专题训练二二次函数图象与abcb24ac等符号问题.docx

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专题训练二二次函数图象与abcb24ac等符号问题

专题训练

（二）　二次函数图象与a，b，c，b2－4ac等符号问题　　　　　　　　　　　　　　　　　　

二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象特征与a，b，c及判别式b2－4ac的符号之间的关系：

　　项目

字母　　

字母的符号

图象的特征

a

a>0

开口向上

a<0

开口向下

b

b＝0

对称轴为y轴

ab>0（b与a同号）

对称轴在y轴左侧

ab<0（b与a异号）

对称轴在y轴右侧

c

c＝0

经过原点

c>0

与y轴正半轴相交

c<0

与y轴负半轴相交

b2－4ac

b2－4ac＝0

与x轴有唯一交点（顶点）

b2－4ac>0

与x轴有两个不同交点

b2－4ac<0

与x轴没有交点

特殊关系

当x＝1时，y＝a＋b＋c

当x＝－1时，y＝a－b＋c

若a＋b＋c>0，即x＝1时，y>0

若a－b＋c>0，即x＝－1时，y>0

一、选择题

1．2016·宁波已知函数y＝ax2－2ax－1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（　　）

A．当a＝1时，函数图象过点（－1，1）

B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点

C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小

D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大

2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图2－ZT－1所示，则下列关系式错误的是（　　）

图2－ZT－1

A．a＜0

B．b＞0

C．b2－4ac＞0

D．a＋b＋c＜0

3．以x为自变量的二次函数y＝x2－2（b－2）x＋b2－1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是（　　）

A．b≥

B．b≥1或b≤－1

C．b≥2D．1≤b≤2

4．2017·威海已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图2－ZT－2所示，则正比例函数y＝（b＋c）x与反比例函数y＝

在同一坐标系中的大致图象是（　　）

图2－ZT－2

图2－ZT－3

5．2017·安徽已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与反比例函数y＝

的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1，则一次函数y＝bx＋ac的图象可能是（　　）

图2－ZT－4

6．2017·烟台二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图2－ZT－5所示，对称轴是直线x＝1.下列结论：

①ab＜0；②b2＞4ac；③a＋b＋2c＜0；④3a＋c＜0.其中正确的是（　　）

图2－ZT－5

A．①④B．②④

C．①②③D．①②③④

7．2017·鄂州如图2－ZT－6，抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象交x轴于点A（－2，0）和点B，交y轴负半轴于点C，且OB＝OC.下列结论：

①2b－c＝2；②a＝

；③ac＝b－1；④

＞0，其中正确的结论有（　　）

图2－ZT－6

A．1个　　B．2个C．3个　　D．4个

8．2017·齐齐哈尔抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝－2，与x轴的一个交点在（－3，0）和（－4，0）之间，其部分图象如图2－ZT－7所示，则下列结论：

①4a－b＝0；②c＜0；③－3a＋c＞0；④4a－2b＞at2＋bt（t为实数）；⑤点

，

，

是该抛物线上的点，则y1＜y2＜y3.正确的结论有（　　）

图2－ZT－7

A．4个　　B．3个　　C．2个　　D．1个

二、填空题

9．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的一部分如图2－ZT－8所示，则a的取值范围是________．

图2－ZT－8

10．2017·天水如图2－ZT－9是抛物线y1＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），直线y2＝mx＋n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：

①abc＞0；②方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是（－1，0）；④当1＜x＜4时，有y2＞y1；⑤x（ax＋b）≤a＋b.其中正确的结论是________．（只填写序号）

图2－ZT－9

11．2017·株洲如图2－ZT－10，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴在y轴的右侧，其图象与x轴交于点A（－1，0），C（x2，0），且与y轴交于点B（0，－2），小强得到以下结论：

①0＜a＜2；②－1＜b＜0；③c＝－1；④当|a|＝|b|时，x2＞

－1.以上结论中，正确的结论序号是________．

图2－ZT－10

12．如图2－ZT－11，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a>0）的图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为－1，3，与y轴负半轴交于点C.在下面五个结论中：

①2a－b＝0；②a＋b＋c>0；③c＝－3a；④当a＝

时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a的值可以有四个．其中正确的结论是________（只填序号）．

图2－ZT－11

三、解答题

13．如图2－ZT－12，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于B，C两点，交y轴于点A.

（1）根据图象确定a，b，c的符号；

（2）如果OC＝OA＝

OB，BC＝4，求这个二次函数的表达式．

图2－ZT－12

14．已知函数y＝ax2＋bx＋c，若a＞0，b＜0，c＜0，则这个函数的图象与x轴交点的情况是怎样的？

若无交点，请说明理由；若有交点，请说明有几个交点及交点分别在x轴的哪个半轴上．

详解详析

专题训练

（二）　二次函数图象与a，b，c，

　　　　　　　　　　　　b2－4ac等符号问题

1．[答案]D

2．[解析]D　抛物线开口向下，则a＜0，所以A选项的关系式正确；

抛物线的对称轴在y轴的右侧，a，b异号，则b＞0，所以B选项的关系式正确；

抛物线与x轴有2个交点，则b2－4ac＞0，所以C选项的关系式正确；

当x＝1时，y＞0，即a＋b＋c＞0，所以D选项的关系式错误．

3．[答案]A　

4．[答案]C

5．[解析]B　由公共点的横坐标为1，且在反比例函数y＝

的图象上，当x＝1时，y＝b，即公共点的坐标为（1，b）．又点（1，b）在抛物线上，得a＋b＋c＝b，即a＋c＝0.由a≠0知ac＜0，一次函数y＝bx＋ac的图象与y轴的交点在负半轴上，而反比例函数y＝

的图象的一支在第一象限，故b＞0，一次函数的图象满足y随x的增大而增大，选项B符合条件．故选B.

