福建省龙岩市届高三数学下学期教学质量检查试题理0312136.docx
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福建省龙岩市届高三数学下学期教学质量检查试题理0312136
龙岩市2018年高中毕业班教学质量检查
数学（理科）试题
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合
，
，则
（）
A．
B．
C．
D．
2.已知函数
，则
是
在
处取得极小值的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3.已知
与
是共轭虚数，有
个命题①
；②
；③
；④
，一定正确的是（）
A．①②B．②③C．②③D．①②③
4.
大致的图象是（）
A．B．C.D．
5.执行如图所示的算法流程图，则输出的结果
的值为（）
A．
B．
C．
D．
6.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为（）
A．
B．
C．
D．
7.若实数
，
满足
，则
的值为（）
A．
B．
C．
D．
8.设
，
满足约束条件
，若目标函数
的最大值为
，则
的值为（）
A．
B．
C．
D．
9.已知抛物线
上的点
到其准线的距离为
，直线
交抛物线于
，
两点，且
的中点为
，则
到直线
的距离为（）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
10.已知函数
的一条对称轴为
，且
，则
的最小值为（）
A．
B．
C．
D．
11.在四面体
中，
与
均是边长为
的等边三角形，二面角
的大小为
，则四面体
外接球的表面积为（）
A．
B．
C．
D．
12.记函数
，若曲线
上存在点
使得
，则
的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
13.已知向量
，
，
，则
．
14.
对双胞胎站成一排，要求每对双胞胎都相邻，则不同的站法种数是．（用数字作答）
15.已知双曲线
的渐近线被圆
截得的弦长为
，则该双曲线的离心率为．
16.已知
的内角
的平分线交
于点
，
与
的面积之比为
，
，则
面积的最大值为．
三、解答题：
本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知正项数列
的前
项和为
，且
.
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
（Ⅱ）若
是等比数列，且
，
，令
，求数列
的前
项和
.
18.已知梯形
如图
（1）所示，其中
，
，四边形
是边长为
的正方形，现沿
进行折叠，使得平面
平面
，得到如图
（2）所示的几何体.
（Ⅰ）求证：
平面
平面
；
（Ⅱ）已知点
在线段
上，且
平面
，求
与平面
所成角的正弦值.
19.世界那么大，我想去看看，处在具有时尚文化代表的大学生们旅游动机强烈，旅游可支配收入日益增多，可见大学生旅游是一个巨大的市场.为了解大学生每年旅游消费支出（单位：
百元）的情况，相关部门随机抽取了某大学的
名学生进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：
组别
频数
（Ⅰ）求所得样本的中位数（精确到百元）；
（Ⅱ）根据样本数据，可近似地认为学生的旅游费用支出
服从正态分布
，若该所大学共有学生
人，试估计有多少位同学旅游费用支出在
元以上；
（Ⅲ）已知样本数据中旅游费用支出在
范围内的
名学生中有
名女生，
名男生，现想选其中
名学生回访，记选出的男生人数为
，求
的分布列与数学期望.
附：
若
，则
，
，
.
20.平面直角坐标系
中，圆
的圆心为
.已知点
，且
为圆
上的动点，线段
的中垂线交
于点
.
（Ⅰ）求点
的轨迹方程；
（Ⅱ）设点
的轨迹为曲线
，抛物线
：
的焦点为
.
，
是过点
互相垂直的两条直线，直线
与曲线
交于
，
两点，直线
与曲线
交于
，
两点，求四边形
面积的取值范围.
21.已知函数
，
.
（Ⅰ）求函数
的极值；
（Ⅱ）若不等式
对
恒成立，求
的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答.注意：
只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.选修4-4：
坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线
的极坐标方程为
，曲线
的参数方程是
（
为参数）.
（Ⅰ）求直线
和曲线
的普通方程；
（Ⅱ）直线
与
轴交于点
，与曲线
交于
，
两点，求
.
23.选修4-5：
不等式选讲
已知函数
.
