七年级数学平面图形的认识一培优专题角.docx

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七年级数学平面图形的认识一培优专题角

角

考点•方法•破译

1．进一步认识角，会比较角的大小，会计算角度的和差，认识度、分、秒，会进行简单的换算．

2．了解角平分线及其性质，了角余角、补角，知道等角的余角相等，等角的补角相等．

经典•考题•赏析

【例1】如图AOE是直线，图中小于平角的角共有（）

A．7个B．9个C．8个D．10个

【解法指导】公共端点的两条射线组成的图形叫做角，数角注意抓住概念，表示角用大写字母表示或希腊字母及数字表示，故选择B．

【变式题组】

01．在下图中一共有几个角？

它们应如何表示．

02．下列语句正确的是（）

A．从同一点引出的两条射线组成的图形叫做角B．两条直线相交组成的图形叫做角

C．从同一点引出的两条线段组成的图形叫做角D．两条线段相交组成的图形叫做角

03．关于平角和周角的说法正确的是（）

A．平角是一条直线B．周角是一条射线

C．反向延长射线OA，就是成一个平角D．两个锐角的和不一定小于平角

【例2】38.33°可化为（）

A．38°30′3〃B．38°33＇C．38°30′30″〃D．38°19′48″〃

【解法指导】注意度、分、秒是60进制的，把度转化成分要乘60，把分转化成秒要乘60；反之把秒化成分要除以60，把分化成度要除以60，把秒化成度要除以3600，故选择D．

【变式题组】

01．把下列各角化成用度表示的角：

⑴15°24′36″〃⑵36°59′96″〃⑶50°65′60″〃

02．⑴3.76°＝度分秒

⑵3.76°＝分秒

⑶钟表在8：

30时，分针与时针的夹角为度．

03．计算：

⑴23°45′36＋66°14′24″；⑵180°－98°24′30″；〃

⑶15°50′42″×3；⑷88°14′48″÷4

【例3】若∠α的余角与∠α的补角的和是平角则∠α＝．

【解法指导】两个角的和等于90°叫做余角，两个角的和等于180°叫做互补，同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等．

