（8）设x，y满足则z＝x2－10x＋y2＋25的最小值为（B）
（A）12（B）13（C）16（D）26
【解析】由题意作出不等式组表示的平面区域，z＝x2－10x＋y2＋25＝＋y2表示点（5，0）到可行域内的点的距离的平方，由图形分析可知所求最小值为点（5，0）到直线3x－2y－2＝0的距离的平方为13.
（9）如图，在四棱锥C－ABOD中，CO⊥平面ABOD，AB∥OD，OB⊥OD，且AB＝2OD＝12，AD＝6，异面直线CD与AB所成角为30°，点O，B，C，D都在同一个球面上，则该球的表面积为（B）
（A）72π（B）84π（C）128π（D）168π
【解析】因AB∥OD，∴∠CDO就是异面直线CD与AB所成角为30°，而OD＝6，CO⊥平面ABOD，故CO＝ODtan30°＝2，在直角梯形ABOD中，可求OB＝6，以OB、OC、OD为相邻三条棱补成一个长方体，则该长方体的外接球半径即为所求球的半径＝＝，则该球的表面积为84π.
（10）已知双曲线C：
－＝1的左、右焦点分别是F1、F2，正三角形AF1F2的一边AF1与双曲线左支交于点B，且＝4，则双曲线C的离心率为（D）
（A）＋1（B）
（C）＋1（D）
【解析】由题意，F1（－c，0），A（0，c），设B（x，y），则∵＝4，∴（－c，－c）＝4（－c－x，－y），∴x＝－c，y＝，代入双曲线方程可得－＝1，∴9e4－28e2＋16＝0，∴e＝.故选D.
（11）已知函数y＝f（x）的周期为2，当x∈[－1，1]时f（x）＝x2，那么函数y＝f（x）的图象与函数y＝|lgx|的图象的交点共有（A）
（A）10个（B）9个（C）8个（D）1个
【解析】作出两个函数的图象如下，∵函数y＝f（x）的周期为2，在[－1，0]上为减函数，在[0，1]上为增函数，∴函数y＝f（x）在区间[0，10]上有5次周期性变化，在[0，1]、[2，3]、[4，5]、[6，7]、[8，9]上为增函数，在[1，2]、[3，4]、[5，6]、[7，8]、[9，10]上为减函数，且函数在每个单调区间的取值都为[0，1]，再看函数y＝|lgx|，在区间（0，1]上为减函数，在区间[1，＋∞）上为增函数，且当x＝1时y＝0;x＝10时y＝1，再结合两个函数的草图，可得两图象的交点一共有10个，故选：
A.
（12）已知函数f＝的图象与函数y＝g的图象关于y轴对称，若函数y＝f与函数y＝g在区间上同时单调递增或同时单调递减，则实数m的取值范围是（B）
（A）∪[4，＋∞）（B）
（C）（D）
【解析】函数y＝g＝|2－x－m|＝，当两个函数在区间上同时单调递增时，必有在区间上f＝2x－m，g＝m－，且，解得≤m≤2；
当两个函数在区间上同时单调递减时，必有在区间上f＝m－2x，
g＝－m，且，此时m无解，综上所述，≤m≤2.
参考答案
选择题答题卡
题 号
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
答 案
C
A
D
C
D
D
A
B
B
D
A
B
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）～（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）～（23）题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分．
（13）为了解高中生用电脑输入汉字的水平，随机抽取了部分学生进行每分钟输入汉字个数测试，右图是根据抽样测试后的数据绘制的频率分布直方图，其中每分钟输入汉字个数的范围是[50，150]，样本数据分组为[50，70），[70，90），[90，110），[110，130），[130，150]．已知样本中每分钟输入汉字个数小于90的人数是36，则样本中每分钟输入汉字个数不小于70个且小于130个的人数是__90__．
【解析】设在[50，70）内的频数为k，由频率分布直方图可知，在[70，90）内的频数为2k.由3k＝36，得k＝12.因为在[90，110）内的频数为3k；在[110，130）内的频数为k，则5k＋k＝60＋30＝90.
（14）若直线l1：
y＝－x关于直线l的对称直线为l2：
x＋y－2＝0，则直线l的方程为__x＋y－1＝0__．
（15）已知梯形ABCD中，AD∥CB，AB＝CD＝2，BC＝1，∠BAD＝，点E在边BC上运动，则·取值范围是__[3，6]__．
【解析】方法一：
坐标法；
方法二：
·是在上的投影与||的乘积．
（16）已知直线y＝mx与函数f（x）＝的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m的取值范围为__（－∞，－）__．
【解析】做出f（x）的图象，可知m≥0时，直线y＝mx与f（x）只有一个交点，不符题意；当m<0时y＝mx与y＝－2，x<0有一个交点，故y＝mx与y＝－x2－1，x≥0必有两个交点，即方程－x2－1＝mx（x>0）必有两不等正实根，即方程x2＋2mx＋2＝0必有，解得m<－.
