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高等数学的美学探索分析
高等数学的美学探索，对称性，数学命题与数学模型的概括性、典型性与普适
性，还有数学中的奇异性等等都是数学美的具体内容。
引言
数学美古已有之，早在古希腊时代，毕达哥拉斯学派已经论及数学与美学的关系，
毕达哥拉斯本人既是哲学家、数学家，又是音乐理论的始祖，他第一次提出美是和谐
与比例的观点。
我国当代著名数学家徐利治指出：
数学美的含义十分丰富，如数学
概念的简单性、统性、结构系统的协调性、对称性，数学命题与数学模型的概括性、
典型性与普适性，还有数学中的奇异性等等都是数学美的具体内容。
1数学意境的形象美
高等数学中有些概念比较抽象，学生在理解上会有一定的困难.在教学中通过创设适
当的情境，将抽象的概念具体化、形象化，这样易于学生理解。
例如，讲授极限的概
念时先介绍刘徽的割圆术：
割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合
体而无所失矣。
又如，《庄子天下篇中的一尺之捶，日取其半，万世不竭。
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同时再辅以多媒体技术，学生一定会在感官上感受到极限的美妙。
2数学探索的创新美
数学的发展离不开人们对于美的追求，数学家也是美的追求者。
实际上，人们在研
究数学时，都在自觉不自觉地应用美学原则，爱斯坦科学思想的伟大继承人狄拉克
说：
我没有试图直接解决某个物理问题，而只是试图寻求某种优美的数学，他认
为：
如果物理学方程在数学上不美，那就标志着一种不足，意味着理论有缺陷，需要
改进，有时候，数学美比实验相符更重要。
高斯在回顾二次互反律的证明过程时说：
寻求一种最美和最简洁的证明，乃是吸引
我去研究的主要动力。
美是真理的光辉这句拉丁格言的意思是说，探索者最初是借助这种光辉来认识真
理的.历史的事实给我们以深刻的启迪，为了培养高素质的创新人才，必须加强数学美
的教育。
3数学语言的简洁美
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数学家将自己的劳动成果用最合理的形式（一般是用式子）来表达，这就是数学美中很
重要的一种美简洁美。
数学语言借助数学符号把数学内容扼要地表现出来，体现了准
确性、有序性、概括性、简单性与条理性。
如数列极限与函数极限的分析定义是用
ε-N、ε-语言给出的，定义中具有任意性与确定性，ε的任意
性通过无限多个相对确定性来实现，ε的确定性决定了N和ε的存在
性。
这种定义精细地刻划了极限过程中变量之间的动态关系，表达了极限概念的本
质，并且为极限运算奠定了基础，学过微积分的人无不赞赏它的完美，评价它是最严
密、最精炼、最优美的语言。
4数学内容的统一美
数学的统一美是指在不同的数学对象或者同一对象的不同组成部分之间存在的内在
联系或共同规律。
欧拉公式：
1+Ei=0，曾获得最美的数学等式称号。
欧拉建立了在他那个时代，数
学中最重要的几个常数之间的绝妙的有趣的联系，包容得如此协调、有序。
与欧拉公
式有关的棣莫弗～欧拉公式cos+isin=e把人们以为没有什么共同性的两大类函数三角
函数与指数函数紧密地结合起来了。
对它们的结合，人们始则惊诧，继而赞叹确是天
作之合，因为，由它们的结合能派生出许多美的、有用的结论来。
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教师职业道德的美学诉求，从目的上看，侧重生命价值判断的道德和侧重生命体验
的美追求的都是人类社会的和谐。
道德是以善恶为标准，依靠社会舆论、传统习惯和内心信念的力量来调整人们之间
相互关系的行为原则和规范的总和。
①作为生命价值的判断标准，道德在保证个人的
