北京市中考数学专题突破九几何综合含答案.docx
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北京市中考数学专题突破九几何综合含答案
专题突破(九) 几何综合
在北京中考试卷中,几何综合题通常出现在后两题,分值为8分或7分.几何综合题主要包含三角形(全等、相似)、四边形、锐角三角函数、圆等知识,主要研究图形中的数量关系、位置关系、几何计算以及图形的运动、变换等规律.
求解几何综合题时,关键是抓住“基本图形”,能在复杂的几何图形中辨认、分解出基本图形,或通过添加辅助线补全、构造基本图形,或运用图形变换的思想将分散的条件集中起来,从而产生基本图形,再根据基本图形的性质,合理运用方程、三角函数的运算等进行推理与计算.
2011-2019年北京几何综合题考点对比
年份
2011
2019
2019
2019
2019
考点
平行四边形的性质、从特殊到一般、构造图形(全等三角形或等边三角形或特殊平行四边形)
旋转变换、对称变换、构造全等三角形
全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质,等腰直角三角形旋转的性质
以轴对称和正方形为载体,考查了等腰三角形、全等三角形、勾股定理、圆及圆周角定理
以正方形为载体,考查了平移作图,利用轴对称图形的性质证明线段相等及写出求线段长的过程
1.[2019·北京]在正方形ABCD中,BD是一条对角线,点P在射线CD上(与点C,D不重合),连接AP,平移△ADP,使点D移动到点C,得到△BCQ,过点Q作QH⊥BD于点H,连接AH,PH.
(1)若点P在线段CD上,如图Z9-1(a).
①依题意补全图(a);
②判断AH与PH的数量关系与位置关系,并加以证明.
(2)若点P在线段CD的延长线上,且∠AHQ=152°,正方形ABCD的边长为1,请写出求DP长的思路.(可以不写出计算结果)
图Z9-1
2.[2019·北京]在正方形ABCD外侧作直线AP,点B关于直线AP的对称点为E,连接BE,DE,其中DE交直线AP于点F.
(1)依题意补全图Z9-2①;
(2)若∠PAB=20°,求∠ADF的度数;
(3)如图②,若45°<∠PAB<90°,用等式表示线段AB,FE,FD之间的数量关系,并证明.
图Z9-2
3.[2019·北京]在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α(0°<α<60°),将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.
(1)如图Z9-3①,直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示);
(2)如图②,∠BCE=150°,∠ABE=60°,判断△ABE的形状并加以证明;
(3)在
(2)的条件下,连接DE,若∠DEC=45°,求α的值.
图Z9-3
4.[2019·北京]在△ABC中,BA=BC,∠BAC=α,M是AC的中点,P是线段BM上的动点,将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ.
(1)若α=60°且点P与点M重合(如图Z9-4①),线段CQ的延长线交射线BM于点D,请补全图形,并写出∠CDB的度数;
(2)在图②中,点P不与点B,M重合,线段CQ的延长线与射线BM交于点D,猜想∠CDB的大小(用含α的代数式表示),并加以证明;
(3)对于适当大小的α,当点P在线段BM上运动到某一位置(不与点B,M重合)时,能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D,且PQ=DQ,请直接写出α的范围.
图Z9-4
5.[2011·北京]在平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F.
(1)在图Z9-5①中证明CE=CF;
(2)若∠ABC=90°,G是EF的中点(如图②),直接写出∠BDG的度数;
(3)若∠ABC=120°,FG∥CE,FG=CE,分别连接DB,DG(如图③),求∠BDG的度数.
图Z9-5
1.[2019·怀柔一模]在等边三角形ABC外侧作直线AP,点B关于直线AP的对称点为D,连接BD,CD,其中CD交直线AP于点E.
(1)依题意补全图Z9-6①;
(2)若∠PAB=30°,求∠ACE的度数;
(3)如图②,若60°<∠PAB<120°,判断由线段AB,CE,ED可以构成一个含有多少度角的三角形,并证明.
