a/c+b/c=（a+b）/ca/c是整数，b/c也是整数。
整数+整数=整数
3.a，b，c是整数，（b不等于0）如果a能被b整除，那么a和c的乘积也能够被b整除
【解读】a里面包含b，c个a中，肯定也包含着b。
4.a，b，c，d是整数（b不等于0.，d不等于0）如果a能被b整除，c能被d整除，那么a与c才积一定能够被b与d的乘积整除。
【解读】ab，cdacbd
5,a，b，c是整数，并且b与c为互质数，如果a能被b整除，也能被c整除，那么a一定能被数b和数c的乘积整除。
例题分析：
例1，
（1）试判断123453与2376能否被11整除，由此判断125829能否被11整除
【解】123453奇数位和是3+4+2=9，数位和,5+3+1=9，他们的差为0，能够被11整除
2376奇数位和是6+3=9偶数位和是7+2=9他们的差能够被11整除
123453+2376=125829
a，b，c是整数，并且a＞b，如果a和b都能被c整除，那么a与b的和a+b及差a-b也能被c整除
123453能够被11整除，2376也能够被11整除，125829=123453+2376.肯定也可以被11整除。
2试判断78012与1342能否被11整除，由此判断76670能否被11整除
【解】78012奇数位和是2+0+7=9偶数位的和是8+1=9，他们的差为0，能够被11整除
1342奇数位和是2+3=5偶数位和是4+1=9他们的差能够被11整除
78012—1342=766670
a，b，c是整数，并且a＞b，如果a和b都能被c整除，那么a与b的和a+b及差a-b也能被c整除
78012能够被11整除，1342也能够被11整除，766670=78012—1342.肯定也可以被11整除。
3试判断336能否被56整除，而56能否被7整除，由此判断336能否被7整除
【解】336除56=336除（12*4）=336除（8*7）
a，b，c是整数，（b不等于0）如果a能被b整除，那么a和c的乘积也能够被b整除
336除（4*12）中，336为a，4为b，12为c
336能够被4整除，所以，336也能够被56整除
336除（8*7），所以，336也能被7整除
4试判断105能否被3和5整除，由此判断，105能否被15整除
【解】1+5=6105可以被3和5整除
105除15=105除（3*5）
所以，105可以被15整除
5填空16789=6*1000+7*100+8*10+9*1
26789=67*100+89*1
3ABCD=A*1000+B*100+C*10+D*1
4ABCD=AB*100+CD*1
例2小红买了5只铅笔，3只圆珠笔，4本笔记本，8块橡皮，铅笔4元一只，圆珠笔8元一只，售货员一算，说应付146元，小红很肯定地说售货员算错了，你知道为什么吗？
按照售货员的算法应该是
146=5*4+3*8+4*a+8*b
（5*4+3*8+4*a+8*b）应该可以被4整除
然而146不能够被4整除
所以小红认为，售货员算错了
例3某学校有13个兴趣小组，各人数如下
组别
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
人数
2
3
5
7
9
10
11
14
13
17
21
24
24
一天下午，已知有12个小组的同学们参加讨论军事和娱乐，其中讨论军事的是讨论娱乐的人数的六倍，还剩下一个小组在室外玩游戏，玩游戏的是第几组？
【分析】总人数是2+3+5+7+9+10+11+14+13+17+21+24+24=160（人）
讨论军事是的讨论娱乐的六倍
假设讨论娱乐的人数为一份，那么讨论军事的就为6份，
讨论军事的+讨论娱乐=7份
用总人数除以7得到的余数和小组的人数做比较，如果余数正好是小组的人数，那么余数就是该小组的人数，如果余数和任何小组人数都不相符合，那么就用余数+7的倍数，只到和小组人数相吻合为止，得到的和就是在外面玩的小组的人数。
160除7=22余6
没有一个小组的人数是6人
6+7=13正好第9组是13人
所以，在外面玩的小组的第九组，人数是13人
例4一个四位数减去他各位数字之和得到47.2,你知道.里填入数字几吗？
请填入四位数是多少？
◆【分析】设此四位数为ABCD
●ABCD—（A+B+C+D）=47.2
●1000A+100B+10C+D-A-B-C-D=47.2
简化算式：
999A+99B+9C=47.2
◆然后进行估算：
47.2中千位数是四，A如果填写3最大值不会超出3000
A如果填写5肯定超出了得数4700
所以A只能够填写4那么999*A=3996
◆47.2中百位数是7，如果B填写6，99*6=594
594+3996=3564百位数小于7填写6肯定不合适
如果B填写8，99*8=792
792+3996=4788各位数是8和条件中的个位数是2不相符，8肯定不成立
所以B只能够填写7那么99*7=6933996+693=4689
◆4689+9C=47.2因为个位数是2,
4689的个位数是9，9只有加3，个位数才能够等于2
与9相乘的数，只有7个位数才是3
C只能够填写79*7=634689+63=4752与条件相符合
⏹方框内应该填写数字5
✧从简化了算式中：
999A+99B+9C=47.2
我们可以看出，算式已经没有了D，那么整个算式和D是没有任何关系的了
换句话说，D是可以等于0----9的任意一个数
✧所以这个四位数是47704771477247734774
47754776477747784779
例5一个四位数，把他的千位数移到右端，构成一个新的四位数，已知这两个四位数的和是以下五个数中的一个，98859866986798689869这两个四位数之和是多少？
设这个四位数是ABDC
ABCD+BCDA
==1000A+100B+10C+D+1000B+100C+10D+A
==1001A+101B+110C+11D
从而得出这个数能够被11整除