6．[解析]C　①抛物线的开口向上，所以a>0.抛物线的对称轴为直线x＝－

＝1，所以b<0，所以ab＜0.所以①正确；

②抛物线与x轴有两个交点，所以b2－4ac>0，所以b2＞4ac.所以②正确；

③由图象知，当x＝1时，y＝a＋b＋c<0.又抛物线与y轴交于负半轴，所以c<0，所以a＋b＋2c＜0.所以③正确；

④由抛物线的对称性知当x＝3时，y＝9a＋3b＋c>0.又－

＝1，所以b＝－2a，所以3a＋c>0.所以④错误．

综上可知，正确的是①②③.故选C.

7．[解析]C　在y＝ax2＋bx＋c中，当x＝0时y＝c，∴C（0，c），∴OC＝－c.∵OB＝OC，∴B（－c，0）．∵A（－2，0），∴－c，－2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个不相等的实数根，∴－c·（－2）＝

.∵c≠0，∴a＝

，②正确；∵－c，－2是一元二次方程

x2＋bx＋c＝0的两个不相等的实数根，∴－c＋（－2）＝－

，即2b－c＝2，①正确；把B（－c，0）代入y＝ax2＋bx＋c，得0＝a（－c）2＋b·（－c）＋c，即ac2－bc＋c＝0.∵c≠0，∴ac－b＋1＝0，∴ac＝b－1，③正确；∵抛物线开口向上，∴a＞0.∵抛物线的对称轴在x轴左侧，∴－

＜0，∴b＞0，∴a＋b＞0.∵抛物线与y轴负半轴交于点C，∴c＜0.∴

＜0，④错误．

8．[解析]B　∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝－2，∴－

＝－2，∴4a－b＝0，故①正确；

∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝－2，与x轴的一个交点在（－3，0）和（－4，0）之间，∴另一个交点位于（－1，0）和（0，0）之间，∴抛物线与y轴的交点在原点的下方，∴c＜0.故②正确；

∵4a－b＝0，∴b＝4a.∵当x＝－3时，y＝9a－3b＋c＝9a－12a＋c＝－3a＋c>0，故③正确；

∵4a－b＝0，∴b＝4a，∴at2＋bt－（4a－2b）＝at2＋4at－（4a－2×4a）＝at2＋4at＋4a＝a（t2＋4t＋4）＝a（t＋2）2.∵t为实数，a＜0，∴a（t＋2）2≤0，∴at2＋bt－（4a－2b）≤0，∴at2＋bt≤4a－2b，即4a－2b≥at2＋bt，∴④错误；

∵点

，

，

是该抛物线上的点，

∴将它们描在图象上可得

由图象可知：

y1

综上所述，正确的有3个．故选B.

9．[答案]－1＜a＜0

[解析]∵抛物线开口向下，∴a＜0.

∵函数图象过点（0，1），∴c＝1.

∵函数图象过点（1，0），∴a＋b＋c＝0，

∴b＝－（a＋c）＝－（a＋1）．

由题意知，当x＝－1时，应有y＞0，

∴a－b＋c＞0，

∴a＋（a＋1）＋1＞0，

∴a＞－1，

∴a的取值范围是－1＜a＜0.

10．[答案]②⑤

[解析]①根据函数图象的开口方向、对称轴、与y轴交点可知，a＜0，b＞0，c＞0，故abc＜0；②根据函数图象的顶点坐标可知，方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根，即x1＝x2＝1；③根据抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点是（－2，0）；④根据函数图象，当1＜x＜4时，有y2＜y1；⑤当x＝1时，y＝a＋b＋c＝3≥x（ax＋b）＋c，∴x（ax＋b）≤a＋b.故正确的结论有②⑤.

11．[答案]①④

[解析]由抛物线的开口向上可知，a＞0，且抛物线经过点A（－1，0），B（0，－2），对称轴在y轴的右侧可得

即a－b＝2，b＜0，故a＝2＋b＜2.综合可知0＜a＜2；由a－b＝2可得a＝b＋2，将其代入0＜a＜2中，得0＜b＋2＜2，即－2＜b＜0；

当|a|＝|b|时，因为a＞0，b＜0，故有a＝－b.又a－b＝2，可得a＝1，b＝－1.

故原函数为y＝x2－x－2，当y＝0时，即有x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2，

此时x2＝2＞

－1.故答案为：

①④.

12．[答案]③④

[解析]∵抛物线与x轴的交点A，B的横坐标分别为－1，3，∴AB＝4，对称轴为直线x＝－

＝1，∴b＝－2a，即2a＋b＝0.故①错误；根据图象知，当x＝1时，y＜0，即a＋b＋c＜0.故②错误；∵点A的坐标为（－1，0），∴a－b＋c＝0，而b＝－2a，∴a＋2a＋c＝0，即c＝－3a.故③正确；当a＝

时，b＝－1，c＝－

，抛物线的函数表达式为y＝

x2－x－

.设对称轴直线x＝1与x轴的交点为E，∴把x＝1代入y＝

x2－x－

，得y＝

－1－

＝－2，∴点D的坐标为（1，－2），∴AE＝2，BE＝2，DE＝2，∴△ADE和△BDE都为等腰直角三角形，∴△ABD为等腰直角三角形．故④正确；要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB＝BC＝4或AB＝AC＝4或AC＝BC，当AB＝BC＝4时，∵BO＝3，△BOC为直角三角形，OC的长为|c|，∴c2＝16－9＝7.∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＝－

，与2a＋b＝0，a－b＋c＝0联立组成方程组，解得a＝

；

当AB＝AC＝4时，∵AO＝1，△AOC为直角三角形，OC的长为|c|，∴c2＝16－1＝15.

∵抛物线与y轴的