图Z9-6
2.[2019·朝阳一模]在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,点D在射线BC上(不与点B,C重合),连接AD,将AD绕点D顺时针旋转90°得到DE,连接BE.
(1)如图Z9-7(a),点D在BC边上.
①依题意补全图(a);
②作DF⊥BC交AB于点F,若AC=8,DF=3,求BE的长.
(2)如图(b),点D在BC边的延长线上,用等式表示线段AB,BD,BE之间的数量关系(直接写出结论).
图Z9-7
3.[2019·海淀一模]在菱形ABCD中,∠ADC=120°,点E是对角线AC上一点,连接DE,∠DEC=50°,将线段BC绕点B逆时针旋转50°并延长得到射线BF,交ED的延长线于点G.
(1)依题意补全图形;
(2)求证:
EG=BC;
(3)用等式表示线段AE,EG,BG之间的数量关系:
________.
图Z9-8
4.[2019·海淀二模]如图Z9-9①,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=α,D是BC边上一点,以AD为边作△ADE,使AE=AD,∠DAE+∠BAC=180°.
(1)直接写出∠ADE的度数(用含α的式子表示).
(2)以AB,AE为边作平行四边形ABFE.
①如图②,若点F恰好落在DE上,求证:
BD=CD;
②如图③,若点F恰好落在BC上,求证:
BD=CF.
图Z9-9
5.[2019·西城一模]在△ABC中,AB=AC,取BC边的中点D,作DE⊥AC于点E,取DE的中点F,连接BE,AF交于点H.
(1)如图Z9-10①,如果∠BAC=90°,那么∠AHB=________°,=________;
(2)如图②,如果∠BAC=60°,猜想∠AHB的度数和的值,并证明你的结论;
(3)如果∠BAC=α,那么=________.(用含α的代数式表示)
图Z9-10
6.[2019·丰台一模]在△ABC中,CA=CB,CD为AB边上的中线,点P是线段AC上任意一点(不与点C重合),过点P作PE交CD于点E,使∠CPE=∠CAB,过点C作CF⊥PE交PE的延长线于点F,交AB于点G.
(1)如果∠ACB=90°,
①如图Z9-11(a),当点P与点A重合时,依题意补全图形,并指出与△CDG全等的一个三角形;
②如图(b),当点P不与点A重合时,求的值.
(2)如果∠CAB=a,如图(c),请直接写出的值.(用含a的式子表示)
图Z9-11
7.[2019·海淀]将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC,继续旋转α(0°<α<120°)得到线段AD,连接CD.
(1)连接BD,
①如图Z9-12(a),若α=80°,则∠BDC的度数为________.
②在第二次旋转过程中,请探究∠BDC的大小是否改变.若不变,求出∠BDC的度数;若改变,请说明理由.
(2)如图(b),以AB为斜边作直角三角形ABE,使得∠B=∠ACD,连接CE,DE.若∠CED=90°,求α的值.
图Z9-12
8.[2019·西城二模]正方形ABCD的边长为3,点E,F分别在射线DC,DA上运动,且DE=DF.连接BF,作EH⊥BF所在直线于点H,连接CH.
(1)如图Z9-13①,若点E是DC的中点,CH与AB之间的数量关系是________.
(2)如图②,当点E在DC边上且不是DC的中点时,
(1)中的结论是否成立?
若成立给出证明;若不成立,说明理由.
(3)如图③,当点E,F分别在射线DC,DA上运动时,连接DH,过点D作直线DH的垂线,交直线BF于点K,连接CK,请直接写出线段CK长的最大值.
图Z9-13
参考答案
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1.解:
(1)①如图(a)所示.
②AH=PH,AH⊥PH.
证明:
连接CH,
由条件易得:
△DHQ为等腰直角三角形,
又∵DP=CQ,∴△HDP≌△HQC,
∴PH=CH,∠HPC=∠HCP.