98855+8=139+8=1717-13=2不能够被11整除
98666+8=146+9=1515-14=1不能够被11整除
98677+8=156+9=1515-15=0可以被11整除
所以，这个数是9867
例6已知ABCD+ABC+AB+A=1370，求ABCD
ABCD
ABC
AB
A
----------------------------
1370
A=1B=2C=3D=4
第三讲整除特征
（2）
【例题分析】
⏹例
（1）试判断20592，25092能否被99整除
分析：
99=11*9
✧205922+0+5+9+2=18能被9整除
205922+5+2=99+0=9能够被11整除
所以20592能被99整除
✧250922+0+2=49+5=14不能够被11整除
所以25092不能被99整除
⏹
（2）试判断2385,3825能否被45整除
分析45=9*5
23852+3+8+5=18能被9整除
2385能被5整除也能被9整除所以能被45整除
3825能被5整除也能被9整除所以能被45整除
⏹（3）试判断，12345678,12356784能否被44整除
分析44=11*4
123456788+6+4+2=201+3+5+7=16不能被11整除
123567844+7+5+2=181+3+6+8=18能够被11整除
84能够被4整除
所以，12356784能够被44整除
总结：
●例2
（1）在..内填入适当的数字，使..3..28能被72整除
分析72=8*9
..28可以填13579能被8整除
分别把13579代入方框
只有7+3+7+2+8能够被9整除
所以方框内填7
（2）已知五位数7？
3？
5能被75整除，且各个数位上的数字各不相同，方框内的数字有几种填法？
例3在方框内填入适当的数字，使？
2008？
，2？
008？
，这两个六位数能被44整除
例4在358后面补上三个数，组成一个六位数，使它分别能被3，4，5整除，这样的六位数中，最大的与最小的各是几？
例5一个六位数，只含有数码0和7，并且是15的倍数，问，这个数最大是多少？
最小是多少？
例6学校买来36张课座椅，不料发票给墨水弄脏了，单价上只剩下一个数字，？
3？
？
元，甚至总价也不完全，只剩下1？
24.5？
元，请你帮助会计吧单价和总价算出来。
例7在五位数中，能被11整除且各位数之和为43的数有哪些？
例8从6789这死个数码可以组成多少个没有重复的四位数，其中能被11整除的有哪些？
第四讲整除特征
657657=657*（11）*（7）*（13）
一个数分成分成两个数；末三位为一个数，如果这两个数之差能被7，11或13整除，那么这个数就能被7、11或13整除
（如果这两个数之差是0，7,11,13的倍数，那么这个数，就能够被7.11.13整除）
657657=657*1001
1001能够被11整除，能够被7整除，能够被13整除
777777=777*（11）*（7）*（13）
777777=777*1001
1001能够被11整除，能够被7整除，能够被13整除
797979=79*（3）*（13）*（7）*（37）
797979=79*10101
1+1+1=310101能够被3整除
101-10=9191除7=13所以10101能够被7和13整除
10101除3=33673367除7=481481除13=37,
11111=（）*（）11111*1除外
分析思路：
尾数不是0，2所以11111不能够被2，5整除
1+1+1+1+1=5所以11111不能够被3,9整除同时也不能够被6整除
末两位和末三位分别是，11和111所以不能够被4，8整除
111-11=100所以11111不能够被71113整除
所以只能够考虑两位数乘三位数
11111=...*.....
尾数是1所以这个两位数尾数只能够填1，
11被排除，还剩下2131415161718191
21=3*7所以不能够被11111整除
81=9*991=13*7
例题分析
例1345345.。
。
。
（1995个345）。
。
345345除以7的余数是多少
先看1个345能否被7整除
345除7=49.。
。
。
2
再看两个345能否被7整除
345-345=0所以345345能够被7整除
345345里面有2个345，那么1995里面有多少个345
1995除2=997。
。
。
。
1（代表1995里面有997个345，还余一个345）
所以余数是2
例2343434...（100个34）...3434除13的商的个位数字是多少？
不完全商的各个数位上的和是多少？
因为一共有100个34 ，343434中有3个34100除3=33。
。
。
。
1 （代表共有33个343434. 余1代表，剩余的1个34）
前面的33个34可以被13整除，只有1个34不能够被13整除
那么：
34除13=2.。
。
。
8
所以个位上的商为2
例32009个三位数2ab连在一起所组成的数2ab2ab。
。
。
2009个2ab。
。
。
2ab
恰好为91的倍数，求ab
2ab除n=91
n=1,2,4都不可以，只能等于3
b=3，a=7
例4若523523.。
。
。
2010个523.。
。
。
5235232ab能被91整除，求ab的值。
一个523不能够被91整除
两个523为523523除91=5753能够被91整除
2010个523里面有多少个523523呢
2010除2=1005个523
那么2010个523都可以被91整除，只剩下一个2ab了
2ab也能够被91整除
2ab除n=91
n=1,2,4都不可以，只能等于3
b=3，a=7
例5如666.。
。
66？
888.。
。
。
888（其中6与8各写50次）中的？
应该填什么数字才能使得所得的数被7整除？
一个数分成分成两个数；末三位为一个数，如果这两个数之差能被7，11或13整除，那么这个数就能被7、11或13整除。
666…..50个6….6?
