人教A版高中数学同步辅导与检测选修11全集第一章末复习课.docx
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人教A版高中数学同步辅导与检测选修11全集第一章末复习课
章末复习课
[整合·网络构建]
[警示·易错提醒]
1．命题及其关系的关注点
（1）命题的四种形式的转换方法是首先确定原命题的条件和结论，然后对条件与结论进行交换、否定，就可以得到各种形式的命题．
（2）命题真假的判断，可根据真（假）命题的定义直接推理判断，还可以根据互为逆否命题具有相同的真假性来判断．
2．充分条件与必要条件的注意点
（1）在判定充分条件、必要条件时，要注意既要看由p能否推出q，又要看由q能否推出p，不能顾此失彼．
（2）证明充要条件要分两个方面，防止将充分条件和必要条件的证明弄混．
3．简单的逻辑联结词的两个关注点
（1）正确理解“或”的意义，日常用语中的“或”有两类用法：
其一是“不可兼”的“或”；其二是“可兼”的“或”，我们这里仅研究“可兼”的“或”．
（2）有的命题中省略了“且”“或”，要正确区分．
4．否命题与命题的否定的注意点
否命题与命题的否定的区别．对于命题“若p，则q”，其否命题形式为“若綈p，则綈q”，其否定为“若p，则綈q”，即否命题是将条件、结论同时否定，而命题的否定是只否定结论．有时一个命题的叙述方式是简略式，此时应先分清条件p，结论q，改写成“若p，则q”的形式再判断．
专题1 命题及其关系
对于命题正误的判断是高考的热点之一，应重点关注，命题正误的判断涉及各章节的内容，覆盖面宽，也是高考的易失分点．命题正误的判断方法是：
真命题要有依据或者给以论证；假命题只需举出一个反例即可．
[例1]
（1）（2015·广东卷）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）
A．l与l1，l2都不相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
（2）已知原命题“菱形的对角线互相垂直”，则对它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是（ ）
A．逆命题、否命题、逆否命题都为真
B．逆命题为真，否命题、逆否命题为假
C．逆命题为假，否命题、逆否命题为真
D．逆命题、否命题为假，逆否命题为真
解析：
（1）法一：
如图1，l1和l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确，选D.
图1 图2
法二：
因为l分别与l1，l2共面，故l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交．若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，从而l1∥l2，与l1，l2是异面直线矛盾，故l至少与l1，l2中的一条相交，选D.
（2）因为原命题“菱形的对角线互相垂直”是真命题，所以它的逆否命题为真；其逆命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”显然是假命题，所以原命题的否命题也是假命题．
答案：
（1）D
（2）D
归纳升华
1．判断一个命题是真命题还是假命题，关键是看能否由命题的条件推出命题的结论，若能推出，则是真命题，否则为假命题．
2．还可根据命题的四种形式之间的真假关系进行判断，即当一个命题的真假不易判断时，可以先把它转换成与它等价的命题（逆否命题），再进行判断．
[变式训练] 给出下面三个命题：
①函数y＝tanx在第一象限内是增函数；②奇函数的图象一定过原点；③命题“若0b>1”的逆命题．其中是真命题的是________（填序号）．
解析：
①是假命题，反例：
x＝2π＋
和
，tan
＝
，tan
＝1，2π＋
>
，但tan
；②是假命题，反例：
y＝
是奇函数，但它的图象不过原点；③是“若a>b>1，则0答案：
③
专题2 充分条件与必要条件的判定
充分条件与必要条件的判定是高考考查的热点内容，在高考试题中主要以选择题的形式出现．解决此类问题的关键是充分利用充分条件、必要条件与充要条件的定义，同时，丰富的数学基础知识是做好此类题目的前提．
[例2]
（1）若向量a＝（x，3）（x∈R），则“|a|＝5”是“x＝4”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
（2）已知条件p：
x＋y≠－2，条件q：
x≠－1或y≠－1，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：
（1）|a|＝
＝5得x＝4或x＝－4.反之当x＝4时，|a|＝
＝5，故“|a|＝5”是“x＝4”的必要不充分条件．
（2）由逆否命题：
若綈q，则綈p，则x＝－1＝y⇒x＋y＝－2正确，但x＋y＝－2
x＝y＝－1，即綈q是綈p的充分不必要条件．
答案：
（1）B
（2）A
归纳升华
判断充分条件和必要条件的方法
1．定义法：
根据充分条件和必要条件的定义直接判断．如本例中
（1）．
2．集合法：
运用集合思想判断充分条件和必要条件也是一种很有效的方法，主要是通过集合范围的大小判断．
3．等价命题法：
利用原命题与它的逆否命题是等价命题的结论，有时可以很快地判断．如本例中
（2）．
[变式训练] 已知p：
x2－8x－33＞0，q：
x2－2x＋1－a2＞0（a＞0），若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围．
解：
解不等式x2－8x－33＞0，得p：
A＝{x|x＞11或x＜－3}；
解不等式x2－2x＋1－a2＞0，得q：
B＝{x|x＞1＋a或x＜1－a，a＞0}．
依题意p⇒q但q
p，说明A
B.于是有
或
解得0＜a≤4，
所以正实数a的取值范围是0＜a≤4.
