高中物理选修33同步第八章1 气体的等温变化.docx

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高中物理选修33同步第八章1气体的等温变化

1　气体的等温变化

[学习目标]　1.知道玻意耳定律的内容、表达式及适用条件.2.能运用玻意耳定律对有关问题进行分析、计算.3.了解p－V图象、p－

图象的物理意义．

一、探究气体等温变化的规律

1．气体的三个状态参量：

压强p、体积V、温度T.

2．等温变化：

一定质量的某种气体，在温度不变的条件下其压强与体积的变化关系．

3．实验探究

（1）实验器材：

铁架台、注射器、气压计、刻度尺等．

（2）研究对象（系统）：

注射器内被封闭的空气柱．

（3）实验方法：

控制气体温度和质量不变，研究气体压强与体积的关系．

（4）数据收集：

压强由气压计读出，空气柱长度由刻度尺读出，空气柱长度与横截面积的乘积即为体积．

（5）数据处理：

以压强p为纵坐标，以体积的倒数为横坐标作出p－

图象，图象结果：

p－

图象是一条过原点的直线．

（6）实验结论：

压强跟体积的倒数成正比，即压强与体积成反比．

二、玻意耳定律

1．内容

一定质量的某种气体，在温度不变的情况下，压强p与体积V成反比．

2．公式

pV＝C或p1V1＝p2V2.

3．条件

气体的质量一定，温度不变．

4．气体等温变化的p－V图象

气体的压强p随体积V的变化关系如图1所示，图线的形状为双曲线，它描述的是温度不变时的p－V关系，称为等温线．一定质量的气体，不同温度下的等温线是不同的．

图1

[即学即用]

1．判断下列说法的正误．

（1）在探究气体等温变化的规律时采用控制变量法．（　√　）

（2）一定质量的气体，在温度不变时，压强跟体积成反比．（　√　）

（3）公式pV＝C中的C是常量，指当p、V变化时C的值不变．（　√　）

（4）一定质量的某种气体等温变化的p－V图象是通过原点的倾斜直线．（　×　）

2．一定质量的某种气体发生等温变化时，若体积增大了n倍，则压强变为原来的______倍．

答案　

一、封闭气体压强的计算

[导学探究]　

（1）如图2所示，C、D液面水平且等高，液体密度为ρ，重力加速度为g，其他条件已标于图上，试求封闭气体A的压强．

图2

（2）在图3中，汽缸置于水平地面上，汽缸横截面积为S，活塞质量为m，设大气压强为p0，重力加速度为g，试求封闭气体的压强．

图3

答案　

（1）同一水平液面C、D处压强相同，可得pA＝p0＋ρgh.

（2）以活塞为研究对象，受力分析如图，由平衡条件得mg＋p0S＝pS

则p＝p0＋

.

[知识深化]　封闭气体压强的求解方法

1．容器静止或匀速运动时封闭气体压强的计算

（1）取等压面法：

同种液体在同一深度向各个方向的压强相等，在连通器中，灵活选取等压面，利用同一液面压强相等求解气体压强．如图4甲所示，同一液面C、D两处压强相等，故pA＝p0＋ph；如图乙所示，M、N两处压强相等，从左侧管看有pB＝pA＋ph2，从右侧管看，有pB＝p0＋ph1.

图4

（2）力平衡法

选与封闭气体接触的液体（或活塞、汽缸）为研究对象进行受力分析，由平衡条件列式求气体压强．

2．容器加速运动时封闭气体压强的计算

当容器加速运动时，通常选与气体相关联的液柱、汽缸或活塞为研究对象，并对其进行受力分析，然后由牛顿第二定律列方程，求出封闭气体的压强．

如图5所示，当竖直放置的玻璃管向上加速运动时，对液柱受力分析有：

图5

pS－p0S－mg＝ma得p＝p0＋

.

