高考数学坐标系与参数方程.docx
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高考数学坐标系与参数方程
第十五章 坐标系与参数方程
命题探究
解答过程
（1）曲线C的普通方程为
+y2=1.
当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.
由
解得
或
从而C与l的交点坐标为（3,0）,
.
（2）直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点（3cosθ,sinθ）到l的距离d=
.
当a≥-4时,d的最大值为
.由题设得
=
所以a=8;
当a<-4时,d的最大值为
.由题设得
=
所以a=-16.
综上,a=8或a=-16
考纲解读
考点
内容解读
要求
高考示例
常考题型
预测热度
1.坐标系与极坐标
能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,能通过极坐标和直角坐标的互化研究曲线性质
掌握
2017课标全国Ⅱ,22;
2016课标全国Ⅱ,23;
2015课标Ⅰ,23;2015湖南,12;
2014安徽,4
解答题
★★★
2.参数方程
了解参数方程及参数的意义,能借助于参数方程与普通方程的互化进一步研究曲线的性质
掌握
2017课标全国Ⅲ,22;2017江苏,21C;
2016课标全国Ⅲ,23
2015陕西,23;2014课标Ⅰ,23;
2014北京,3
解答题
★★★
分析解读 坐标系与参数方程是高考数学的选考内容,重点考查直线与圆的极坐标方程,极坐标与直角坐标的互化;直线、圆与椭圆的参数方程以及参数方程与普通方程的互化.本章在高考中以极坐标方程（参数方程）为载体,考查直线与圆、圆锥曲线的位置关系等知识,分值约为10分,属中档题.
五年高考
考点一 坐标系与极坐标
1.（2017北京,11,5分）在极坐标系中,点A在圆ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0上,点P的坐标为（1,0）,则|AP|的最小值为 .
答案 1
2.（2017天津,11,5分）在极坐标系中,直线4ρcos
+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为 .
答案 2
3.（2017课标全国Ⅱ,22,10分）在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4.
（1）M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;
（2）设点A的极坐标为
点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.
解析
（1）设P的极坐标为（ρ,θ）（ρ>0）,M的极坐标为（ρ1,θ）（ρ1>0）.由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=
.
由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程ρ=4cosθ（ρ>0）.
因此C2的直角坐标方程为（x-2）2+y2=4（x≠0）.
（2）设点B的极坐标为（ρB,α）（ρB>0）.由题设知|OA|=2,ρB=4cosα,于是△OAB面积S=
|OA|·ρB·sin∠AOB
=4cosα·
=2
≤2+
.
当α=-
时,S取得最大值2+
.
所以△OAB面积的最大值为2+
.
4.（2016课标全国Ⅱ,23,10分）在直角坐标系xOy中,圆C的方程为（x+6）2+y2=25.
（1）以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;
（2）直线l的参数方程是
（t为参数）,l与C交于A,B两点,|AB|=
求l的斜率.
解析
（1）由x=ρcosθ,y=ρsinθ可得圆C的极坐标方程ρ2+12ρcosθ+11=0.（3分）
（2）在
（1）中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α（ρ∈R）.（4分）
设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcosα+11=0.
于是ρ1+ρ2=-12cosα,ρ1ρ2=11.（6分）
|AB|=|ρ1-ρ2|=
=
.（8分）
由|AB|=
得cos2α=
tanα=±
.（9分）
所以l的斜率为
或-
.（10分）
5.（2015课标Ⅰ,23,10分）选修4—4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,直线C1:
x=-2,圆C2:
（x-1）2+（y-2）2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求C1,C2的极坐标方程;
（2）若直线C3的极坐标方程为θ=
（ρ∈R）,设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.
解析
（1）因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以C1的极坐标方程为ρcosθ=-2,C2的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0.（5分）
（2）将θ=
代入ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0,得ρ2-3
ρ+4=0,解得ρ1=2
ρ2=
.故ρ1-ρ2=
即|MN|=
.
由于C2的半径为1,所以△C2MN的面积为
.（10分）
教师用书专用（6—21）
6.（2014安徽,4,5分）以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是
（t为参数）,圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ,则直线l被圆C截得的弦长为（ ）
A.
B.2
C.