三、解答题：
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
某年级教师年龄数据如下表：
年龄（岁）
人数（人）
22
1
28
2
29
3
30
5
31
4
32
3
40
2
合计
20
（Ⅰ）求这20名教师年龄的众数与极差；
（Ⅱ）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名教师年龄的茎叶图；
（Ⅲ）现在要在年龄为29岁和31岁的教师中选2位教师参加学校有关会议，求所选的2位教师年龄不全相同的概率．
【解析】（Ⅰ）年龄为30岁的教师人数为5，频率最高，故这20名教师年龄的众数为30，极差为最大值与最小值的差，即40－22＝18.3分
（Ⅱ）
7分
（Ⅲ）设事件“所选的2位教师年龄不全相同”为事件A.年龄为29，31岁的教师共有7名，从其中任选2名教师共有＝21种选法，3名年龄为29岁的教师中任选2名有3种选法，4名年龄为31岁的教师中任选2名有6种选法，所以所选的2位教师年龄不全相同的选法共有21－9＝12种，所以P（A）＝＝.12分
（18）（本小题满分12分）
在几何体ABCDE中，∠BAC＝，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC,AB＝AC＝2，且AE与平面ABC所成角为，CD＝1.
（Ⅰ）设平面ABE与平面ACD的交线为直线l，
求证：
l∥平面BCDE；
（Ⅱ）设F是BC上的点，且DF⊥EF，求证：
平面AFD⊥平面AFE；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求三棱锥E－FDA的体积．
【解析】（Ⅰ）∵DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，
∴DC∥EB，又∵DC⊄平面ABE，EB⊂平面ABE，
∴DC∥平面ABE，
l＝平面ABE∩平面ACD，则DC∥l，
又l⊄平面BCDE，CD⊂平面BCDE，
所以l∥平面BCDE.5分
（Ⅱ）设CF＝x，在△DEF中，因为FD⊥FE，所以DF2＋EF2＝DE2，
即：
1＋x2＋（2－x）2＋22＝
（2）2＋1得x＝，所以F为BC的中点．
由DC⊥平面ABC，AF⊂平面ABC，∴DC⊥AF，
又∵AB＝AC，F是BC的中点，∴AF⊥BC，
又∵DC∩BC＝C，DC⊂平面BCDE，BC⊂平面BCDE，
∴AF⊥平面BCDE，∴AF⊥FD，又∵AF∩FE＝F，∴FD⊥平面AFE，
又FD⊂平面AFD，故平面AFD⊥平面AFE.9分
（Ⅲ）VE－FDA＝VA－EFD＝·S△EFD·AF＝××××＝1.12分
（19）（本小题满分12分）
f（x）对任意x∈R都有f（x）＋f（1－x）＝.
（Ⅰ）求f和f＋f的值；
（Ⅱ）数列{an}满足：
an＝f（0）＋f＋…＋f＋f
（1），数列{an}是等差数列吗？
请给予证明；
（Ⅲ）令bn＝，Tn＝b＋b＋…＋b，证明Tn<2.
【解析】（Ⅰ）因为f＋f＝，所以2f＝，所以f＝.
令x＝，则f＋f＝f＋f＝.2分
（Ⅱ）an＝f（0）＋f＋…f＋f
（1），
又an＝f
（1）＋f＋…f＋f（0），
两式相加2an＝[f（0）＋f
（1）]＋＋[f（0）＋f
（1）]＝，
所以an＝，所以an＋1－an＝，故数列{an}是等差数列.8分
（Ⅲ）bn＝＝，
Tn＝b＋b＋…＋b＝＋＋…＋≤1＋＋＋…＋
＝1＋1－＋－＋…＋－＝2－<2.12分
（20）（本小题满分12分）
已知椭圆C：
＋＝1（a＞b＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设F1、F2是椭圆C的左右焦点，若椭圆C的一个内接平行四边形的一组对边过点F1和F2，求这个平行四边形面积的最大值．
（20）【解析】（Ⅰ）∵椭圆C：
＋＝1（a＞b＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为，
∴依题意解得a＝2，b＝，c＝1，
∴椭圆C的方程为：
＋＝1.4分
（Ⅱ）设过椭圆右焦点F2的直线l：
x＝ty＋1与椭圆交于A，B两点，
则整理，得：
（3t2＋4）y2＋6ty－9＝0，
由韦达定理，得：
y1＋y2＝，y1y2＝，6分
∴|y1－y2|＝＝＝，
∴S△OAB＝S△OF2A＋S△OF2B＝×|OF2|×|y1－y2|＝，
椭圆C的内接平行四边形面积为S＝4S△OAB＝，10分
令m＝≥1，则S＝f（m）＝，
注意到S＝f（m）在[1，＋∞）上单调递减，∴Smax＝f
（1）＝6，
当且仅当m＝1，即t＝0时等号成立．
故这个平行四边形面积的最大值为6.12分
（21）（本小题满分12分）
已知f（x）＝xlnx，g（x）＝－x2＋ax－3.
