例：
如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1,0）,C（3,0）,0（3,4）.以A为顶点的抛物线y二ax'+bx+c过点C.动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动.同吋动点Q从点C出发，沿
线段CD向点D运动•点P,Q的运动速度均为每秒1个单位.运动时间为t秒.过点P作PE丄AB交AC
于点E.
（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）过点E作EF丄AD于F,交抛物线于点G,当t为何值时,
AACG的面积最大？
最大值为多少？
（3）在动点P,Q运动的过程中，当t为何值吋，在矩形
ABCD内（包括边界）存在点H,使以C,Q,E,H为顶点的
四边形为菱形？
请直接写出t的值.
分析：
（1）根据矩形的性质可以写岀点A得到坐标；由顶点A的坐标可设该抛物线的顶点式方程为y二a
（x-1）知4,然后将点C的坐标代入，即可求得系数a的值（利用待定系数法求抛物线的解析式）；
（2）利用待定系数法求得直线AC的方程y二・2x+6；由图形与坐标变换可以求得点P的坐标（1,4・t）,据此可以求得点E的纵坐标，将其代入直线AC方程可以求得点E或点G的横坐标；然后结合抛物线方程、图形与坐标变换可以求得GE=4■仝、点A到GE的距离为二，C到GE的距离为2■丄；最后根据三角形的
422
而积公式可以求得Saacg=Saaeg+Saceg=■丄（t・2）2+1,由二次函数的最值可以解得1=2时，Smcg的最
4
大值为1;（3）因为菱形是邻边相等的平行四边形，所以点II在直线EF上.
解答：
解：
（1）A（1,4）.・••（1分）
由题意知，可设抛物线解析式为y二a（x-1）稈4
•・•抛物线过点C（3,0）,
/.0=a（3-1）2+4,解得，a=-1,
・・・抛物线的解析式为y二-（x-1）'+4,即y=-x2+2x+3.…（2分）
（2）VA（b4）,C（3,0）,
•••可求直线AC的解析式为y二・2x+6.
•••点P（1,4-t）.…（3分）
将y=4-t代入yf+6中,解得点E的横坐标为E+寺…（4分）
・••点G的横坐标为1+乞，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为4・七2
2
22
・・.GE二（4-二）-（4-t）二t-亘・・•（5分）
44
又点A到GE的距离为二，C到GE的距离为2-
22
即S^c讦S^eg+Smeg二丄・EG・Z+丄・EG（2・兰）
2222
二丄・2（t-£）二-丄（t-2）2+1.…（7分）
244
当t二2时，Sam的最大值为1・…（8分）
⑶t=-|mt=20-8V5-―分）
X
（说明：
每值各占（2分），多出的值未舍去，每个扣1分）
点评：
本题考查了二次函数的综合题.其屮涉及到的知识点有待定系数法求二次函数的解析式，待定系
数法求一次函数的解析式以及三角形而积的求法.
四、二次函数的性质
1、二次函数的性质
两数
二次函数
y=ax1+-c（a,b,cM常数，么工0）
a>0
a<0
图像
性质
（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；
（2）对称轴是x=-—,顶点坐标是（-仝，
2a2a
4ac-b2
）;
4a
亠#b
（3）在对称轴的左侧，即当xv——时，y随x
2a
的增大而减小；在对称轴的右侧，即当
b
x>时，y随X的增大而增大，简记左减
2a
右增；
（4）抛物线有取低点，当x二时，y有取小
2a
什4ac-b2
值，〉最小值一4a
（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；
（2）对称轴是x=-2,顶点坐标是（-仝，
2a2a
4ac-b2
）;
4。
h
（3）在对称轴的左侧，即当XV——时，y随
2a
X的增大而增大；在对称轴的右侧，即当
x>时，y随x的增大而减小，汕记左
2a
增右减；
（4）抛物线有最高点，当x=-—时，y有最
2a
亠"^cic-b2
大值，y最大值_4°
2^二次函数ymqx2+〃x+c（a,Z?
c是常数，qhO）中，ci、b、c的含义：
。
表示开口方向：
a>0时,
抛物线开口向上，QVO时，抛物线开口向下
b与对称轴有关：
对称轴为x=-2la
c表示抛物线与y轴的交点坐标：
（0,c）
例2・已知二次函数y=2（x-3）2+l.下列说法：
①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=-3；③其图象顶点坐标为（3,-1）；④当x<3时，y随x的增大而减小.则其屮说法正确的有（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
考点：
二次函数的性质。
分析：
结合二次函数解析式，根据函数的性质对各小题分析判断解答即可.
