18学年高中物理机械振动第2节振动的描述3418043.docx
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18学年高中物理机械振动第2节振动的描述3418043
第2节振动的描述
1.振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离,振幅描述了振动的范围和强弱,用A表示。
2.周期和频率都是描述物体振动快慢的物理量,周期和频率互为倒数。
3.简谐运动的图像是一条正弦(余弦)曲线,直观的反映了简谐运动的位移随时间的变化规律,可表示出振幅和周期。
4.简谐运动的表达式为x=Asinωt,其中A代表振幅,ω是圆频率。
振动特征的描述
[自读教材·抓基础]
1.振幅(A)
(1)定义:
振动物体离开平衡位置的最大距离,用A表示。
(2)物理意义:
表示振动幅度大小或振动强弱的物理量,是标量。
2.全振动
物体从某一初始状态开始到第一次回到这一状态的过程。
3.周期(T)和频率(f)
(1)周期(T):
振动物体完成一次全振动经历的时间。
(2)频率(f):
振动物体在1s内完成全振动的次数。
(3)固有周期(或固有频率):
物体在自由状态下的振动周期(或频率),是物体本身的属性,与物体是否振动无关。
(4)物理意义:
周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量,周期越小,频率越大,表示物体振动越快。
(5)周期与频率的关系:
T=
(用公式表示)。
[跟随名师·解疑难]
1.全振动的五个特征
(1)振动特征:
一个完整的振动过程。
(2)物理量特征:
位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。
(3)时间特征:
历时一个周期。
(4)路程特征:
振幅的4倍。
(5)相位特征:
增加2π(相位马上学到)。
2.简谐运动中振幅和几个常见量的关系
(1)振幅和振动系统的能量关系:
对一个确定的振动系统来说,系统能量仅由振幅决定,振幅越大,振动系统能量越大。
(2)振幅与位移的关系:
振动中的位移是矢量,振幅是标量,在数值上,振幅与某一时刻位移的大小可能相等,但在同一简谐运动中振幅是确定的,而位移随时间做周期性的变化。
(3)振幅与路程的关系:
振动中的路程是标量,是随时间不断增大的。
其中常用的定量关系是:
①一个周期内的路程为4倍的振幅;
②半个周期内的路程为2倍的振幅;
③若从特殊位置开始计时,如平衡位置、最大位移处,
周期内的路程等于振幅;
④若从一般位置开始计时,
周期内路程与振幅之间没有确定关系,路程可能大于、等于或小于振幅。
[特别提醒] 连续两次通过同一位置不一定完成一次全振动,必须是以相同的速度连续两次通过同一位置。
[学后自检]┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(小试身手)
如图121所示,弹簧振子在B、C间振动,O为平衡位置,
=
=5cm,若振子从B到C的运动时间是1s,则下列说法正确的是( )
图121
A.振子从B经O到C完成一次全振动
B.振动周期是1s,振幅是10cm
C.经过两次全振动,振子通过的路程是20cm
D.从B开始经过3s,振子通过的路程是30cm
解析:
选D 振子从B→O→C仅完成了半次全振动,所以周期T=2×1s=2s,振幅A=BO=5cm,选项A、B错误;振子在一次全振动中通过的路程为4A=20cm,所以两次全振动中通过的路程为40cm,3s的时间为1.5T,所以振子通过的路程为30cm,故C错误,D正确。
简谐运动的图像描述
[自读教材·抓基础]
1.坐标系的建立
以横轴表示做简谐运动的物体运动的时间t,纵轴表示做简谐
运动的物体运动过程中相对平衡位置的位移x。
2.图像的特点
一条正弦(或余弦)曲线,如图122所示。
图122
3.图像意义
表示做简谐运动的物体在任意时刻相对于平衡位置的位移。
[跟随名师·解疑难]
由xt图像可识别哪些物理量?