例1　如图6所示，竖直放置的U形管，左端开口，右端封闭，管内有a、b两段水银柱，将A、B两段空气柱封闭在管内．已知水银柱a长h1为10cm，水银柱b两个液面间的高度差h2为5cm，大气压强为75cmHg，求空气柱A、B的压强分别是多少？

图6

答案　65cmHg　60cmHg

解析　设管的横截面积为S，选a的下端面为参考液面，它受向下的压力为（pA＋ph1）S，受向上的大气压力为p0S，由于系统处于静止状态，则（pA＋ph1）S＝p0S，

所以pA＝p0－ph1＝（75－10）cmHg＝65cmHg，

再选b的左下端面为参考液面，由连通器原理知：

液柱h2的上表面处的压强等于pB，则（pB＋ph2）S＝pAS，所以pB＝pA－ph2＝（65－5）cmHg＝60cmHg.

1．在考虑与气体接触的液柱所产生的附加压强p＝ρgh时，应特别注意h是表示液柱竖直高度，不一定是液柱长度．

2．特别注意大气压强的作用，不要漏掉大气压强．

二、玻意耳定律的理解及应用

[导学探究]　

（1）玻意耳定律成立的条件是什么？

（2）用p1V1＝p2V2解题时各物理量的单位必须是国际单位制中的单位吗？

（3）玻意耳定律的表达式pV＝C中的C是一个与气体无关的常量吗？

答案　

（1）一定质量的气体，且温度不变．

（2）不必．只要同一物理量使用同一单位即可．

（3）pV＝C中的常量C不是一个普适恒量，它与气体的种类、质量、温度有关，对一定质量的气体，温度越高，该常量越大．

[知识深化]　常量的意义

p1V1＝p2V2＝C，该常量C与气体的种类、质量、温度有关，对一定质量的气体，温度越高，该常量C越大．

特别提醒　应用玻意耳定律解题时应注意的两个问题

（1）应用玻意耳定律解决问题时，一定要先确定好两个状态的体积和压强．

（2）确定气体压强或体积时，只要初、末状态的单位统一即可，没有必要都化成国际单位制．

例2　一U形玻璃管竖直放置，左端开口，右端封闭，左端上部有一光滑的轻活塞．初始时，管内汞柱及空气柱长度如图7所示．用力向下缓慢推活塞，直至管内两边汞柱高度相等时为止．求此时右侧管内气体的压强和活塞向下移动的距离．已知玻璃管的横截面积处处相同；在活塞向下移动的过程中，没有发生气体泄漏；大气压强p0＝75.0cmHg，环境温度不变．（结果保留三位有效数字）

图7

答案　144cmHg　9.42cm

解析　设初始时，右管中空气柱的压强为p1，长度为l1；左管中空气柱的压强为p2＝p0，长度为l2.活塞被下推h后，右管中空气柱的压强为p1′，长度为l1′；左管中空气柱的压强为p2′，长度为l2′.以cmHg为压强单位．由题给条件得

p1＝p0＋（20.0－5.00）cmHg＝90cmHg，l1＝20.0cm①

l1′＝（20.0－

）cm＝12.5cm②

由玻意耳定律得

p1l1S＝p1′l1′S③

联立①②③式和题给条件得

p1′＝144cmHg④

依题意

p2′＝p1′⑤

l2′＝4.00cm＋

cm－h＝11.5cm－h⑥

由玻意耳定律得

p2l2S＝p2′l2′S⑦

联立④⑤⑥⑦式和题给条件得

h≈9.42cm.

例3　如图8所示，一开口向上的汽缸固定在水平地面上，质量均为m、横截面积均为S且厚度不计的活塞A、B将缸内气体分成Ⅰ、Ⅱ两部分．在活塞A的上方放置一质量为2m的物块，整个装置处于平衡状态，此时Ⅰ、Ⅱ两部分气体的长度均为l0.已知大气压强与活塞质量的关系为p0＝