解答：
解：
①・・・2>0,・・・图象的开口向上，故本小题错误；
2图象的对称轴为直线x=3,故本小题错误；
3其图彖顶点坐标为（3,1）,故本小题错误；
4当x<3时，y随x的增大而减小，正确；
综上所述，说法正确的有④共1个.故选A.
例3.设二次函数y二x'+bx+c,当xWl时，总有yNO,当1WxW3时，总有yWO,那么c的取值范闱是
（）A.c=3B.c$3C.1WcW3D.cW3
考点：
二次函数的性质。
分析：
因为当xWl时，总有y$0,当1WxW3时，总有yWO,所以函数图彖过（1,0）点，即1+b+c二0①,有题意可知当x=3时，y二9+3b+cW0②，所以①②联立即可求出c的収值范围.
解答：
解：
・・•当xWl吋，总有y$0,当1WxW3吋，总有yWO,
・•.函数图象过（1,0）点，即1+b+c二0①，
・.•当1WxW3时，总有yWO,
当x二3时，y=9+3b+cW0②，
①②联立解得：
cN3,
故选B.
五、二次函数与一元二次方程：
1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：
一元二次方程or2+加+c=0是二次函数y=ax1+bx-vc当函数值y=0时的特殊情况.
图象与兀轴的交点个数：
1当4=Z?
2-4dc>0时，图象与兀轴交于两点力（西，0）,3（兀2，0）（兀|工％2），其中的兀1，吃是一元二次
方程用+加+*0（心0）的两根.这两点间的距离血十_咄="订4"・
2当△=（）时，图象与兀轴只有一个交点；
3当时，图象与兀轴没有交点.
r当a>0时，图象落在兀轴的上方，无论x为任何实数，都有y>0；
2,当时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y<0・
2.抛物线j=ax2+bx+c的图象与y轴一定相交，交点坐标为（0,c）；
3.二次函数常用解题方法总结：
（1）求二次函数的图象与兀轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
（2）求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶根据图象的位置判断二次函数y=ax2+bx+c中a,b,c的符号，或由二次函数中a,b,c•的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与兀轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
A>0
抛物线与兀轴有两个交点
二次三项式的值可正、可零、可负
一元二次方程有两个不相等实根
A=0
抛物线与X轴只有一个交点
二次三项式的值为非负
一元二次方程有两个相等的实数根
A<（）
抛物线与兀轴无交点
二次三项式的值恒为正
一元二次方程无实数根.
数有关的还有二次三项式，二次三项式衣+加+c@工0）本身就是所含字母X的二次函数；下面以G>0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：
例1・已知抛物线尸k（x+1）（x-|）与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,则能使AABC为等腰三角形
的抛物线的条数是（）A.2B.3C.4D.5
考点：
抛物线与x轴的交点。
分析：
根据抛物线的解析式可得C（0,3）,再表示出抛物线与x轴的两个交点的横坐标，再根据ABC是等腰三角形分三种情况讨论，求得k的值，即可求出答案.
解答：
解：
根据题意，得C（0,-3）.令y=0,则k（x+1）（x・£）二0,乂=・1或*更，
kk
设A点的坐标为（-1,0）,则B（-?
0）,
k
1当AC二BC时，0A二0B二1,B点的坐标为（1,0）,总二1,k二3；
k
2当AC=AB时，点B在点A的右面时，
VAC=^12+32-V10，则AB=AC=V10,B点的坐标为（帧-1,0）,
k3
3当AOAB吋，点B在点A的左面吋，B点的坐标为（帧，0）,k辭；
k10
所以能使AABC为等腰三角形的抛物线的条数是3条；故选B.
点评：
此题考查了抛物线与x轴的交点，此题要能够根据解析式分别求得抛物线与坐标轴的交点，结合等腰三角形的性质和勾股定理列出关于k的方程进行求解是解题的关键.