(1)由图像可以直接读取振幅A和周期T,可以求出频率f。
图123
(2)比较质点任意时刻的位移大小和方向。
图123中,t1时刻质点的位移比t2时刻质点的位移大,t1时刻位移方向为正,t2时刻位移方向为负。
(3)比较质点任意时刻的加速度(回复力)大小和方向。
由于加速度(回复力)大小与位移大小成正比,方向与位移方向相反,所以图123中t1时刻质点的加速度(回复力)比t2时刻质点的加速度(回复力)大,t1时刻加速度方向为负,t2时刻加速度(回复力)方向为正。
(4)比较质点任意时刻的速度大小和方向。
xt图像的斜率表示该时刻的速度,斜率的绝对值为速度的大小,斜率的正负为速度的方向,所以图123中t1时刻质点的速度比t2时刻质点的速度小,t1时刻速度方向为负,t2时刻速度方向也为负。
(5)判断任意时间内质点的位移、加速度(回复力)、速度的变化情况。
图123中t1~t2时间内位移减小时,则靠近平衡位置,加速度(回复力)减小,速度增加;位移增加时,则远离平衡位置,加速度(回复力)增加,速度减小。
[特别提醒]
(1)简谐运动的图像不是振动质点的轨迹。
做简谐运动质点的轨迹是质点(如弹簧振子)往复运动的那一段线段。
(2)位移图像是以x轴上纵坐标的数值表示质点相对平衡位置的位移,以t轴上横坐标的数值表示各个时刻,这样在xt坐标系内,可以找到各个时刻对应质点位移坐标的点,即位移随时间分布的情况——振动图像。
[学后自检]┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(小试身手)
如图124所示为质点的振动图像,下列判断中正确的是( )
图124
A.质点振动周期是8s
B.振幅是±2cm
C.4s末质点的速度为正,加速度为零
D.10s末质点的加速度为正,速度为零
解析:
选A 由题图可知,T=8s,A=2cm,A正确,B错误;4s末质点在平衡位置,速度沿-x方向,加速度为零,C错误;10s末同2s末,质点正处在正方最大位移处,其速度为零,加速度方向为负,D错误。
简谐运动的公式表达
[自读教材·抓基础]
1.简谐运动的公式
x=Asin_ωt=Asin
t。
2.说明
(1)x表示振动质点相对于平衡位置的位移,t表示振动时间。
(2)A表示简谐运动的振幅,T表示简谐运动的周期。
(3)ω叫做简谐运动的角速度,或称为简谐运动的圆频率,表示简谐运动的快慢,ω=
=2πf。
[跟随名师·解疑难]
简谐运动位移表达式的推导与理解
(1)如图125所示,设质点P以原点O为圆心,以简谐运动的振幅A为半径,在圆周上以角速度ω做匀速圆周运动。
图125
当t=0时,它的投影在O点,在任一时刻t,质点到了P′点,它的投影a的位移为x=Asinωt。
(2)如果t=0时质点P的投影不在O点,表达式相应的要写成x=Asin(ωt+φ),其中ωt+φ表示相位,描述质点的振动步调,相位每增加2π,意味着质点又完成了一次全振动。
(3)t=0时的相位,即φ叫做初相位,描述t=0时振动质点的状态。
而x=Asinωt就是初相位等于0的简谐运动,即从振动质点位于平衡位置且具有正向速度时开始计时。
(4)相位差:
即某一时刻两个简谐运动的相位之差,Δφ=(ω2t+φ2)-(ω1t+φ1),如果ω1=ω2,则Δφ=φ2-φ1。
[学后自检]┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(小试身手)
一个做简谐运动的物体,其位移随时间的变化规律为x=5sin(5πt)cm,由此可知,该物体的振幅为________,周期为________,t=0时刻它的位移是________,运动方向为________。
解析:
由x=5sin(5πt)cm可知振幅A=5cm,圆频率ω=5πrad/s,所以周期T=
=0.4s;当t=0时,位移x=0,其运动方向由平衡位置向最大位移处运动,方向为正方向。
答案:
5cm 0.4s 0 正方向
对xt图像的考查
[典题例析]
1.如图126所示是某质点做简谐运动的振动图像,根据图像中的信息,回答下列问题。
(1)振幅、周期各是多大?
图126
(2)在1.5s和2.5s两个时刻,质点向哪个方向运动?
