高中数学知识点总结及典型例题.docx
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高中数学知识点总结及典型例题
文歆教育
一、函数
1、函数概念与基本初等函数
一、知识导学
1.映射：
一般地，设A、B两个集合，如果按照某种对应法则
，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射，记作f：
A→B.（包括集合A、B及A到B的对应法则）
2.函数：
设A，B都是非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素和它对应，且B中每一个元素都的原象，这样的对应叫做从集合A到集合B的一个函数，记作yf（x）.
其中所有的输入值x组成的集合A称为函数yf（x）定义域.
对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应，我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域.
3.反函数：
一般地，设函数y=f（x）（x↔A）的值域是C，根据这个函数中x,y的关系，用y把x表示出来，得到x=f-1（y）.若对于y在C中的任何一个值，通过x在A中都有唯一的值和它对应，那么x=f-1（y）就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数叫做函数y=f（x）（x↔A）的反函数，记作x=f-1（y）.我们一般用x表示自变量，用y表示函数，为此我们常常对调函数x=f-1（y）中的字母x,y，把它改写成y=f-1（x）反函数y=f-1（x）的定义域、值域分别是函数y=f（x）的值域、定义域.
二、疑难知识导析
1.对映射概念的认识
（1）与是不同的，即
与
上有序的.或者说：
映射是有方向的，
（2）输出值的集合是集合B的子集.即集合B中可能有元素在集合A中找不到对应的输入值.集合A中每一个输入值，在集合B中必定存在唯一的输出值.或者说：
允许集合B中有剩留元素；允许多对一，不允许一对多.
（3）集合A，B可以是数集，也可以是点集或其它类型的集合.
2.对函数概念的认识
（1）对函数符号f（x）的理解知道y=f（x）与f（x）的含义是一样的，它们都表示
是的函数，其中是自变量，f（x）是函数值，连接的纽带是法则.是单值对应.
（2）注意定义中的集合A，B都是非空的数集,而不能是其他集合；
（3）函数的三种表示法：
解析法，列表法，和图像法.
3.对反函数概念的认识
（1）函数y=f（x）只有满足是从定义域到值域上一一映射，才有反函数；
（2）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此反函数的定义域一般不能由其解析式来求，而应该通过原函数的值域而得.
（3）互为反函数的函数有相同的单调性，它们的图像关于y=x对称.
三、经典例题导讲
[例1]设M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝,求
（1）从M到N的映射种数；
（2）从M到N的映射满足f（a）>f（b）≥f（c）,试确定这样的映射f的种数.解：
（1）由于M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝，结合映射的概念，有a0a2a2a2一共有27个映射
（2）符合条件的映射共有4个,b2,b2,b0,b0,
f2（x[例2]已知函数f（x）的定义域为[0，1]，求函数的定义域c2cc1）2c0正解：
由于函数f（x）的定义域为[0，1]，即0x1∴f（x1）满足0x11
1x0，∴f（x1）的定义域是[－1，0]
[例3]已知：
xN,f（x）*x5
f（x2）（x6），求f（3）.（x6）
1
文歆教育
正解：
∵f（x）x5
f（x2）（x6），（x6）
∴f（3）＝f（32）f（5）＝f（52）f（7）＝7-5＝2
[例4]已知f（x）的反函数是f1（x），如果f（x）与f1（x）的图像有交点，那么交点必在直线yx上，判断此命题是否正确？
错解：
正确
错因：
对互为反函数的图像关于直线yx对称这一性质理解不深，比如函数
11111（不在直线yx上，由此可以y（）x与ylog1x的图像的交点中，点（,）,24421616
说明“两互为反函数图像的交点必在直线yx上”是不正确的.
[例5]求函数yf（x）x24x6，x[1,5）的值域.
解：
配方，得yf（x）x24x6（x2）22
∵x[1,5），对称轴是x2∴当x2时，函数取最小值为f
（2）2，
f（x）f（5）11f（x）的值域是211，
[例6]根据条件求下列各函数的解析式：
（1）已知f（x）是二次函数，若f（0）0,f（x1）f（x）x1，求f（x）.