B.3
D.9
例2：
二次函数y=ax2^bx的图彖如图，若一元二次方程ax2+hx+m=0有实数根，则加的最大值为
考点：
抛物线与X轴的交点。
解：
・・•抛物线的开口向上，顶点纵坐标为-3,
/ea>0.=—3,即=12d,
4d
T一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根,
・・・△=/—4g力\0,即12^-46/m>0,即12-4/?
?
>0,解得m<3,
・・・m的最大值为3.
故选B.
六、确定二次函数关系式的基本题型
1二次函数关系式设为：
y二ax'（a=#0）
例1、有一座抛物线形拱桥，正常水位时，AB宽为20米，水位上升3米就达到警戒水位线
CD,这时水面的宽度为10米。
请你在如图1所示的平面直角坐标系中，求岀二次函数的解
析式。
解：
根据图象，知道抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标为原点,所以，不妨设二次函数的解析式：
y二ax'（a=#0）,
因为，AB二20,所以，FA二FB二10,
因为，CDP0,所以，EC二ED二5
所以,
点A的坐标为（T0,必），点C的坐标为（-5,力），所以，必二aX（-10）2=100a,旳二aX（-5）2=25a,
因为，EF二3,所以，力一必二3,
所以，25aT00a二3,
解得：
a二-丄，所以，所求函数的解析式：
y二-丄x2o
2525
小结:
当知道抛物线的顶点坐标为原点，且对称轴是y轴时，要求二次函数的解析式，通常的解题思路如下：
1设二次函数的解析式为：
y二ax'（a#=0）
2把已知点的坐标代入所设的解析式中，转化成关于a的一元一次方程;
3解方程，求得a值；
4把a的值代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。
2二次函数关系式设为：
y=ax2+bx（a#=0）
例2、王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线），=
55
其中…）是球的飞行高度，…）是球飞出的水平距
2m,如图2所示。
（1）请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴.
（2）
请求出球飞行的最大水平距离.
（3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式.
所以，抛物线y=
Q
+尹的开口向下,
顶点为碍
对称轴为直线x=4o
解：
⑵令y=°,得:
于+|*0,
所以，球飞行的最大水平距离是8m・
（3）要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为10m所以，抛物线的对称轴为兀=5,顶点为（5,—设此时对应的抛物线解析式为:
y=ax2+bx（a#=0）,
因为，抛物线经过点（10,0）,
所以，100a+10b=0,即10a+b二0,
因为，抛物线经过点（5,—
5
所以，25a+5b=—,即5a+b=—,
525
叙仲16.32
解得：
a=,b,
12525
所以,二次函数的解析式是:
L罟宀存。
小结：
当知道抛物线经过原点，且抛物线与X轴相交，要求二次函数的解析式，通常的解题
思路如下：
1设二次函数的解析式为：
y二ax'+bx（a=#0）
2把点的坐标代入所设的解析式中，转化成关于a、b的二元一次方程组；
3解方程组，求得a、b值；④把a、b的值代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。
3二次函数关系式设为：
y=ax2+c（a=#0）
图3
例3、桂林红桥位于桃花江上，是桂林两江四湖的一道亮丽的风景线，该桥的部分横截面如图3所示，上方可看作是一个经过A、C、B三点的抛物线，以桥面的水平线为X轴，经过抛物线的顶点C与X轴垂直的直线为丫轴，建立直角坐标系，已知此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为2米（图中用线段AD、CO、BE等表示桥柱）C0=1米，FG=2米
（1）求经过A、B、C三点的拋物线的解析式。
（2）求柱子AD的高度。
解：
因为，抛物线的对称轴是y轴，
所以，设二次函数解析式为：
y=ax2+c（a=/=0）,
因为，二次函数图象过点C（0,1）,
所以，ch,
因为，此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为2米（图中用线段AD、CO、BE等表示桥柱），且FG=2米，
所以，点F的坐标是（-4,2）,
所以，16a+1=2,解得：
a二丄，
16
所以，二次函数的关系式是：
y二丄/+1；
16
（2）,因为，0D二8米，
设点A的坐标是（-8,y）,
所以,y=—X（-8）2+1=5,
16
因此，柱子AD的高为5米。
小结：
当知道抛物线的顶点在y轴上，和抛物线上的一个点A（x,,yj时，要求二次函数的解析式，通常的解题思路如下：
1设二次函数的解析式为：
y二ax'+c（a=#0）
2把点的坐标代入所设的解析式中，转化成关于a,c的二元一次方程组;