，活塞移动过程中无气体泄漏且温度始终保持不变，不计一切摩擦，汽缸足够高．现将活塞A上面的物块取走，试求重新达到平衡状态后，A活塞上升的高度．

图8

答案　0.9l0

解析　对Ⅰ部分气体，其初态压强p1＝p0＋

，末态压强为p1′＝p0＋

设末态时Ⅰ部分气体的长度为l1，则由玻意耳定律可得p1l0S＝p1′l1S

解得l1＝

l0

对Ⅱ部分气体，其初态压强为p2＝p1＋

＝p0＋

，末态压强为p2′＝p1′＋

＝p0＋

设末态时Ⅱ部分气体的长度为l2，则由玻意耳定律可得p2l0S＝p2′l2S

代入数据解得l2＝

l0

故活塞A上升的高度为Δh＝l1＋l2－2l0＝0.9l0

应用玻意耳定律解题的一般步骤

1．确定研究对象，并判断是否满足玻意耳定律的条件．

2．确定初、末状态及状态参量（p1、V1；p2、V2）．

3．根据玻意耳定律列方程求解．（注意统一单位）

4．注意分析隐含条件，作出必要的判断和说明．

三、气体等温变化的p－V图象或p－

图象

[导学探究]　

（1）如图9甲所示为一定质量的气体在不同温度下的p－V图线，T1和T2哪一个大？

（2）如图乙所示为一定质量的气体在不同温度下的p－

图线，T1和T2哪一个大？

图9

答案　

（1）T1＞T2　

（2）T1＜T2

[知识深化]

1．p－V图象：

一定质量的气体等温变化的p－V图象是双曲线的一支，双曲线上的每一个点均表示气体在该温度下的一个状态．而且同一条等温线上每个点对应的p、V坐标的乘积是相等的．一定质量的气体在不同温度下的等温线是不同的双曲线，且pV乘积越大，温度就越高，图10中T2＞T1.

图10

2．p－

图象：

一定质量气体的等温变化过程，也可以用p－

图象来表示，如图11所示．等温线是过原点的倾斜直线，由于气体的体积不能无穷大，所以原点附近等温线应用虚线表示，该直线的斜率k＝pV，故斜率越大，温度越高，图中T2＞T1.

图11

例4　如图12所示是一定质量的某种气体状态变化的p－V图象，气体由状态A变化到状态B的过程中，气体分子平均速率的变化情况是（　　）

图12

A．一直保持不变

B．一直增大

C．先减小后增大

D．先增大后减小

答案　D

解析　由题图可知，pAVA＝pBVB，所以A、B两状态的温度相等，在同一等温线上．由于离原点越远的等温线温度越高，如图所示，所以从状态A到状态B，气体温度应先升高后降低，分子平均速率先增大后减小．

例5　（多选）如图13所示，D→A→B→C表示一定质量的某种气体状态变化的一个过程，则下列说法正确的是（　　）

图13

A．D→A是一个等温过程

B．A→B是一个等温过程

C．TA＞TB

D．B→C过程中，气体体积增大、压强减小、温度不变

答案　AD

解析　D→A是一个等温过程，A正确；BC是等温线，而A到B温度升高，B、C错误；B→C是一个等温过程，V增大，p减小，D正确．

由玻意耳定律可知，pV＝C（常量），其中C的大小与气体的质量、温度和种类有关，对同种气体质量越大、温度越高，C越大，在p－V图象中，纵坐标的数值与横坐标的数值的乘积越大，在p－

图象中，斜率k也就越大．

1.（压强的计算）求图14中被封闭气体A的压强．其中

（1）、

（2）、（3）图中的玻璃管内都装有水银，（4）图中的小玻璃管浸没在水中．大气压强p0＝76cmHg.（p0＝1.01×105Pa，g＝10m/s2，ρ水＝1×103kg/m3）

图14

答案　

（1）66cmHg　

（2）71cmHg　（3）81cmHg（4）1.13×105Pa

解析　

（1）pA＝p0－ph＝76cmHg－10cmHg＝66cmHg.

（2）pA＝p0－ph＝76cmHg－10sin30°cmHg＝71cmHg.

（3）pB＝p0＋ph2＝76cmHg＋10cmHg＝86cmHg

pA＝pB－ph1＝86cmHg－5cmHg＝81cmHg.

（4）pA＝p0＋ρ水gh＝1.01×105Pa＋1×103×10×1.2Pa＝1.13×105Pa.