(3)质点在第2s末的位移是多少?
在前4s内的路程是多少?
(4)写出这个简谐运动的位移随时间变化的关系式。
[思路点拨] 在分析此类问题时,要理解好图像与振动物体的实际振动过程的对应。
解析:
由题图上的信息,结合质点的振动过程可以得出:
(1)质点离开平衡位置的最大位移x=10cm,所以振幅A=10cm;质点完成一次全振动的时间为4s,则周期T=4s。
(2)在1.5s以后的时间质点位移减少,因此是向平衡位置运动,在2.5s以后的时间位移增大,因此是背离平衡位置运动。
(3)质点在2s时在平衡位置,因此位移为零。
质点在前4s内完成一个周期性运动,其路程10cm×4=40cm。
(4)因为A=10cm,T=4s,ω=
=
,φ0=0,所以简谐运动的表达式x=10sin
tcm。
答案:
(1)10cm 4s
(2)负方向 负方向
(3)0 40cm
(4)x=10sin
tcm
[探规寻律]
根据物体简谐运动的实际运动情况,画出振动图像时要注意三点:
起点、振幅和周期。
简谐运动的周期性,体现在振动图像上是曲线的重复性;其中起点(即初相)很重要,不仅要注意起点的位移,还要注意到该时刻振子的振动方向。
[跟踪演练]
一质点做简谐运动,其位移x与时间t的关系图线如图127所示,由图可知( )
图127
A.质点振动频率是4Hz
B.t=2s时,质点的加速度最大
C.质点的振幅为4cm
D.t=3s时,质点所受的合外力最大
解析:
选B 由图可知质点的振幅为2cm,质点振动的周期是4s,频率是0.25Hz,A、C错误;t=2s时,质点离开平衡位置的距离最大,质点的位移最大,回复力最大,加速度最大,B正确;t=3s时,质点的位移为零,所受的回复力为零,合外力不能确定,D错误。
简谐运动中位移与路程的计算
[典题例析]
2.一弹簧振子的振幅是2cm,振子完成一次全振动通过的路程是多少?
如果频率是5Hz,振子每秒钟通过的路程是多少?
解析:
振子完成一次全振动通过4个振幅,所以一次全振动的路程为s=4A=4×2cm=8cm
如果频率为5Hz,则振子1s内完成全振动的次数n=5
所以振子1s内通过的路程
s总=n·4A=5×4×2cm=40cm
答案:
8cm 40cm
[探规寻律]
求振动物体在一段时间内通过路程的依据是:
(1)振动物体在一个周期内的路程一定为4倍振幅,则在n个周期内路程必为n·4A;
(2)振动物体在半个周期内的路程一定为2倍振幅;
(3)振动物体在T/4内的路程可能等于一个振幅,可能小于一个振幅,还可能大于一个振幅。
只有当T/4的初始时刻振动物体在平衡位置或最大位移处时,T/4内的路程才等于一个振幅。
[跟踪演练]
一物体做简谐运动,下列说法正确的是( )
A.物体完成一次全振动,通过的位移是4个振幅
B.物体在
周期内,通过的路程是1个振幅
C.物体在1个周期内,通过的路程是4个振幅
D.物体在
周期内,通过的路程是3个振幅
解析:
选C 由于物体在振动中速度大小时刻变化,所以路程并不和时间成正比,例如:
从平衡位置与最大位移处中间的某点开始向最大位移处运动时,经
周期的时间物体运动的路程小于1个振幅,选项B、D错误。
物体完成一次全振动还回到原位置,所以通过的位移为零(注意与物体所在位置的位移不同),选项A错误。
物体在一个周期内完成一次全振动,所以通过的路程为4个振幅,选项C正确。
[课堂双基落实]
1.如图128所示,弹簧振子以O为平衡位置在BC间做简谐运动,则( )
图128
A.从B→O→C为一次全振动
B.从O→B→O→C为一次全振动
C.从C→O→B→O→C为一次全振动
D.从D→C→O→B→O为一次全振动
解析:
选C 从全振动的意义上解答本题。
即物体完成一次全振动时,一定回到了初始位置,且以相同的速度回到初始位置,可判断选项A、B、D所对应的过程尚未回到初始位置,不是全振动。
只有选项C正确。
2.下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法正确的是( )