解：

根据题意得90°－∠α＋180°－∠α＝180°，所以∠α＝45°

【变式题组】

01．如图所示，那么∠2与

（∠1－∠2）之间的关系是（）

A．互补B．互余C．和为45°D．和为22.5°

02．55°角的余角是（）

A．55°B．45°C．35°D．125°

03．如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式子中：

①90°－∠β；②∠α－90°；③

（∠α＋∠β）④

（∠α－∠β）（）

A．4个B．3个C．2个D．1个

【例4】如图，点O是直线AB上的点，OC平分∠AOD，∠BOD＝30°，则∠AOC＝　　　　　．

【解法指导】注意找出图中角的和、差、倍、分关系，图中有∠AOD＋∠BOD＝180°，∠AOD＝2∠AOC．

解：

因为∠AOD＝180°－∠BOD＝180°－30°＝150°，又因为OC平分∠AOD，所以∠AOC＝

∠AOD＝

×150°＝75°．

【变式题组】

01．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝100°，则∠BOD等于（）

A．20°B．40°C．50°D．80°

02．如图直线a，b相交于点O，若∠1＝40°，则∠2等于（）

A．50°B．60°C．140°D．160°

03．一束光线垂直照射水平地面，在地面上放一个平面镜，欲使这束光线经过平面镜反射后成水平光线，

则平面镜与地面所成锐角的度数为（）

A．45°B．60°C．75°D．80°

【例5】如图是一块手表早点9时20分的时针、分针位置关系示意图，此时时针和分针所成的角的度数是（）

A．160°B．180°C．120°D．150°

【解法指导】角此类问题可结合题意画出相应刻度的示意图，并准确地把握时针、分针的旋转一圈12小时，则它1小时转的角度为360°×

＝30°，1分钟转过的角度为30°×

＝0.5°，分针转一圈是1个小时，分针每分钟转过的角度为360°×

＝6°．故选择A．

【变式题组】

01．钟表上12时15分，时针与分针的夹角为（　　）

A．90°B．82．5°C．67.5°D．60°

02．由2点15分到2点30分，时钟的分针转过的角度是．

【例6】考点办公室设在校园中心O点，带队老师休息室A位于O点的北偏东45°，某考室B位于O点南偏东60°，请在图中画出射线OA，OB，并计算∠AOB的度数．

【解法指导】此类问题紧扣方位角的概念作出射线OA，OB是关键．

解：

如图，以O为顶点，正北方向线为始边向东旋转45°，得OA，以O为顶点，正南方向线为始边向东旋转60°，得OB，则∠AOB＝180°－（45°＋60°）＝75°．

【变式题组】

01．如图所示，某测绘装置有一枚指针，原来指向南偏西50°，把这枚指针按顺时针旋转

周．

⑴指针所指方向为；

⑵图中互余的角有对，与∠BOC互补的角是．

02．轮船航行到C处时，观察到小岛B的方向是北偏西35°，同时从B观察到轮船C的方向是（）

A．南偏西35°B．北偏西35°C．南偏东35°D．南偏东55°

03．如图下列说法不正确的是（）

A．OA的方向是东偏北30°B．OB的方向是西偏北60°

C．OC的方向是西偏南15°D．OD的方向是西南方向

【例7】如图，O是直线AB上一点，∠AOD＝120°，∠AOC＝90°，OE平分∠BOD，则图中彼此互补的角共有对．

【解法指导】彼此互补的角只要满足一定的数量关系即可，而与位置无关，从计算相应角的度数入手，故共有6对．

【变式题组】

01．如图所示，A、O、B在一条直线上，∠AOC＝

∠BOC＋30°，OE平分∠BOC，则∠BOE＝　　　　　．

02．如图，已知∠AOB∶∠BOC∶∠COD＝3∶2∶4，∠AOD＝108°，求∠AOB、∠BOC、∠COD的度数．

03．如图，已知∠AOB＋∠AOC＝180°，OP、OQ分别平分∠AOB、∠AOC，且∠POQ＝50°，求∠AOB、∠AOC的度数．

【例8】如图，三条直线AB、CD、EF相交于点O，一共构成哪几对对顶角？

一共构成哪几对邻补角？

【解法指导】

⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.

⑵对顶角：

有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线.

⑶邻补角：

两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.

有6对对顶角.

12对邻补角.

【变式题组】

01．如右图所示，直线AB、CD、EF相交于P、Q、R，则：

⑴∠ARC的对顶角是.邻补角是.

⑵中有几对对顶角，几对邻补角？

02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角；

当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角；

当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角.

问：

当有100条直线相交于一点时共有对顶角.

【例9】如图所示，点O是直线AB上一点，OE、OF分别平分∠BOC、∠AOC．

⑴求∠EOF的度数；

⑵写出∠BOE的余角及补角.

【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；

【解】⑴∵OE、OF平分∠BOC、∠AOC∴∠EOC＝

∠BOC，∠FOC＝

∠AOC∴∠EOF＝∠EOC＋∠FOC＝

∠BOC＋

∠AOC＝

又∵∠BOC＋∠AOC＝180°∴∠EOF＝

×180°＝90°⑵∠BOE的余角是：

∠COF、∠AOF；∠BOE的补角是：

∠AOE.

【变式题组】

01．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，且∠EOC＝100°，则∠BOD的度数是（）

A．20°B．40°C．50°D．80°

【例10】如图，直线l1、l2相交于点O，A、B分别是l1、l2上的点，试用三角尺完成下列作图：

⑴经过点A画直线l2的垂线.

⑵画出表示点B到直线l1的垂线段.

【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段.

【变式题组】

01．P为直线l外一点，A、B、C是直线l上三点，且PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，则点P到直线l的距离为（）

A．4cmB．5cmC．不大于4cmD．不小于6cm

02如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M、N为位于公路两侧的村庄；

⑴设汽车行驶到路AB上点P的位置时距离村庄M最近.行驶到AB上点Q的位置时，距离村庄N最近，请在图中的公路上分别画出点P、Q的位置.

⑵当汽车从A出发向B行驶的过程中，在的路上距离M村越来越近..在

的路上距离村庄N越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远.

【例11】如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠DOF＝65°，求∠BOE和∠AOC的度数.

【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：

∠AOF＝90°，OF⊥AB．

【解】∵OE⊥CD，OF⊥AB∴∠FOB＝∠EOD＝90°（垂直定义）∴∠BOE＝∠FOD＝90°－∠DOB＝65°∴∠DOB＝25°∴∠AOC＝∠DOB＝25°（对顶角相等）

【变式题组】

01．如图，若EO⊥AB于O，直线CD过点O，∠EOD︰∠EOB＝1︰3，求∠AOC、∠AOE的度数.

02．如图，O为直线AB上一点，∠BOC＝3∠AOC，OC平分∠AOD．

⑴求∠AOC的度数；

⑵试说明OD与AB的位置关系.

03．如图，已知AB⊥BC于B，DB⊥EB于B，并且∠CBE︰∠ABD＝1︰2，请作出∠CBE的对顶角，并

求其度数.

演练巩固反馈提高

01．已知∠α＝35°，则∠α的余角是（）

A．55°B．45°C．145°D．135°

02．如图直线l1与l2相交于点O，OM⊥l1，若∠α＝44°，则∠β等于（）

A．56°B．46°C．45°D．44°

03．把一张长方形的纸片按图的方位折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在MB＇的延长线上，则∠EMF

的度数是（）

A．85°B．90°C．95°D．100°

04．书店、学校、食堂在同一个平面上，分别用A、B、C表示，书店在学校的北偏西30°，食堂在学校的

南偏东15°，则平面图上的∠ABC应是（）

A．65°B．35°C．165°D．135°

05．如果∠α＝3∠β，∠α＝2∠θ，则必有（）

A．∠β＝

∠θB．∠β＝

∠θC．∠β＝

∠θD．∠β＝

∠θ

06．某校初一年级在下午3：

00开展“阳光体育”活动，下午3：

00这一时刻，时针上分针与时针所夹角等

于°．

07．已知∠AOB＝30°，又自∠AOB的顶点O引射线OC，若∠AOC：

∠AOB＝4：

3，那么∠BOC等于（）

A．10°B．40°C．45°D．70°或10°

08．已知∠AOB＝120°，OC在它的内部，且把∠AOB分成1：

3，那么∠AOC的度数是（）

A．40°B．40°或80°C．30°D．30°或90°

09．如图，∠EAC＝∠ADB＝90°.下列说法正确的是（）

A．α的余角只有∠BB．α的邻补角是∠DACC．∠ACF是α的余角D．α与∠ACF互补

10．如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，则∠EMB的同位角为（）