2．（玻意耳定律的应用）如图15所示，可沿汽缸壁自由活动的活塞将密封的圆筒形汽缸分隔成A、B两部分，活塞与汽缸顶部有一竖直弹簧相连，当活塞位于汽缸底部时弹簧恰好无形变，开始时B内充有一定质量的气体，A内真空，B部分高度为L1＝0.2m，此时活塞受到的弹簧作用力与活塞重力的大小相等，现将整个装置倒置，达到新的平衡后B部分的高度L2等于多少？

设温度不变．

图15

答案　0.4m

解析　设开始时B中气体的压强为p1，汽缸倒置达到平衡后B中气体的压强为p2，分析活塞受力得

p1S＝kL1＋Mg

p2S＋Mg＝kL2

其中S为汽缸横截面积，M为活塞质量，k为弹簧的劲度系数．由题给条件有

kL1＝Mg

由玻意耳定律有

p1L1S＝p2L2S

联立以上各式得到

L22－L1L2－2L12＝0

解得L2＝2L1＝0.4m.

3．（玻意耳定律的应用）如图16所示，玻璃管粗细均匀（粗细可忽略不计），竖直管两封闭端内气体长度分别为上端30cm、下端27cm，中间水银柱长10cm.在竖直管上水银柱中间位置接一水平玻璃管，右端开口与大气相通，用光滑活塞封闭5cm长水银柱．大气压p0＝75cmHg.

图16

（1）求活塞上不施加外力时两封闭气体的压强各为多少？

（2）现用外力缓慢推活塞恰好将水平管中水银全部推入竖直管中，求这时上下两部分气体的长度各为多少？

答案　

（1）p上＝70cmHg　p下＝80cmHg

（2）L上′＝28cm　L下′＝24cm

解析　

（1）上端封闭气体的压强

p上＝p0－ph＝（75－5）cmHg＝70cmHg

下端封闭气体的压强

p下＝p0＋ph＝（75＋5）cmHg＝80cmHg

（2）设玻璃管横截面积为S，气体发生等温变化，由玻意耳定律得

对上端封闭气体，p上L上S＝p上′L上′S，

对下端封闭气体，p下L下S＝p下′L下′S，

p上′＋15cmHg＝p下′，L上′＋L下′＝52cm

解得L上′＝28cm，L下′＝24cm.

4．（p－V图象或p－

图象）（多选）下图中，p表示压强，V表示体积，T为热力学温度，各图中正确描述一定质量的气体发生等温变化的是（　　）

答案　AB

解析　A图中可以直接看出温度不变；B图说明p∝

，即pV＝常数，是等温过程；C图是双曲线，但横坐标不是体积V，不是等温线；D图的p－V图线不是双曲线，故也不是等温线．

一、选择题

考点一　气体压强的计算

1．一端封闭的玻璃管倒插入水银槽中，管竖直放置时，管内水银面比管外高h（cm），上端空气柱长为L（cm），如图1所示，已知大气压强为HcmHg，下列说法正确的是（　　）

图1

A．此时封闭气体的压强是（L＋h）cmHgB．此时封闭气体的压强是（H－h）cmHg

C．此时封闭气体的压强是（H＋h）cmHgD．此时封闭气体的压强是（H－L）cmHg

答案　B

解析　利用等压面法，选管外水银面为等压面，则封闭气体压强p＋ph＝p0，得p＝p0－ph，即p＝（H－h）cmHg，故B项正确．

2．如图2所示，竖直放置的弯曲管A端开口，B端封闭，密度为ρ的液体将两段空气封闭在管内，管内液面高度差分别为h1、h2和h3，则B端气体的压强为（已知大气压强为p0，重力加速度为g）（　　）

图2

A．p0－ρg（h1＋h2－h3）B．p0－ρg（h1＋h3）

C．p0－ρg（h1＋h3－h2）D．p0－ρg（h1＋h2）

答案　B

解析　需要从管口依次向左分析，中间气室压强比管口低ρgh3，B端气体压强比中间气室低ρgh1，所以B端气体压强为p0－ρgh3－ρgh1，选项B正确．

3．如图3所示，活塞的质量为m，缸套的质量为M，通过弹簧吊在天花板上，汽缸内封住一定质量的气体，缸套和活塞间无摩擦，活塞面积为S，大气压强为p0，重力加速度为g，则封闭气体的压强为（　　）

图3

A．p＝p0＋

B．p＝p0＋

C．p＝p0－

D．p＝

答案　C

解析　以缸套为研究对象，有pS＋Mg＝p0S，所以封闭气体的压强p＝p0－

，故应选C.