（2
）已知f1）xf（x）
（3）若f（x）满足f（x）2f（）ax,求f（x）121x解：
（1）本题知道函数的类型，可采用待定系数法求解xx2设f（x）＝axbxc（a0）由于f（0）0得f（x2）ax2bx，
又由f（x1）f（x）x1，∴a（x1）2b（x1）ax2bxx1
即ax（2ab）xabax（b1）x1222abb1a0
ab1ab1因此：
f（x）＝2
（2）本题属于复合函数解析式问题，可采用换元法求解
设u1（x0）,u1（u1）
（3）由于f（x）为抽象函数，可以用消参法求解f（u）（u1）22（u1）u212∴f（x）＝x1（x1）（u1）
111代x可得：
f（）2f（x）a,xxx1与f（x）2f（）axx12aax联列可消去f（）得：
f（x）＝.x3x3
点评：
求函数解析式
（1）若已知函数f（x）的类型，常采用待定系数法；
（2）若已知f[g（x）]用表达式，常采用换元法或采用凑合法；（3）若为抽象函数，常采用代换后消参法.
2222[例7]已知3x2y6x，试求xy的最大值
.
2
文歆教育
分析：
要求x2y2的最大值，由已知条件很快将x2y2变为一元二次函数
19f（x）（x3）2,然后求极值点的x值，联系到y20，这一条件，既快又准地求22
出最大值.
解由3x22y26x得
3y2x23x.23y20,x23x0,0x2.2
3219x3x（x3）2,222
19当x2时，x2y2有最大值，最大值为（23）24.22又xyx222
点评：
上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的深刻性.大部分学生的作法如下：
32x3x,2
319x2y2x2x23x（x3）2,222
9当x3时，x2y2取最大值，最大值为22这种解法由于忽略了y0这一条件，致使计算结果出现错误.因此，要注意审题，不仅能22由3x2y6x得y2
从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件，又要注意次要条件，甚至有些问题的观察要从相应的图像着手，这样才能正确地解题..
2、函数的性质
1.函数的单调性：
（1）增函数：
一般地，设函数yf（x）的定义域为I，如果定义域I内某个区间上任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时，都有f（x1）<f（x2）,那么就说f（x）在这个区间上是增函数.
（2）减函数：
一般地，设函数yf（x）的定义域为I，如果定义域I内某个区间上任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时,都有f（x1）＞f（x2）,那么就说f（x）在这个区间上是减函数.
（3）单调性（单调区间）如y=f（x）在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数f（x）在这区间上具有单调性，这一区间叫做函数y=f（x）的单调区间.
2.函数的奇偶性：
（1）奇函数：
一般地，如果对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）=－f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数.
（2）一般地，如果对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）=f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数.
（3）如果函数f（x）是奇函数或偶函数，那么就说f（x）具有奇偶性.
3.函数的图像：
将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f（x0）作为纵坐标，就得到平面内的一个点（x0,f（x0）），当自变量取遍函数定义域内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点的集合（点集）组成的图形就是函数y=f（x）的图像.
二、疑难知识导析
1.对函数单调性的理解，函数的单调性一般在函数的定义域内的某个子区间上来讨论，函数y=f（x）在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数
3
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在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质.函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制.
2.对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f（-x）=f（x）和f（-x）=-f（x）这两个等式上，要明确对定义域∴f（x）是奇函数
2[例5]已知奇函数f（x）是定义在（－3，3）上的减函数，且满足不等式f（x－3）+f（x－3）<0,
求x的取值范围.方法二：
∵f（x）f（x）log（x
正解：
由0x6,故0<x<6,得23x33x63x33
22又∵f（x）是奇函数，∴f（x－3）<－f（x－3）=f（3－x）,又f（x（－3，3）
22∴x－3>3－x,即x+x－6>0,解得x>2或x<－3,综上得2<x<,即A={x|2<x<},
3、基本初等函数
一、知识导学
1.二次函数的概念、图像和性质.2
（1）注意解题中灵活运用二次函数的一般式f（x）axbxc2二次函数的顶点式f（x）a（xm）n（a0）和
二次函数的坐标式f（x）a（xx1）（xx2）（a0）
（a0）4
文歆教育
（2）解二次函数的问题（如单调性、最值、值域、二次三项式的恒正恒负、二次方程根
的范围等）要充分利用好两种方法：
配方、图像，很多二次函数都用数形结合的思想去解.