A.振幅是矢量,方向从平衡位置指向最大位移处
B.周期和频率的乘积是一个常数
C.振幅增加,周期必然增加,而频率减小
D.做简谐运动的物体,其频率与振幅有关
解析:
选B 振幅A是标量,选项A错误;周期与频率互为倒数,即Tf=1,选项B正确;简谐运动的周期与振幅没有关系,这个周期的长短由系统本身决定,这就是固有周期,所以选项C、D错误。
3.如图129所示为质点P在0~4s内的运动图像,下列叙述正确的是( )
图129
A.再过1s,该质点的位移是正的最大
B.再过1s,该质点的速度沿正方向
C.再过1s,该质点的加速度沿正方向
D.再过1s,该质点加速度为零
解析:
选A 振动图像描述质点在各个时刻离开平衡位置的位移的情况。
依题意,再经过1s,振动图像将延伸到x正方向最大处,这时质点的位移为正的最大,故A对;因为回复力与位移成正比且方向与位移方向相反,所以此时回复力最大且方向为负向,故质点的加速度最大且方向为负向。
此时质点的速度为零,无方向可谈,故B、C、D错误。
4.一个质点经过平衡位置O,在A、B间做简谐运动,如图1210(a)所示,它的振动图像如图(b)所示,设向右为正方向,则OB=________cm,第0.2s末质点的速度方向为________,加速度大小为________;第0.4s末质点加速度方向为________;第0.7s时,质点位置在________区间,质点从O运动到B再到A需时间t=________s,在4s内完成________次全振动。
图1210
解析:
由图像知A=5cm,T=0.8s,所以OB=5cm。
t=0.2s时在平衡位置向A运动,加速度为零;t=0.4s时在负最大位移处,加速度为正;t=0.7s时,位移为正,在OB间向B运动,质点从O→B→A用时
,即0.6s,4s内完成5次全振动。
答案:
5 负方向 0 正方向 OB 0.6 5
[课下综合检测]
(时间:
30分钟 满分:
50分)
一、选择题(共6小题,每小题5分,共30分,每小题只有一个选项正确。
)
1.若做简谐运动的弹簧振子从平衡位置到最大位移处所需最短时间是0.1s,则( )
A.振动周期是0.2s B.振动周期是0.1s
C.振动频率是0.4HzD.振动频率是2.5Hz
解析:
选D 从平衡位置到最大位移处的最短时间恰好是四分之一周期,所以周期为0.4s,频率f=
=2.5Hz,D正确。
2.有一个在光滑水平面内的弹簧振子,第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动,第二次把弹簧压缩2x后释放让它振动,则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为( )
A.1∶1 1∶1B.1∶1 1∶2
C.1∶4 1∶4D.1∶2 1∶2
解析:
选B 弹簧的压缩量即为振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离,即振幅,故振幅之比为1∶2;而对同一振动系统,其周期与振幅无关,则周期之比为1∶1。
3.(北京高考)一个弹簧振子沿x轴做简谐运动,取平衡位置O为x轴坐标原点。
从某时刻开始计时,经过四分之一周期,振子具有沿x轴正方向的最大加速度。
能正确反映振子位移x与时间t关系的图像是图1中的( )
图1
解析:
选A 由简谐运动中加速度与位移的关系a=-
x可知,在T/4时刻,加速度正向最大,则位移负向最大,故选项A正确。
4.如图2所示为某质点做简谐运动的图像,若t=0时,质点正经过O点向b点运动,则下列说法正确的是( )
图2
A.质点在0.7s时,正在背离平衡位置运动
B.质点在1.5s时的位移最大
C.1.2~1.4s时间内,质点的位移在减小
D.1.6~1.8s时间内,质点的位移在增大
解析:
