圆锥曲线的极坐标方程焦半径公式焦点弦公式.docx
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圆锥曲线的极坐标方程焦半径公式焦点弦公式
圆锥曲线的极坐标方程
知识点精析椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：
与一个定点（焦点）的距离和一条定直线（准线）的距离的比等于常数e的点的轨迹.
以椭圆的左焦点（双曲线的右焦点、抛物线的焦点）为极点，过点F作相
应准线的垂线，垂足为K,以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系.
椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：
eP—.
1ecos
其中p是定点F到定直线的距离，p>0.
当0vev1时，方程表示椭圆；
当e>1时，方程表示双曲线，若p>0，方程只表示双曲线右支，若允
许pvO,方程就表示整个双曲线；
当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.
引论
（1）若
1+ecos
则0vev1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆
当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线
当e>1方程表示极点在左焦点上的双曲线
（2）若eP
1-esin
当0vev1时，方程表示极点在下焦点的椭圆
当e=1时，方程表示开口向上的抛物线
当e>1时!
方程表示极点在上焦点的双曲线
（3）
ep
1+esin
当0vev1时，方程表示极点在上焦点的椭圆
当e=1时，方程表示开口向下的抛物线
当e>1时!
方程表示极点在下焦点的双曲线
例题选编
（1）二次曲线基本量之间的互求
例1•确定方程
表示曲线的离心率、焦距、
53cos
长短轴长
3
10
解法一：
2
5
3
1
3
3
-cos1
cos
5
5
3
P
10
e-，
5
3
c
3
3
25
a
c
a
—
a
5
5
8
b2
10
5
10
15
ac
c
c
3
3
3
8
（25）2（：
）2
方程表示椭圆的离心率e5焦距15，长轴长25，短轴长5
解法二：
根据极坐标的定义，对右顶点对应点的极角为0，因此只需
令0，右顶点的极径，同理可得左顶点的的极径。
根据左右顶
点极径之和等于长轴长，便可以求出长轴
点睛，解法一采用待定系数法比较常规，解法二利用极坐标的定义,
简洁而有力，充分体现了极坐标处理问题的优势。
下面的弦长问题的解决使极坐标处理的优势显的淋漓尽致。
（2）圆锥曲线弦长问题
若圆锥曲线的弦MN经过焦点F,
1、椭圆中,
2
a
c
c
c
MN
ep
1ecos
ep2ab2
222
1ecos（）accos
2、双曲线中，（注释：
双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。
）
若M、N在双曲线同一支上，MN
若M、N在双曲线不同支上，MN
ep
ep
2ab2；
1ecos
1ecos（
）
222；accos
ep
ep
2ab2
1ecos
1ecos
2c
22.
cosa
3、抛物线中，MN
p
2p
1cos（
）sin2
P
1cos
22
例1过双曲线［亡1的右焦点，引倾斜角为-的直线，交双曲线与
A、B两点，求丨AB|
解：
根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系
5
即得
23cos
所以A（i,-）,B（2,3）
又由AB|12丨
.55|80
得117
r23cos§23cos（-）7
注释：
求椭圆和抛物线过焦点的弦长时，无需对v加绝对值，但求双曲线的弦长时，一定要加绝对值，这是避免讨论做好的方法。
点睛由于椭圆，抛物线的弦的两个端点极径均为正值，所以弦长都
是12；对于两个端点都在双曲线右支上的弦，其端点极径均为正值，
所以弦长也是；对于两个端点分别在双曲线左、右支上的弦，其端
点极径一个为正值一个为负值，所以弦长是--1或2
为统一起见，求双曲线时一律加绝对值，使用|12
变式练习：
等轴双曲线长轴为2，过其右有焦点，引倾斜角为-的直
线，交双曲线于A,B两点，求|AB
求|AB|
解:
172
1v2cos
A（1，-），B（2,-）
AB|12|
|-
1
1
、、2cos（
1
1
2cos（6）
忌1
附寸录直角坐标系中的焦半径公式
设P（x,y）是圆锥曲线上的点,
1、若F1、F2分别是椭圆的左、
右焦点，贝SPF1
aex,
PF2
aex;
2、若Fl、f2分别是双曲线的左、右焦点,
当点P在双曲线右支上时，|PFiexa,PF2exa；
当点P在双曲线左支上时，|PFiaex,PF2aex；
3、若F是抛物线的焦点，|PF|x卫.
2
利用弦长求面积
224
高考题（08年海南卷）过椭圆—L1的焦点F作一条斜率为2
54
的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求AOB的面积.