①f（x）ax2bxc（a0），当b24ac0时图像与x轴有两个交点.
M（x1,0）N（x2,0）,|MN|=|x1-x2
.②二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数的顶点
处取得.
2.指数函数yax（a0,a1）和对数函数ylogax（a0,a1）的概念和性质.
（1）有理指数幂的意义、幂的运算法则：
mnmn①aaa；②（am）namn；③（ab）nanbn（这时m,n是有理数）
对数的概念及其运算性质、换底公式.
loga（MN）logaMlogaN;
logaMnnlogaM;logaMlogaM
logaNNlogalogcb1logaM；logabnlogca
（2）指数函数的图像、单调性与特殊点.对数函数的图像、单调性与特殊点.
①指数函数图像永远在x轴上方，当a＞1时，图像越接近y轴，底数a越大；当0<a<1
时，图像越接近y轴，底数a越小.
②对数函数的符号常受到底数和真数的范围的制约，注意对底数a的讨论.
③当a>1时，图像越接近x轴，底数a越大;当0<a<1时，图像越接近x轴，底数a越小.
3.幂函数yx的概念、图像和性质.
结合函数y=x,y=x,y=x,y=yx,yx,y=x的图像，了解它们的变化情况.
①＞0时，图像都过（0,0）、（1,1）点，在区间（0，+∞）上是增函数；
注意＞1与0<＜1的图像与性质的区别.
②＜0时，图像都过（1,1）点，在区间（0，+∞）上是减函数；在第一象限31212奇偶奇时，幂函数是奇函数；
（2）当时，幂函数是偶函数；（3）当奇奇偶
时，定义域不关于原点对称，幂函数为非奇非偶函数.
三、经典例题导讲
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文歆教育
[例1]已知log189a,18b5,求log3645
正解：
∵18b5,∴log185b
∴log3645log1845log185log189log1836log184log189bababa182182alog18（）a2log18（）a99
[例2]分析方程f（x）ax2bxc0（a0）的两个根都大于1的充要条件.
f
（1）0b正解：
充要条件是1
2a
2b4ac0
[例3]求函数y36x126x5的单调区间.xx正解：
令6t，则t6为增函数，y36x126x5＝t212t5＝（t6）241
∴当t≥6,即x≥1时，y为关于t的增函数，
当t≤6,即x≤1时，y为关于t的减函数
∴函数y36x126x5的单调递减区间是（,1]，单调递增区间为[1,）
[例4]已知yloga（2ax）在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是正解：
∵yloga（2ax）是由ylogau，u2ax复合而成，又a＞0
∴u2ax在[0，1]上是x的减函数，由复合函数关系知
ylogau应为增函数，∴a＞1
又由于x在[0，1]上时yloga（2ax）有意义，u2ax又是减函数，∴x＝1时，u2ax取最小值是umin2a＞0即可，∴a＜2
综上可知所求的取值范围是1＜a＜2
[例5]已知函数f（x）loga（3ax）.
（1）当x[0,2]时f（x）恒有意义，求实数a的取值范围.
（2）是否存在这样的实数a使得函数f（x）在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1，如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.
分析：
函数f（x）为复合函数，且含参数，要结合对数函数的性质具体分析找到正确的解题思路，是否存在性问题，分析时一般先假设存在后再证明.
解：
（1）由假设，3ax＞0，对一切x[0,2]恒成立，a0,a1
显然，函数g（x）=3ax在[0，2]上为减函数，从而g
（2）＝32a＞0得到a＜32
3）2
（2）假设存在这样的实数a，由题设知f
（1）1，即f
（1）loga（3a）＝1
33∴a＝此时f（x）loga（3x）22
当x2时，f（x）没有意义，故这样的实数不存在.∴a的取值范围是（0，1）∪（1，
点评：
本题为探索性问题，应用函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题一般的处理方法是先假设存在，结合已知条件进行推理和等价转化，若推出矛盾，说明假设不成立.即不存在，反之没有矛盾，则问题解决.