选B 由于位移是由平衡位置指向质点所在位置的有向线段,故质点在0.7s时的位移方向向右,且正在向平衡位置运动,选项A错误;质点在1.5s时的位移达到最大,选项B正确;1.2~1.4s时间内,质点正在背离平衡位置运动,所以其位移在增大,选项C错误;1.6~1.8s时间内,质点正在向平衡位置运动,所以其位移在减小,选项D错误。
5.(浙江高考)一位游客在千岛湖边欲乘坐游船,当日风浪较大,游船上下浮动。
可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动,振幅为20cm,周期为3.0s。
当船上升到最高点时,甲板刚好与码头地面平齐。
地面与甲板的高度差不超过10cm时,游客能舒服地登船。
在一个周期内,游客能舒服登船的时间是( )
A.0.5sB.0.75s
C.1.0sD.1.5s
解析:
选C 由于振幅A为20cm,振动方程为y=Asinωt(从游船位于平衡位置时开始计时,ω=
),由于高度差不超过10cm时,游客能舒服登船,代入数据可知,在一个振动周期内,临界时刻为t1=
,t2=
,所以在一个周期内能舒服登船的时间为Δt=t2-t1=
=1.0s,选项C正确。
6.一质点做简谐运动,其运动图像如图3所示。
那么在
-Δt和
+Δt两个时刻,质点的( )
图3
A.速度相同
B.加速度相同
C.相对平衡位置的位移相同
D.回复力相同
解析:
选A 由图像知,
时刻质点在平衡位置,根据简谐运动的对称性,在
-Δt和
+Δt两时刻,质点必处在关于平衡位置对称的两位置。
所以,在这两时刻质点的位移、回复力、加速度必定大小相等,方向相反。
速度、动能大小必定相等。
从题图中不难看出,
-Δt和
+Δt两时刻,质点速度的方向相同。
选项A正确。
二、非选择题(共2小题,共20分)
7.(10分)如图4是弹簧振子的振动图像,试回答下列问题:
图4
(1)振动的振幅、周期、频率各是多少?
(2)如果从O点算起,到图线上哪一点为止,振子完成了一次全振动?
从A点算起呢?
(3)从零到1.6s时间内,哪些点的动能最大?
哪些点的势能最大?
解析:
(1)由图像可知振动的振幅A=2cm,周期T=0.8s,由此可得频率f=
=1.25Hz。
(2)由图像可知图中的O、D、H三点即在0、0.8s、1.6s三个时刻,振动质点的运动状态相同,图中A、E两点,即在0.2s、1.0s两个时刻,振动质点的运动状态相同。
所以,如果从O点算起,到图像上的D点,如果从A点算起,到图像上的E点,均为振子的一次全振动。
(3)从0~1.6s内,在0、0.4s、0.8s、1.2s、1.6s各时刻,即对应图中的O、B、D、F、H各点,振子处在平衡位置,此时速度最大,动能最大,势能最小,而在0.2s、0.6s、1.0s、1.4s各时刻,即对应图中的A、C、E、G各点,振子均处在最大位移处,此时速度为零,动能为零,势能最大。
答案:
(1)2cm 0.8s 1.25Hz
(2)D点 E点
(3)O、B、D、F、H A、C、E、G
8.(10分)有一弹簧振子在水平方向上的BC之间做简谐运动,已知BC间的距离为20cm,振子在2s内完成了10次全振动。
若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t=0),经过
周期振子有正向最大加速度。
图5
(1)求振子的振幅和周期;
(2)在图5中做出该振子的位移—时间图像;
(3)写出该简谐运动的表达式。
解析:
(1)由题设所给的已知条件可知,弹簧振子的振幅为10cm,周期T=
=0.2s
则ω=
=10πrad/s
(2)由振子从平衡位置时开始计时,经
振子具有正向最大加速度可知,
时振子在负的最大位移处,即t=
时,x=-10cm,则其位移—时间图像如图所示。
(3)由公式x=Asin(ωt+φ0)得φ0=π,所以简谐运动表达式为x=0.1sin(10πt+π)m(或x=-0.1sin10πtm)。
答案:
(1)10cm 0.2s
(2)图像见解析
(3)x=0.1sin(10πt+π)m[或x=-0.1sin(10πt)m]