考点二　玻意耳定律的理解及应用

4.如图4所示，某种自动洗衣机进水时，与洗衣缸相连的细管中会封闭一定质量的空气，通过压力传感器感知管中的空气压力，从而控制进水量．设温度不变，洗衣缸内水位升高，则细管中被封闭的空气（　　）

图4

A．体积不变，压强变小B．体积变小，压强变大

C．体积不变，压强变大D．体积变小，压强变小

答案　B

解析　由题图可知空气被封闭在细管内，洗衣缸内水位升高时，气体体积减小，根据玻意耳定律，气体压强增大，B选项正确．

5．（多选）一定质量的气体，在温度不变的条件下，将其压强变为原来的2倍，则（　　）

A．气体分子的平均动能增大

B．气体的密度变为原来的2倍

C．气体的体积变为原来的一半

D．气体的分子总数变为原来的2倍

答案　BC

解析　温度是分子平均动能的标志，由于温度T不变，故分子的平均动能不变，

据玻意耳定律得p1V1＝2p1V2，得V2＝

V1

ρ1＝

，ρ2＝

即ρ2＝2ρ1，故B、C正确．

6．一定质量的气体，压强为3atm，保持温度不变，当压强减小了2atm时，体积变化了4L，则该气体原来的体积为（　　）

A.

LB．2L

C.

LD．3L

答案　B

解析　设该气体原来的体积为V1，由玻意耳定律知压强减小时，气体体积增大，即3V1＝（3－2）·（V1＋4），解得V1＝2L.

7．大气压强p0＝1.0×105Pa.某容器的容积为20L，装有压强为20×105Pa的理想气体，如果保持气体温度不变，把容器的开关打开，待气体达到新的平衡时，容器内剩余的气体质量与原来气体的质量之比为（　　）

A．1∶19B．1∶20C．2∶39D．1∶18

答案　B

解析　由p1V1＝p2V2得p1V0＝p0（V0＋V），因V0＝20L，则V＝380L，即容器中剩余20L压强为p0的气体，而同样大气压下气体的总体积为400L，所以剩余气体的质量与原来气体质量之比等于同压下气体的体积之比，即

＝

，B项正确．

考点三　p－V图象和p－

图象

8．（多选）如图5所示，一定质量的气体由状态A变到状态B再变到状态C的过程，A、C两点在同一条双曲线上，则此变化过程中（　　）

图5

A．从A到B的过程温度升高

B．从B到C的过程温度升高

C．从A到C的过程温度先降低再升高

D．A、C两点的温度相等

答案　AD

解析　作出过B点的等温线如图所示，可知TB>TA＝TC，故从A到B的过程温度升高，A项正确；从B到C的过程温度降低，B项错误；从A到C的过程温度先升高后降低，C项错误；A、C两点在同一等温线上，D项正确．

9．（多选）如图6所示，为一定质量的气体在不同温度下的两条p－

图线，由图可知（　　）

图6

A．一定质量的气体在发生等温变化时，其压强与体积成正比

B．一定质量的气体在发生等温变化时，其压强与体积成反比

C．T1>T2

D．T1

答案　BD

解析　这是一定质量的气体在发生等温变化时的p－

图线，由图线过原点可知

＝恒量，即斜率k＝pV为恒量，所以p与V成反比，A错误，B正确；根据p－

图线斜率的物理意义可知C错误，D正确．

二、非选择题

10．（玻意耳定律的相关计算）如图7所示，高为H的导热汽缸竖直固定在水平地面上，汽缸的横截面积为S，重力为G的“⊥”形活塞封闭着一定质量的气体，活塞离缸底高为h，现手持“⊥”形活塞上端，缓慢竖直上提活塞，当活塞上升到汽缸上端口时，求竖直上提的力F的大小．已知大气压强为p0，不考虑活塞与汽缸之间的摩擦及温度的变化，不计活塞及汽缸壁的厚度．

图7

答案　

解析　以密闭气体为研究对象，初状态：

压强p1＝p0＋

，体积V1＝hS，末状态：

压强p2＝p0＋

，体积V2＝HS.由玻意耳定律得p1V1＝p2V2，

hS＝

HS，解得F＝

.