专题3 含逻辑联结词的命题
用逻辑联结词“且”“或”“非”正确地表述数学内容是学习数学的基本要求．本内容在高考试题中，既可以以选择题、填空题的形式单独出现，又可以渗透到解答题中．掌握本部分内容的关键是弄清含“且”“或”“非”命题的真假判断方法，即“p∧q”有假则假，“p∨q”有真则真．綈p与p真假相反．
[例3] 已知命题p：
幂函数y＝x1－a在（0，＋∞）上是减函数，命题q：
∀x∈R，ax2－ax＋1＞0恒成立．如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数a的取值范围．
解：
若命题p真，1－a＜0⇒a＞1，若命题q真，
则
或a＝0⇒0≤a＜4.
因为p∧q假，p∧q真，
所以命题p与q一真一假．
当命题p真q假时，
⇒a≥4.
当命题p假q真时，
⇒0≤a≤1.
所以所求a的取值范围是[0，1]∪[4，＋∞）．
归纳升华
解答这类问题的一般步骤
1．求出命题p，q为真时参数的条件；
2．根据命题p∧q，p∨q的真假判定命题p，q的真假；
3．根据p，q的真假建立不等式（组），求出参数的取值范围．
[变式训练] 已知命题p：
函数f（x）＝sinx·cosx的最小正周期为π；命题q：
函数g（x）＝sin
的图象关于原点对称，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．綈pB．（綈p）∨q
C．p∧qD．p∨q
解析：
因为f（x）＝sinx·cosx＝
sin2x，其最小正周期为π，所以命题p为真命题．因为g（x）＝sin
＝cosx，所以g（x）＝sin
的图象关于y轴对称，所以命题q为假命题，所以命题p∨q为真命题．
答案：
D
专题4 转化思想
所谓转化思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化、归结为在已学知识范围内可以解决的问题的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题．可以说数学解题就是转化问题，每一个数学问题都是在不断的转化中获得解决的．即使是数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想也都是转化思想的一种表现形式．
[例4] 已知p：
≤2，q：
x2－2x＋1－m2≤0（m＞0），且綈p是綈q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．
解：
因为綈p是綈q的必要而不充分条件，
所以p是q的充分而不必要条件，
由q：
x2－2x＋1－m2≤0，得1－m≤x≤1＋m，
所以q：
Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}，
由
≤2，解得－2≤x≤10，
所以p：
P＝{x|－2≤x≤10}，
因为p是q的充分而不必要条件，
所以P
Q，所以
或
即m≥9或m＞9.所以实数m的取值范围是m≥9.
归纳升华
对于条件或结论是否定式的命题一般应用等价法．这里要注意“原命题⇔逆否命题”，对于本题綈p是綈q的必要不充分条件⇔p是q的充分不必要条件，进而转化为研究p，q对应的集合之间的关系，求出实数m的取值范围．
[变式训练] 若r（x）：
sinx＋cosx＞m，s（x）：
x2＋mx＋1＞0，如果对∀x∈R，r（x）为假命题且s（x）为真命题，求实数m的取值范围．
解：
因为sinx＋cosx＝
sin
∈[－
，
]，
所以如果对∀x∈R，r（x）为假命题，即对∀x∈R，不等式sinx＋cosx＞m不恒成立，
所以m≥－
.
又对∀x∈R，s（x）为真命题，
即对∀x∈R，不等式x2＋mx＋1＞0恒成立，
所以m2－4＜0，即－2＜m＜2.
所以如果对∀x∈R，r（x）为假命题且s（x）为真命题，应有－
≤m＜2.
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