∵BD为正方形ABCD的对称轴,
∴AH=CH,∠DAH=∠HCP,
∴AH=PH,∠DAH=∠HPC,
∴∠AHP=180°-∠ADP=90°,
∴AH=PH且AH⊥PH.
(2)如图(b),
过点H作HR⊥PC于点R,
∵∠AHQ=152°,
∴∠AHB=62°,
∴∠DAH=17°,
∴∠DCH=17°.
设DP=x,则DR=HR=RQ=.
由tan17°=得=tan17°,
∴x=.
2.解:
(1)补全图形如图①所示:
(2)如图①,连接AE,
则∠PAB=∠PAE=20°,AE=AB.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=90°,AB=AD,
∴∠EAD=130°,AE=AD.
∴∠ADF=25°.
(3)如图②,连接AE,BF,BD.
由轴对称的性质可得EF=BF,AE=AB=AD,∠ABF=∠AEF=∠ADF,
∴∠BFD=∠BAD=90°.
∴BF2+FD2=BD2.
∴EF2+FD2=2AB2.
3.解:
(1)∵AB=AC,∠A=α,
∴∠ABC=∠ACB=(180°-∠A)=90°-α.
∵∠ABD=∠ABC-∠DBC,∠DBC=60°,
∴∠ABD=30°-α.
(2)△ABE是等边三角形.
证明:
连接AD,CD,ED,
∵线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD,
则BC=BD,∠DBC=60°.
∴△BCD为等边三角形.
∴BD=CD.
∵∠ABE=60°,
∴∠ABD=60°-∠DBE=∠EBC=30°-α.
在△ABD与△ACD中,
∴△ABD≌△ACD,
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=α.
∵∠BCE=150°,
∴∠BEC=180°-(30°-α)-150°=α=∠BAD.
在△ABD和△EBC中,
∴△ABD≌△EBC,
∴AB=BE.
又∵∠ABE=60°,
∴△ABE是等边三角形.
(3)∵∠BCD=60°,∠BCE=150°,
∴∠DCE=150°-60°=90°.
∵∠DEC=45°,
∴△DEC为等腰直角三角形,
∴DC=CE=BC.
∵∠BCE=150°.
∴∠EBC=(180°-150°)=15°.
∵∠EBC=30°-α=15°,
∴α=30°.
4.解:
(1)如图①,∵BA=BC,∠BAC=60°,M是AC的中点,
∴BM⊥AC,AM=MC.
∵将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ,
∴AM=MQ,∠AMQ=120°,
∴CM=MQ,∠CMQ=60°,
∴△CMQ是等边三角形,
∴∠ACQ=60°,
∴∠CDB=30°.
(2)连接PC,AD,
∵AB=BC,M是AC的中点,
∴BM⊥AC,
∴AD=CD,AP=PC.
在△APD与△CPD中,
∵
∴△APD≌△CPD,
∴∠ADB=∠CDB,∠PAD=∠PCD,
∴∠ADC=2∠CDB.
又∵PQ=PA,
∴PQ=PC,∴∠PQC=∠PCD=∠PAD,
∴∠PAD+∠PQD=∠PQC+∠PQD=180°,
∴∠APQ+∠ADC=360°-(∠PAD+∠PQD)=180°,
∴∠ADC=180°-∠APQ=180°-2α,
∴2∠CDB=180°-2α,
∴∠CDB=90°-α.
(3)∵∠CDB=90°-α,且PQ=QD,
∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°-2α.
∵点P不与点B,M重合,
∴∠BAD>∠PAD>∠MAD,
∴2α>180°-2α>α,
∴45°<α<60°.
5.解:
(1)∵AF平分∠BAD,
∴∠BAF=∠DAF.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB∥CD,
∴∠DAF=∠CEF,∠BAF=∠F.
∴∠CEF=∠F.