简解首先极坐标方程中的焦点弦长公式|AB|?
eP2求弦长，然后
1ecos
利用公式Saob2|AB||OF|sinAFO直接得出答案。
2
变式（2005年全国高考理科）已知点F为椭圆+y21的左焦点.过点
F的直线l1与椭圆交于P、Q两点，过F且与h垂直的直线12交椭圆于
M、N两点，求四边形PMQN面积的最小值和最大值.
解析以点
F为极点，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为:
2
1
&
cos
2
设直线h的倾斜角，则直线l2的倾斜角为900，由极坐标系中
焦点弦长公式知:
|PQ|
|MN|
1
1严°9°0）
2
cos
2
用他们来表示四边形的面积
S^IPQIgMNI
11.22Singcos
24&
的最大值与最小值
-丄sin22
216
由三角知识易知：
当sin2
1时，面积取得最小值詈；当S"20时，
面积取得最大值2
利用弦长公式解决常量问题
2x
例一.过椭圆a
b0）
的左焦点F,作倾斜角为60的直线
1交椭圆于A、B两点，
若lFA
2FB
，求椭圆的离心率.
简解，建立极坐标系，然后利用等量关系,
可很快求出离心率。
设椭圆的极坐标方程为
eP
1ecos
则FA
eP
1ecos600
FB
eP
1ecos2400
-ep
e
1-
2
变式求过椭圆
3cos
的左焦点,
且倾斜角为-的弦长AB和左焦
点到左准线的距离。
解：
先将方程
化为标准形式:
2
3
1cos
3
则离心率e
所以左焦点到左准线的距为
5
2,
设A（1,-）,B（2,亍），代入极坐标方程，则弦长
明：
-
a
1定值
2
2
24
12
o5
17
3cos—
3cos——
4
4
AB
（3）定值问题
例1.抛物线
寸2px（p0）的一条焦点弦被焦点分为a,b的两段，证
解：
以焦点F为极点，以FX轴为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为P一，设A（a,）,B（b,）
1cos
将A,B两点代入极坐标方程，得aP,bP—
1cos1cos（）
则1—=2（定值）
abppp
点睛，引申到椭圆和双曲线也是成立的
推论：
若圆锥曲线的弦
MN经过焦点F,则有
1
MF
1
NF
2
ep
例二：
经过椭圆的的焦点作两条相互垂直的弦
AB和弦CD,求证
1
AB
1
CD
为定
值。
证明：
以椭圆的左焦点建立极坐标系，此时椭圆的极坐标方程为:
1ecos
又设A1,1,B2,+,C3,+,D4,3+则代入可得
22
|AB|，|AB|学片则
1ecos1esin
11=2-e2
AB||CD|2ep
注释。
此公式对抛物线也成立，但对双曲线不成立。
注意使用的范围。
推广1若经过椭圆的中心做两条相互垂直的弦，倒数和也为定值。
需要以原点为
极点建立极坐标方程。
推广2若不取倒数，可以求它们和的最值。
22
例二（2007重庆理改编）中心在原点o的椭圆36271，点f是其左焦
点，在椭圆上任取三个不同点RRR使
/P1FP2/F2FP3/P3FP,1200.
证明:
1
FP1
11为定值，并求此定值.
FP2
FP3
解析:
以点
9
2cos
1200、
为极点建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为:
设点Pi对应的极角为，则点B与B对应的极角分别
1200，P1、
P2与P3的极径就分别是|FPi|
9
、
2cos
|FP2|
9
0
2cos（120）
9
0""
2cos（120）
FPi
FP2
FP3
2cos
9
2cos（1200）2cos（1200）
99
，而在三
角函数的学习中,
我们知道
coscos（120°）cos（120°）
0,因此
FPi
FP2
FP3
2为定值
点睛：
极坐标分别表示IFP1I、|FP2|与|FP3|，这样一个角度对应一个极径.就不会象解析几何那样，一个倾斜角，对应两个点，同时对应两条焦半径（极径），这就是极坐标表示圆锥曲线的优点.
推广1若放在抛物线和双曲线中是否成立呢？
推广2设P1P2P3LPn是椭圆上的n个点，且FP1,FP2,FP3LfPn圆周角等分
n1
则也为定值
i=iOR
作业
22
（2003年希望杯竞赛题）经过椭圆爲爲I（ab0）的焦点Fi作倾斜
ab
角为60°的直线和椭圆相交于A，B两点，|AFi|2|BFi|.
（1）求椭圆的离心率e；
（2）若|AB|15，求椭圆方程
4
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