D.2
答案 D
7.（2014江西,11
（2）,5分）（坐标系与参数方程选做题）若以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y=1-x（0≤x≤1）的极坐标方程为（ ）
A.ρ=
0≤θ≤
B.ρ=
0≤θ≤
C.ρ=cosθ+sinθ,0≤θ≤
D.ρ=cosθ+sinθ,0≤θ≤
答案 A
8.（2013安徽,7,5分）在极坐标系中,圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）
A.θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2B.θ=
（ρ∈R）和ρcosθ=2
C.θ=
（ρ∈R）和ρcosθ=1D.θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=1
答案 B
9.（2016北京,11,5分）在极坐标系中,直线ρcosθ-
ρsinθ-1=0与圆ρ=2cosθ交于A,B两点,则|AB|= .
答案 2
10.（2015湖南,12,5分）在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ,则曲线C的直角坐标方程为 .
答案 x2+y2-2y=0
11.（2015广东,14,5分）（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=-2,曲线C2的参数方程为
（t为参数）,则C1与C2交点的直角坐标为 .
答案 （2,-4）
12.（2014湖南,11,5分）在平面直角坐标系中,倾斜角为
的直线l与曲线C:
（α为参数）交于A,B两点,且
|AB|=2,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l的极坐标方程是 .
答案
ρcos
=1
13.（2014重庆,15,5分）已知直线l的参数方程为
（t为参数）,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ-4cosθ=0（ρ≥0,0≤θ<2π）,则直线l与曲线C的公共点的极径ρ= .
答案
14.（2014广东,14,5分）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1和C2交点的直角坐标为 .
答案 （1,1）
15.（2014天津,13,5分）在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A,B两点.若△AOB是等边三角形,则a的值为 .
答案 3
16.（2013北京,9,5分）在极坐标系中,点
到直线ρsinθ=2的距离等于 .
答案 1
17.（2013湖北,16,5分）（选修4—4:
坐标系与参数方程）
在直角坐标系xOy中,椭圆C的参数方程为
（φ为参数,a>b>0）,在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴）中,直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin
=
m（m为非零常数）与ρ=b.若直线l经过椭圆C的焦点,且与圆O相切,则椭圆C的离心率为 .
答案
18.（2013广东,14,5分）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的参数方程为
（t为参数）,C在点（1,1）处的切线为l.以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为 .
答案 ρcosθ+ρsinθ=2
19.（2014辽宁,23,10分）选修4—4:
坐标系与参数方程
将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.
（1）写出C的参数方程;
（2）设直线l:
2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.
解析
（1）设（x1,y1）为圆上的点,在已知变换下变为C上点（x,y）,依题意,得
由
+
=1得x2+
=1,即曲线C的方程为x2+
=1.
故C的参数方程为
（t为参数）.
（2）由
解得
或
不妨设P1（1,0）,P2（0,2）,则线段P1P2的中点坐标为
所求直线斜率为k=
于是所求直线方程为y-1=
化为极坐标方程,并整理得2ρcosθ-4ρsinθ=-3,
即ρ=
.
20.（2013课标全国Ⅰ,23,10分）选修4—4:
坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程为
（t为参数）,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.
（1）把C1的参数方程化为极坐标方程;
（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ<2π）.
解析
（1）将
消去参数t,化为普通方程（x-4）2+（y-5）2=25,
即C1:
x2+y2-8x-10y+16=0.
将
代入x2+y2-8x-10y+16=0得
ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0.
所以C1的极坐标方程为ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0.
（2）C2的普通方程为x2+y2-2y=0.
由
解得
或
所以C1与C2交点的极坐标分别为
.
21.（2013辽宁,23,10分）选修4—4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C1,直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ,ρcos
=2
.
（1）求C1与C2交点的极坐标;
（2）设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为
（t∈R为参数）,求a,b的值.
解析
（1）圆C1的直角坐标方程为x2+（y-2）2=4,
直线C2的直角坐标方程为x+y-4=0.
解
得
所以C1与C2交点的极坐标为
.（6分）
注:
极坐标系下点的表示不唯一.
（2）由
（1）可得,P点与Q点的直角坐标分别为（0,2）,（1,3）.
故直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0.
由参数方程可得y=
x-
+1,所以
解得a=-1,b=2.（10分）
考点二 参数方程
1.（2017江苏,21C,10分）在平面直
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