∴CE=CF.
(2)∠BDG=45°.
(3)如图,分别连接GB,GE,GC,
∵AD∥BC,AB∥CD,∠ABC=120°,
∴∠ECF=∠ABC=120°.
∵FG∥CE且FG=CE,
∴四边形CEGF是平行四边形.
由
(1)得CE=CF.
∴四边形CEGF是菱形,
∴GE=EC,①
∠GCF=∠GCE=∠ECF=60°,
∴△ECG与△FCG是等边三角形,
∴∠GEC=∠FCG,
∴∠BEG=∠DCG,②
由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB,
∴AB=BE.
在▱ABCD中,AB=DC,
∴BE=DC.③
由①②③得△BEG≌△DCG,
∴BG=DG,∠1=∠2,
∴∠BGD=∠1+∠3=∠2+∠3=∠EGC=60°,
∴∠BDG==60°.
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1.解:
(1)补全图形,如图①所示.
(2)连接AD,如图①.∵点D与点B关于直线AP对称,∴AD=AB,∠DAP=∠BAP=30°,
∵AB=AC,∠BAC=60°,∴AD=AC,∠DAC=120°,
∴2∠ACE+120°=180°.∴∠ACE=30°.
(3)线段AB,CE,ED可以构成一个含有60°角的三角形.
证明:
连接AD,EB,如图②.
∵点D与点B关于直线AP对称,
∴AD=AB,DE=BE,
可证得∠EDA=∠EBA.
∵AB=AC,AB=AD,
∴AD=AC,∴∠ADE=∠ACE,
∴∠ABE=∠ACE.
设AC,BE交于点F,
∵∠AFB=∠CFE,∴∠BAC=∠BEC=60°,
∴线段AB,CE,ED可以构成一个含有60°角的三角形.
2.解:
(1)①补全图形,如图(a)所示.
②如图(b),由题意可知AD=DE,∠ADE=90°.
∵DF⊥BC,
∴∠FDB=90°.
∴∠ADF=∠EDB.
∵∠C=90°,AC=BC,
∴∠ABC=∠DFB=45°.
∴DB=DF.
∴△ADF≌△EDB.
∴AF=EB.
在△ABC和△DFB中,
∵AC=8,DF=3,
∴AB=8,BF=3.
AF=AB-BF=5,
即BE=5,
(2)BD=BE+AB.
3.解:
(1)补全图形,如图①所示.
(2)方法一:
证明:
连接BE,如图②.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD∥BC.
∵∠ADC=120°,
∴∠DCB=60°.
∵AC]是菱形ABCD的对角线,
∴∠DCA=∠DCB=30°.
∴∠EDC=180°-∠DEC-∠DCA=100°.
由菱形的对称性可知,∠BEC=∠DEC=50°,∠EBC=∠EDC=100°,
∴∠GEB=∠DEC+∠BEC=100°.
∴∠GEB=∠CBE.
∵∠FBC=50°,
∴∠EBG=∠EBC-∠FBC=50°.
∴∠EBG=∠BEC.
在△GEB与△CBE中,
∴△GEB≌△CBE.
∴EG=BC.
方法二:
证明:
连接BE,设BG与EC交于点H,如图②.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD∥BC.
∵∠ADC=120°,
∴∠DCB=60°.
∵AC是菱形ABCD的对角线,
∴∠DCA=∠DCB=30°.
∴∠EDC=180°-∠DEC-∠DCA=100°.
由菱形的对称性可知,∠BEC=∠DEC=50°,∠EBC=∠EDC=100°,
∵∠FBC=50°,
∴∠EBG=∠EBC-∠FBC=50°=∠BEC.
∴BH=EH.
在△GEH与△CBH中,
∴△GEH≌△CBH.
∴EG=BC.
(3)AE+BG=EG.
4.解:
(1)∠ADE=90°-α.