自由本质的基础上还要升华为社会的和谐。
美是人的本质力量的对象化，是在对象
中体现出来的合目的性与合规律性的统一。
美的本质与人的本质相通，而按照马克思
的说法，人的本质包含了个体的自由自觉的活动和群体的人类社会关系的总和。
因此
从哲学本源上看，道德与美同样源于人的自由自觉的活动;从目的上看，侧重生命价值
判断的道德和侧重生命体验的美追求的都是人类社会的和谐。
因此，德与美不仅是五育中的两个重要方面，更是人的自由本质的共同体现，两
者在哲学根源和目标诉求上具有同质性。
当代教师职业道德包含以德性为核心的多项
内容，多强调德及其内涵，实际上，师德具有鲜明的美学特征，以美启德是教师
提高自身师德修养和理论素养的重要方面之一。
一、古代文化传统中的美善同源
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道德作为伦理学中的一个重要概念，其最终指向是善，而美在审美思想的萌芽
时期更多的是从善的角度来解读。
当楚灵王面对高大宏伟的章华台自豪地问大夫伍举
台美夫时，伍举毫不客气地批评说：
夫美也者，上下、内外、大小、远近皆无害
焉，故曰美。
若于目观则美，缩于财用则匮，是聚民利以自封而瘠民也，胡美之为?
在伍举看来，美是对各方面都无害的，而不是像楚灵王那样劳民伤财。
伍举的无害即
是美美即是善的美学观在先秦美学中是非常具有代表性的，他赋予了美以强烈的
政治和伦理意义。
虽然后来随着审美意识和美学理论的发展，美逐渐从善中脱离
出来，具有相对的独立性，但善始终都是美rdquo;的标准之一。
孔子说《韶》乐
尽美矣，又尽善也，说《武》乐尽美矣，未尽善也，看似是将美和善分开了，
但在评价标准上仍然是倾向于善的。
在西方美学理论发展之初，也是常将美与善并举。
亚里士多德曾说：
善是一种
美。
其所以引起快感，正因为它善。
普洛丁也说：
善在美后面，是美的本原。
②虽
然随着美学理论的发展，美渐渐从善中独立出来，但美和善之间的必然联系
一直都是美学研究的重点之一。
十六、十七世纪，美学逐渐发展成为一门独立学科，
鲍姆嘉登、康德等人也将其定位为连接善和真的桥梁，在他们看来美与善并
不冲突，美之中包含了合目的的善与合规律的真。
二、现代教育中德与美的结合
1.教师的善与美。
教师的善是指对受育者合理的共同利益的谋求、对教师责任与义
务之毫不推卸的遵循、对受教育者人格尊重和对受教育者发展负有高度责任的认同
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③。
教师的善体现了人的自由创造本质在生命活动中的升华，它包含着强烈的人格美
和社会美。
第一，教师的职业道德与人格美、社会美。
《中华人民共和国教师法》第三条指出：
教师是履行教育教学职责的专业人员，承担教书育人，培养社会主义事业建设者和接
班人，提高民族素质的使命。
教师应当遵从于人民的教育事业。
一名合格的教师必定
会对教育事业表现出高度的责任感，视教育为毕生追求的理想，以高度的敬业精神献
身于教育事业。
从个人的角度来说，这种责任感和使命感则是人格美;而如果上升到人
类建立在共同文化价值体系上的情感认同，这种责任感和使命感就是社会美。
人格美，是指一个人内心世界的美，表现在品德、情操等素质方面。
品德，体现着
一个人的自觉的道德意识和良好的道德行为和习惯。
一个人在复杂的社会生活中，对
于真与假、善与恶、美与丑有所判断，形成关于真、善、美的价值观念，进而对于
真、善、美有所追求。
这种追求，作为一种比较稳定的有系统的习惯情绪，便是情操
的表现。
高尚的品德和情操，在人的言行中表现出来，就是一个人的人格美。
④由此
可见，人格美本身就与道德密切相关。
教师职业道德由教师职业理想、教师职业责
任、教师职业态度、教师职业纪律、教师职业技能、教师职业良心、教师职业公正、
教师职业荣誉八个部分构成。