4、函数与方程
一、知识导学
1.函数的零点与方程的根的关系：
一般地，对于函数yf（x）（xD）我们称方程f（x）0的实数根x也叫做函数的零点，即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值.求综合方程f（x）=g（x）的根或根的个数就是求函数yf（x）g（x）的零点.
2.函数的图像与方程的根的关系：
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一般地，函数yf（x）（xD）的图像与x轴交点的横坐标就是f（x）0的根.综合方程f（x）=g（x）的根，就是求函数y＝f（x）与y=g（x）的图像的交点或交点个数，或求方程yf（x）g（x）的图像与x轴交点的横坐标.
3.判断一个函数是否有零点的方法：
如果函数yf（x）在区间[a,b]上图像是连续不断的曲线，并且有f（a）f（b）0，那么，函数yf（x）在区间（a,b）上至少有一个零点，即至少存在一个数c（a,b）使得f（c）0，这个c也就是方程f（x）0的一个根.对于我们学习的简单函数，可以借助
或者把f（x）写成g（x）h（x），然后借助yg（x）、yh（x）yf（x）图像判断解的个数，
的图像的交点去判断函数f（x）的零点情况.
4.二次函数、一元二次方程、二次函数图像之间的关系：
2二次函数yax2bxc的零点，就是二次方程axbxc0的根，也是二次函数yax2bxc的图像与x轴交点的横坐标.
5.二分法：
对于区间[a,b]上的连续不断，且f（a）f（b）0的函数yf（x），通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
二、疑难知识导析
1.关于函数yf（x）g（x）的零点，就是方程f（x）g（x）的实数根，也就是yf（x）与函数yg（x）图像的交点的横坐标.要深刻理解，解题中灵活运用.
2.如果二次函数yf（x）ax2bxc，在闭区间[m,n]上满足f（m）f（n）0，那么方2程axbxc0在区间（m,n）上有唯一解，即存在唯一的x1（m,n），使f（x1）0，20c0另一解x2（,m）（n,）.方程axbx2bxc0的根在某一区间时，满足的条件应据具体情形而定.如二次方3.二次方程ax2bc0的根都在区间（m,n）时ax程f（x）＝mn应满足：
2a4.用二分法求二次方程的近似解一般步骤是f（m）0a,b）使f（a）f（b）0
（1）取一个区间（
（2）取区间的中点，x0ab2
（3）计算f（x0），①若f（x0）0，则x0就是f（x）0的解，计算终止；②若f（a）f（x0）0，则解位于区间（a,x0）中，令a1a,b1x0；若f（x0）f（b）0则解位于区间（x0,b）令a1x0,b1b
ab（4）取区间是（a1,b1）的中点，x111重服第二步、第三骤直到第n步，方程的解2
总位于区间（an,bn）内
（5）当an,bn精确到规定的精确度的近似值相等时，那么这个值就是所求的近似解.
三、经典例题导讲
[例1]已知函数f（x）x2ax3a若x[2,2]时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围.正解：
设f（x）的最小值为g（a）
（1）当f（n）07a2即a＞4时，g（a）＝f
（2）＝7－3a≥0，得a故此时a不存在；32
aa2
（2）当[2,2]即－4≤a≤4时，g（a）＝3－a－≥0，得－6≤a≤224
又－4≤a≤4，故－4≤a≤2；
（3）
故－7≤a＜－4
综上，得－7≤a≤22[例2]已知mxx10有且只有一根在区间（0,1）内，求m的取值范围.2解：
设f（x）mxx1，
（1）当m＝0时方程的根为－1，不满足条件.
a2即a＜－4时，g（a）＝f
（2）＝7＋a≥0，得a≥－7，又a＜－427
文歆教育
（2）当m≠0∵mxx10有且只有一根在区间（0,1）方法二：
方程axkxb的根即为二次函数yax2与一
次函数ykxb的交点的横坐标.由
（1）知它们交点的坐标分
别为P（1，1），Q（－2，4），2∴方程axkxb的解为x1＝－2，x2＝1.