(2)①证明:
∵四边形ABFE是平行四边形,
∴AB∥EF.
∴∠EDC=∠ABC=α.
由
(1)知∠ADE=90°-α,
∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°.
∴AD⊥BC.
∵AB=AC,
∴BD=CD.
②证明:
∵AB=AC,∠ABC=α,
∴∠C=α.
∵四边形ABFE是平行四边形,
∴AE∥BF,AE=BF.
∴∠EAC=∠C=α.
由
(1)知∠DAE=180°-2∠ADE=180°-2(90°-α)=2α,
∴∠DAC=α.
∴∠DAC=∠C.
∴AD=CD.
∵AD=AE=BF,
∴BF=CD.
∴BD=CF.
5.解:
(1)90
(2)结论:
∠AHB=90°,=.
证明:
如图,连接AD.
∵AB=AC,∠BAC=60°,
∴△ABC是等边三角形.
∵D为BC的中点,
∴AD⊥BC.
∴∠1+∠2=90°.
又∵DE⊥AC,
∴∠DEC=90°.
∴∠2+∠C=90°.
∴∠1=∠C=60°.
设AB=BC=k(k>0),
则CE=CD=,DE=k.
∵F为DE的中点,
∴DF=DE=k,AD=AB=k.
∴=,=.
∴=.
又∵∠1=∠C,
∴△ADF∽△BCE.
∴==,
∠3=∠4.
又∵∠4+∠5=90°,∠5=∠6,
∴∠3+∠6=90°.
∴∠AHB=90°.
(3)tan(90°-).
6.解:
(1)①作图.
△ADE(或△PDE).
②过点P作PN∥AG交CG于点N,交CD于点M,
∴∠CPM=∠CAB.
∵∠CPE=∠CAB,
∴∠CPE=∠CPN.∴∠CPE=∠FPN.
∵PF⊥CG,∴∠PFC=∠PFN=90°.
∵PF=PF,∴△PFC≌△PFN.∴CF=FN.
由①得:
△PME≌△CMN.
∴PE=CN.∴==.
(2)tanα.
7.解:
(1)①30°.
②不改变,∠BDC的度数为30°.
方法一:
由题意知AB=AC=AD.
∴点B,C,D在以点A为圆心,AB为半径的圆上.
∴∠BDC=∠BAC=30°.
方法二:
由题意知AB=AC=AD.
∵AC=AD,∠CAD=α,
∴∠ADC=∠ABD==90°-α.
∵AB=AD,∠BAD=60°+α,
∴∠ADB=∠ABD===60°-α.
∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=(90°-α)-(60°-α)=30°.
(2)过点A作AM⊥CD于点M,连接EM.
∴∠AMC=90°.
在△AEB与△AMC中,
∴△AEB≌△AMC.
∴AE=AM,∠BAE=∠CAM.
∴∠EAM=∠EAC+∠CAM=∠EAC+∠BAE=∠BAC=60°.
∴△AEM是等边三角形.
∴EM=AM=AE.
∵AC=AD,AM⊥CD,
∴CM=DM.
又∵∠DEC=90°,
∴EM=CM=DM.
∴AM=CM=DM.
∴点A,C,D在以M为圆心,MC为半径的圆上.
∴α=∠CAD=90°.
8.解:
(1)CH=AB
(2)结论成立.
证明:
如图,连接BE.
在正方形ABCD中,
AB=BC=CD=AD,∠A=∠BCD=∠ABC=90°.
∵DE=DF,
∴AF=CE.
在△ABF和△CBE中,
∴△ABF≌△CBE.
∴∠1=∠2.
∵EH⊥BF,∠BCE=90°,
∴H,C两点都在以BE为直径的圆上.
∴∠3=∠2.
∴∠3=∠1.
∵∠3+∠4=90°,∠1+∠HBC=90°,
∴∠4=∠HBC.
∴CH=CB.
∴CH=AB.
(3)3+3.