⑤在教师职业道德要求中，人格美也始终贯穿其中。
按照教师职业道德的要求，教师的言行举止应当符合社会发展方向，体现人类进步
的理想和愿望;应当充分显示教师作为人的自由、自觉和创造本性，实现教师作为人的
价值;应当帮助学生及他人寻找人生价值与人生意义，学会选择人生道路。
以上这些又
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都是社会美的表现。
爱因斯坦一生的梦想就是追求宇宙统一的理论。
他用简洁的表达式E=mc2揭示了自
然界中质能关系，这不能不说是一件统一的艺术品。
人类在不断探索者纷繁复杂的世
界，又在不断地用统一的观点认识世界，宇宙没有尽头，统一美也需要永恒的追求。
数学的发展是逐步统一的过程。
统一的目的也正如希尔伯特所说的：
数学中每一步
真正的进展都与更有力的工具和更简洁的方法的发现密切联系的，这些工具和方法同
时会有助于理解已有的理论并把陈旧的、复杂的东西抛到一边。
5数学方法的简捷美
解题方法的简单、巧妙是一种理性的美，简捷的解题方法和明快的思维令人心旷神
怡，在心里激起愉快的情感体验和愉悦的美感，在成功的喜悦中对数学审美和数学创
新会有更迫切的要求。
例如，求极限：
cosxcoscoscos该极限直接计算是无法得到结果的，但只要我们注
意到三角函数的倍角公式2sincos=sin2和=1，就可以将极限号内的无限多个函数转化
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为有限多个函数，于是就有：
cosxcoscoscos
=cosxcoscoscossin/
=cosxcoscos（2cossin）
=cosxcoscoscossin
===1，这就是一种美妙而简单的解法。
又如求极限，完全可以利用它与重要极限公式=1的相似性来解=1，而获得成功。
利用数学的美感激发创新灵感，迸发创造性思维火花，产生许多新颖别致又简捷的
解题方法和技巧，解题者因此得到愉快的心灵感受，从内心自觉地产生发现、运用和
创造数学美的渴望，增强学好数学的浓厚兴趣，不断提高数学能力。
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6数学理论的奇异美
数学中许多理论与人们的直觉相背离，有时让人觉得不可思议，给人以无尽的遐
想，有时又带给人一种山穷水复疑无路，柳岸花明又一春的绝妙境界，它印证了我
国数学家徐利治所说的：
奇异是一种美，奇异到了极限更是一种绝佳的美。
例如，有无限个连续点（无理点）和无限个间断点（有理点）的黎曼函数f（x）=x=（为既约
真分数）0x=0，1及（0，1）内的无理数;在任一点都不连续狄利克雷函数f（x）=0xQ1x处
处连续但处处不可微的魏尔斯特拉斯函数f（x）=bcos（x）（其中为奇数，01+），这些函数
我们都无法准
确地描绘出它的图像。
但是黎曼函数、狄利克雷函数和魏尔斯特拉斯函数的美就恰
似一幅幅神奇的抽象画，虽奇异古怪，却是数学家们依靠想象而产生的艺术精品。
与之相反，数学家皮亚诺构造出的可充满一个正方形的曲线皮亚诺曲线，高等数
学的美学探索也让我们感受到数学的奇异美。
总而言之，高等数学中包含的数学美的内容是非常丰富的，正如罗素所说：
数学，
如果正确地看它，不但拥有真理，而且有至高的美。
只要我们善于去观察，善于去总
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结，我们还会有所发现，有所创新。
把它们及时地引进课堂，对高等数学的教学是非
常有利的，让越来越多的人感受到高等数学的美，引导学生对美的追求，使他们逐步
体验到数学美，使他们摆脱苦学的束缚，走入乐学的天地。
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