[例4]是否存在这样的实数k，使得关于x的方程
x2+（2k－3）x－（3k－1）＝0有两个实数根，且两根都在0与2之间？
如果有，试确定k的取值范围；如果没有，试说明理由.
解：
令f（x）x2（2k3）x（3k1）那么由条件得到1<1得m不存在2m
4k250（2k3）4（3k1）0k1f（0）13k03即此不等式无解f
（2）42（2k3）（3k1）0即k1302k327k2222
即不存在满足条件的k值.
[例5]已知二次函数f（x）ax2bxc对于x1、x2R，且x1＜x2时
1f（x1）f（x2），求证：
方程f（x）＝[f（x1）f（x2）]有不等实根，且必有一根属于区间2
（x1，x2）.
1解：
设F（x）＝f（x）－[f（x1）f（x2）]，2
1则方程f（x）＝[f（x1）f（x2）]①2
与方程F（x）＝0②等价
11∵F（x1）＝f（x1）－[f（x1）f（x2）]＝[f（x1）f（x2）]22
11F（x2）＝f（x2）－[f（x1）f（x2）]＝[f（x1）f（x2）]22
12∴F（x1）²F（x2）＝－[f（x1）f（x2）]，又f（x1）f（x2）4
∴F（x1）²F（x2）＜
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故方程②必有一根在区间（x1，x2）内.由于抛物线y＝F（x）在x轴上、下方均有分布，所以此抛物线与x轴相交于两个不同的交点，即方程②有两个不等的实根，从而方程①有两个不等的实根，且必有一根属于区间（x1，x2）.
点评：
本题由于方程是f（x）＝[f（x1）f（x2）]，其中因为有f（x）表达式，所以解题中有的学生不理解函数图像与方程的根的联系，误认为证明f（x）的图像与x轴相交于两个不同的点，从而证题中着眼于证f（x1）f（x2）＜0，使本题没法解决.本题中将问题转化为F（x）＝f（x）－[f（x1）f（x2）]的图像与x轴相交于两个不同的两点是解题的关健所在.函数的综合运用（因今年高考对此不作要求，故略）
1212
二、三角函数
1任意角三角函数
一、知识导学
1．角：
角可以看成由一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的几何图形.角的三要素是：
顶点、始边、终边.角可以任意大小，按旋转的方向分类有正角、负角、零角.l2．弧度制：
任一已知角的弧度数的绝对值，其中l是以作为圆心角时所对圆弧r的长，r为圆的半径.零.用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.
18010.1745rad；3．弧度与角度的换算：
3602rad；1rad57.30.180
用弧度为单位表示角的大小时，弧度（rad）可以省略不写.度
4．弧长公式、扇形面积公式：
l不可省略.r,S扇形＝lr121||r2,其中l为弧长，r为圆的半2
径.圆的周长、面积公式是弧长公式和扇形面积公式中当2时的情形.
5．任意角的三角函数定义：
设是一个任意大小的角，角终边上任意一点P的坐标是x,y，它与原点的距离是r（r0），那么角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是sinyxyxrr,cos,tan,cot,sec,csc.这六个函数统称rrxyxy
为三角函数.
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示（各象限注明的函数为正，其余为负值）
可以简记为“一全、二正、三切、四余”为正.
二、疑难知识导析
1．在直角坐标系）
①.sinAsinC②.cotAcotC③.tanAtanC④.cosAcosC
A．1B.2C.3D.4
正解：
法1AC在ABC中，在大角对大边，ca,sinCsinA
法2考虑特殊情形，A为锐角，C为钝角，故排除B、C、D，所以选A.
[例2]已知,角的终边关于y轴对称，则与的关系为.正解：
∵,角的终边关于y轴对称
∴
2
2k,（kZ）即2k,（kz）
说明：
（1）若
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