888.....50个8….888
因为是末三位和前面的数之差能被7整除，那么这个数就能被7整除
（666…..50个6….6?
888.....47个8….888）-888
=666…..50个6….6?
888.....44个8….888000
000肯定是不可以被7整除的，所以我们只需呀考虑
666…..50个6….6?
888.....44个8….888能否被7整除
由此可得
把三个8分为一组，组成末三位，50个8里面有多少个三个8.
50除3=16.。
。
2（2代表还有两个8）
所以，只需判别666…..50个6….6?
88能否被7整除
666…..50个……666
---？
88
666…..47个6….？
78能否被7整除
666…..47个……666
---？
78
666…..47个6….？
88能否被7整除
三个6为一组，50个6里，有多少个三个6
50除3=16.。
。
2（2代表还有两个6）
66？
88能否被7整除
？
88
----66
？
22能否被7整除一到久逐个代入得？
=3
例6试除法555…..555个5…..55除73余几
3个5除73=7.。
。
。
444个5除73=76.。
。
。
7
5个5除73=761.。
。
。
26个5除73=7610.。
。
。
20
7个5除73=76103.。
。
68个5除73=761035
555个5里有多少个8个5
555除8=69.。
。
。
。
3（3代表还剩下三个五）
所以余数是44
第五讲因数和倍数
要求会背诵11----25的平方
111213141516171819202122232425
121144169196225256289324361400441484524576625
0和1不是质数也不是合数
除1和本身不能被任何数整除
质数是整数中的最小单元。
特性是不可以再分
质数与合数的判断：
对于一个不很大的自然数N（N大于1），可用下面方法判断它是质数还是合数：
1）找出一个大于N的最小的完全平方数。
。
。
。
。
。
“k的平方”：
2）写出k以内的所有质数，若这些数都不能整除N，则N是质数，弱有些质数能整除N，则N为合数。
质数表：
（100以内的质数工有25个）
23571113171923293137414347535961
67717379838997
特征：
2是唯一的一个偶数质数，其余的全部是奇数。
尾数为5的只有一个。
判断100以内的质数，只需判断能否被3和7整除。
例题分析：
例1试求出下列各数的因数：
134567138797
111111111
3252713397
4329
687
例2，利用成对出现原则，找出72的因数
72362418129
123468
例3判断377是质数还是合数，11111211111是质数还是合数。
20*20=400
20以内的质数为：
235711131917
13*30=390390-13=377377除13=29
377是合数
11111211111各位数之和=1212能够被3整除
所以11111211111是合数
例2判断127是合数还是质数
例3用2345中的三个数字能组成哪些三位质数？
234
235
245
345
例题4请给出5个质数，把他们按从小到大的顺序排列起来，使每相邻两数的差都是6.
例5如图，四个小三角形的顶点处有6个圆圈，如果这些圆圈中分别填上一个质数，他们的和是20，且每个小三角形顶点之和相等，问这6个质数的积是多少？
例6将60拆成10个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是多少？
例7将90拆成10个质数之和，要求最大的质数尽可能打，那么其实最大的质数是多少？
例8如果四个两位质数ABCD都不相同，并且满足等式A+B=C+D,那么A+B的最大值是多少？
例9ABC为三个不同的质数，3A+2B+C=20，求ABC各代表什么质数。
练习，
用12458中的三位码，能组成哪些质数？
其中最大的三位数质数是多少？
124-----124142241214421412
125------125152251215512521
128-------128182281218821812
245-----245254452425524542
248-----248284428482824842
458-----458485584548854845
abc为三个不同的质数，且都小于20，且a+b+c=30c大于b大于a
求这三个质数
20以内的质数有191713117532
C如果等于19a+b=11不成立
C如果等于17a+b=13b=11c=2成立
在右图的留给圆圈内分别填上一个质数，使得每个大圆上四个数的和相等，且都等于30，问这六个质数的积是多少？
30以内的质数有2923191713117532
19+13+5+3==30
19*13*5*3*19*13===19*13*5*3*5*3=
下面有三张卡片，3.2.1从中抽出一张，两张，三张，按任意次序排起来，得到不一样的一位数，两位数，三位数，把所得的质数写出来。
123121321233132
质数有23132331
在1.。
。
。
。
100这100个自然数中，任取其中的n个，要使这n个数中至少有一个是合数，则n至少是多少？
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