11．（验证玻意耳定律的实验）现用“验证玻意耳定律”的仪器来测量大气压强p.注射器针筒已被固定在竖直方向上，针筒上所标刻度是注射器的容积，最大刻度Vm＝10mL.注射器活塞已装上钩码框架，如图8所示．此外，还有一架托盘天平、若干钩码、一把米尺、一个针孔橡皮帽和少许润滑油．

图8

（1）下面是实验步骤，试填写所缺的②和⑤.

①用米尺测出注射器针筒上全部刻度的长度L.

②________.

③把适量的润滑油抹在注射器的活塞上，将活塞插入外筒中，上下拉动活塞，使活塞与针筒的间隙内均匀地涂上润滑油．

④将活塞插到适当的位置．

⑤________.

⑥在钩码框架两侧挂上钩码，记下挂上的钩码的质量m1.在达到平衡后，记下注射器中空气柱的体积V1.在这个过程中不要用手接触注射器以保证空气柱温度不变．

⑦增加钩码的个数，使钩码的质量增大为m2，达到平衡后，记下空气柱的体积V2.

（2）计算大气压强p的公式是____________________．（用已给的和测得的物理量表示，重力加速度为g）

答案　

（1）②称出活塞和钩码框架的总质量M　⑤将注射器针筒上的小孔用橡皮帽堵住

（2）p＝

（

－M）

解析　

（1）实验步骤：

①用米尺测出注射器针筒上全部刻度的长度L.②称出活塞和钩码框架的总质量M.③把适量的润滑油抹在注射器的活塞上，将活塞插入外筒中，上下拉动活塞，使活塞与针筒的间隙内均匀地涂上润滑油．④将活塞插到适当的位置．⑤将注射器针筒上的小孔用橡皮帽堵住．⑥在钩码框架两侧挂上钩码，记下挂上的钩码的质量m1，在达到平衡后，记下注射器中空气柱的体积V1，在这个过程中不要用手接触注射器以保证空气柱温度不变．⑦增加钩码的个数，使钩码的质量增大为m2，达到平衡后，记下空气柱的体积V2.

（2）活塞的横截面积为：

S＝

①

由力学平衡条件得：

p1＝p＋

g②

p2＝p＋

g③

由玻意耳定律得：

p1V1＝p2V2④

联立解得大气压强

p＝

（

－M）

12．（p－V图象及玻意耳定律的相关计算）

（1）如图9所示是一定质量的某气体状态变化的p－V图象，则下列说法中正确的是________．

图9

A．气体做的是等温变化

B．从A至B气体的压强一直减小

C．从A至B气体的体积一直增大

D．气体的三个状态参量一直都在变

E．A状态的温度一定等于B状态的温度

（2）如图10所示，竖直玻璃管里有一段4cm长的水银柱，水银柱的下面封闭着长60cm的空气柱，玻璃管的横截面积是0.1cm2，在温度不变时，如果再向管里装入27.2g的水银，至平衡时，封闭在水银柱下面的空气柱有多高？

已知大气压p0＝76cmHg，水银的密度ρ＝13.6×103kg/m3，g取9.8m/s2.

图10

答案　

（1）BCD　

（2）48cm

解析　

（1）一定质量的气体的p－V图象的等温线是双曲线的一支，A错误；从AB图线可知气体从A状态变为B状态的过程中，压强p在逐渐减小，体积V在不断增大，B、C正确；该过程中气体的三个状态参量一直都在变化，D正确；A状态pAVA的乘积不一定等于B状态pBVB的乘积，E错误．

（2）管里再装入27.2g水银时，水银柱增加的高度

h＝

＝

＝

m＝0.2m＝20cm

空气柱初状态时的压强

p1＝p0＋ph1＝80cmHg

空气柱末状态时的压强

p2＝p0＋ph2＝（76＋4＋20）cmHg＝100cmHg

由玻意耳定律得

p1L1S＝p2L2S

则L2＝

＝48cm.