（Ⅰ）求函数f（x）在[t，t＋2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅱ）对一切x∈（0，＋∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）证明：
对一切x∈（0，＋∞），都有lnx＞－成立．
【解析】（Ⅰ）f（x）＝xlnx，∴f′（x）＝lnx＋1
当x∈，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈，f′（x）＞0，f（x）单调递增.2分
①0＜t＜时，f（x）min＝f＝－；
②≤t时，f（x）在[t，t＋2]上单调递增，f（x）min＝f（t）＝tlnt;
∴f（x）min＝4分
（Ⅱ）2f（x）≥g（x）恒成立，
∴a≤x＋＋2lnx恒成立，
令h（x）＝x＋2lnx＋，
则h′（x）＝1＋－＝，6分
由h′（x）＝0，得x1＝－3，x2＝1，
x∈（0，1）时，h′（x）＜0；
x∈（1，＋∞）时，h′（x）＞0.
∴x＝1时，h（x）min＝1＋0＋3＝4.
∴a≤4.
∴实数a的取值范围是（－∞，4].8分
（Ⅲ）对一切x∈（0，＋∞），都有lnx＞－成立，
∴xlnx＞－，∴f（x）＞－，
由（Ⅰ）可知f（x）＝xlnx（x∈（0，＋∞））的最小值是－，当且仅当x＝时取到.10分
设m（x）＝－，（x∈（0，＋∞）），则m′（x）＝，
∵x∈（0，1）时，m′（x）＞0，
x∈（1，＋∞）时，m′（x）＜0，
∴m（x）max＝m
（1）＝－，
从而对一切x∈（0，＋∞），lnx＞－成立.12分
【点评】考查了利用导函数判断函数的单调性，利用导数求函数的最值，根据单调性对参数的分类讨论求函数的最值．分类讨论思想的应用．
请考生在第（22）～（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
做答时请写清题号。
（22）（本小题满分10分）选修4－4：
极坐标与参数方程
已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t是参数）．
（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|＝，求直线的倾斜角α的值．
【解析】（Ⅰ）∵ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2＋y2，
∴曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ可化为：
ρ2＝4ρcosθ，
∴x2＋y2＝4x，∴（x－2）2＋y2＝4.5分
（Ⅱ）将代入圆的方程（x－2）2＋y2＝4得：
（tcosα－1）2＋（tsinα）2＝4，
化简得t2－2tcosα－3＝0.8分
设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，
则
∴|AB|＝|t1－t2|＝＝，
∵|AB|＝，∴＝.
∴cosα＝±.
∵α∈[0，π），∴α＝或α＝π.
∴直线的倾斜角为α＝或α＝π.10分
（23）（本小题满分10分）选修4－5：
不等式选讲
已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1.
（Ⅰ）若ab≤m恒成立，求m的取值范围；
（Ⅱ）若＋≥|2x－1|－|x＋2|恒成立，求x的取值范围．
【解析】（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且a＋b＝1，
∴ab≤＝，当且仅当a＝b＝时“＝”成立，
由ab≤m恒成立，故m≥；5分
（Ⅱ）∵a，b∈（0，＋∞），a＋b＝1，
∴＋＝（a＋b）＝5＋＋≥9，
故＋≥|2x－1|－|x＋2|恒成立，
则|2x－1|－|x＋2|≤9，8分
当x≤－2时，不等式化为1－2x＋x＋2≤9，解得－6≤x≤－2，
当－2＜x＜，不等式化为1－2x－x－2≤9，解得－2＜x＜，
当x≥时，不等式化为2x－1－x－2≤9，解得≤x≤12，
综上所述x的取值范围为[－6，12].10分
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