（Ⅰ）当
时，解不等式
；
（Ⅱ）若不等式
的解集包含
，求实数
的取值范围.
龙岩市2018年高中毕业班教学质量检查
数学（理科）参考答案
一、选择题
1-5:
CDDDC6-10:
CBABB11、12：
AB
二、填空题
13.
14.
15.
16.
三、解答题
17.解：
（Ⅰ）由
得
，
两式相减得
，
∴
，
∵
，∴
，
又由
得
得
，
是首项为
，公差为
的等差数列，
从而
.
（Ⅱ）设
公比为
，则由
可得
，
∴
，
∴
，
∴数列
满足
，
它的前
项之和
①，
②，
①-②得
，
∴
.
18.解：
（Ⅰ）证明：
由平面
平面
，
，
平面
平面
，
平面
，
得
平面
，又
平面
，
∴
，
由
为正方形得
，
又
，
，
平面
，
∴
平面
，
又∵
平面
，
∴平面
平面
.
（Ⅱ）由
平面
得
，
，
又
故以
为原点，
，
，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴建立图示空间直角坐标系，则
，
，
，
，
设
，则
，
设平面
的一个法向量为
，
由
，
，
得
取
得
，
∵
平面
，
，
∴
，
，
，
，
设
与平面
所成的角为
，则
，
∴
与平面
所成角的正弦值为
.
19.解：
（Ⅰ）设样本的中位数为
，则
，
解得
，所得样本中位数为
.
（Ⅱ）
，
，
，
旅游费用支出在
元以上的概率为
，
，
估计有
位同学旅游费用支出在
元以上.
（Ⅲ）
的可能取值为
，
，
，
，
，
，
，
，
∴
的分布列为
.
20.解：
（Ⅰ）∵
为线段
中垂线上一点，
∴
，
∵
，
，∵
，
∴
的轨迹是以
，
为焦点，长轴长为
的椭圆，
它的方程为
.
（Ⅱ）∵
的焦点为
，
的方程为
，
当直线
斜率不存在时，
与
只有一个交点，不合题意.
当直线
斜率为
时，可求得
，
，
∴
.
当直线
斜率存在且不为
时，
方程可设为
，代入
得
，
，
设
，
，则
，
，
.
直线
的方程为
与
可联立得
，
设
，
，则
，
∴四边形
的面积
.
令
，则
，
，
∴
在
是增函数，
，
综上，四边形
面积的取值范围是
.
21.解：
（Ⅰ）
，
，
∵
的定义域为
.
①
即
时，
在
上递减，
在
上递增，
，
无极大值.
②
即
时，
在
和
上递增，在
上递减，
，
.
③
即
时，
在
上递增，
没有极值.
④
即
时，
在
和
上递增，
在
上递减，
∴
，
.
综上可知：
时，
，
无极大值；
时，
，
；
时，
没有极值；
时，
，
.
（Ⅱ）设
，
，
设
，则
，
，
，
∴
在
上递增，∴
的值域为
，
①当
时，
，
为
上的增函数，
∴
，适合条件.
②当
时，∵
，∴不适合条件.
③当
时，对于
，
，
令
，
，
存在
，使得
时，
，
∴
在
上单调递减，
∴
，
即在
时，
，∴不适合条件.
综上，
的取值范围为
.
22.选修4-4：
坐标系与参数方程
解：
（Ⅰ）
，
化为
，
即
的普通方程为
，
消去
，得
的普通方程为
.
（Ⅱ）在
中令
得
，
∵
，∴倾斜角
，
∴
的参数方程可设为
即
，
代入
得
，
，∴方程有两解，
，
，∴
，
同号，
.
23.选修4-5：
不等式选讲
解：
（Ⅰ）
时，
或
或
，
或
或
，
解集为
.
（Ⅱ）由已知
在
上恒成立，
∵
，
，
∴
在
上恒成立，
∵
的图象在
上递减，在
上递增，
∴
，
∴
的取值范围是
.
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