3解方程组，求得a、c值；
4把a、c的值代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。
4.二次函数关系式设为：
y=a（x-h）2（a#=0）
例4、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1,0）,且过点B（3,4）.求该二次函数的解析式。
解：
设二次函数解析式为：
y二a（x-1）2,
因为，二次函数图象过点B（3,4）,
所以，4a=4,
解得：
a=1,所以，二次函数解析式为：
y二（x-1）2,即y二x'-2x+1。
小结：
当知道抛物线的顶点坐标：
M（h,0）和抛物线上的一个点A（Xi,yj时，要求二次函数的解析式，通常的解题思路如下：
1设二次函数的解析式为：
y二a（x-h）2a=/=0）
2把点A的坐标代入所设的解析式中，转化成关于a的一元一次方程；
3解方程，求得a值；
4把a的值代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。
5•二次函数关系式设为：
y=a（x-h）2+k（a*0）
例5、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1,-4）,且过点B（3,0）•求该二次函数的解析式。
解：
设二次函数解析式为：
y二a（x-1）-4,
因为，二次函数图象过点B（3,0）,
所以，4a-4二0,
解得：
a=1,所以，二次函数解析式为：
y二（x-1）2-4,,即y=x2-2x-3o
7.中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆）、
1、两点间距离公式阳
（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）°
如图：
点A坐标为（X],yi）点B坐标为（X2，y?
）
则AB间的距离，即线段AB的长度为JdrY+（y-力）2E
2,二次函数图象的平移
1图象平移示意图
一般地，平移二次函数y二的图象便可得到二次函数y二a（x_h）2+k的图象.
上、下歿—ry=cu^+k^移
y=ajT上、下移」丄左、右移y=6/（x-h）2+k
②图象的平移方法
1、用配方法将二次函数y=ax2+bx+c转化成y二a（x-h）“k的形式.即y=ax2+bx+c
3+乙+£）
aa
[x^+2X-Lx+（±）2-
2a2a
（x+±）2+±Ez^.
2a4a
所示.
③平移规律
在原有函数的基础上“力值正右移，负左移；k值正上移，负下移”.特别记忆一同左上加异右下减（必须理解记忆）
说明：
①函数中此值同号，图像顶点在y轴左侧同左，ab值异号，图像顶点必在Y轴右侧异右。
2
向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减。
y—yx=kx-\-b=（tana）x+b=
此公式有多种变形牢记
力―X
由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式:
4、直线方程:
②点斜y-y{=k^x-x{）
3斜截直线的斜截式方程，简称斜截式：
y=kx+b（kHO）
4截距由直线在x轴和，轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：
专+*i
牢记口诀一-两点斜截距一两点点斜斜截截距
5、设两条直线分别为，/】：
y=k}x+b{l2：
y=k2x+b2若厶//乙，贝lj有厶〃厶0«=心
6,点P（x（）,y0）到直线y二kx+b（即:
kx-y+b二0）的距离：
d=
|5_刃）+闿=|5_儿+用Ji+（_1）2JQ+1
且勺工“2。
若£JL/20k、•心=一1
7,抛物线y=ax2+hx+c中，abc,的作用
（1）d决定开口方向及开口大小,这与y=ax2中的a完全•一样.
（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=d+加+c的对称轴是直线
AA
兀=——,故：
①方=0时，对称轴为y轴；②->0（即°、0同号）时，对称轴在丿轴2aa
左狈！
1;③—<0（即°、b异号）时，对称轴在y轴右侧.
a
口诀—同左异右
（3）c的大小决定抛物线y=a）c+/zr+c与y轴交点的位置.
当兀=0时，y=c,・・・抛物线y=a^+bx+c与y轴有且只有一个交点（0,c）：
1c=0,抛物线经过原点；
2c〉0,与y轴交于正半轴；
③c<0,与y轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立•如抛物线的对称轴在y轴右侧，则-<0.a
例1.二次函数y二ax'+bx+l（aHO）的图象的顶点在第一象限，且过点（-1,0）.设t=a+b+l,则t值的变化范围是（）
A.0考点：
二次函数图象与系数的关系。
分析：
由二次函数的解析式可知，当x二1时，所对应的函数值y二t二a+b+1.
把
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