《高等数学I和II》教学大纲.docx
《《高等数学I和II》教学大纲.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《高等数学I和II》教学大纲.docx（23页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
《高等数学I和II》教学大纲
《高等数学（
）和（
）》教学大纲
课程代号：
081101/081102 学时数：
150～170 学分数：
适用专业：
全院工科各专业
一、本课程的地位,任务和作用
高等数学是人们从事高新技术，知识创新中必不可少的工具，它的内容、思想、方法和语言已广泛渗入自然科学和社会科学，成为现代文化的重要组成部分。
21世纪是信息时代，它不仅给人类生活带来日新月异的变化，也给高等数学课程的教学增添了新的内函。
高等数学是高等工程院校的一门重要的基础课，通过学习使学生受到必要的高等数学教育,使其具有一定的数学素养，为后续课程学习及今后的应用打下良好的数学基础。
二.、本课程的相关课程
后续课程：
大学物理、概率论与数理统计等
三、本课程的基本内容及要求
第一章 函数,极限,连续
教学内容
函数的概念及表示法,函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性,复合函数,反函数,隐函数,基本初等函数的性质及其图形,初等函数,应用问题的函数关系的建立,数列极限与函数极限的定义及性质,函数的左、右极限,无穷小与无穷大的概念,无穷小的性质及其比较,极限的四则运算,极限存在的两个准则,两个重要极限
函数连续的概念,间断点的类型,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质.
教学要求
１．理解函数的概念,掌握表示法.
２．了解函数的有界性,单调性,周期性,奇偶性.
３．理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数,隐函数概念.
４．掌握简单初等函数的性质及其图形.
５．会建立简单应用问题的函数关系式.
６．理解数列极限与函数极限的概念.理解函数的左、右极限概念及极限存在和左、右极限的关系.
７．掌握极限的性质,极限的四则运算法则.
８．掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,基本掌握利用"两个重要极限"求极限方法.
９．理解无穷小与无穷大的概念.掌握无穷小比较方法,会用等价无穷小求极限.
１０．理解函数连续的概念,会判别函数间断点的类型.
１１．了解连续函数的性质,初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质并会利用这些性质.
第二章 一元函数微分学
教学内容
导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义，函数的可导性与连续性之间的关系，平面曲线的切线和法线，基本初等函数的导数，导数和微分的四则运算，复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法，高阶导数的概念，某些简单函数n阶导数，一阶微分形式的不变性，微分在近似计算中的应用，罗尔（Rolle）定理，拉格朗日（Lagrange）中值定理，柯西（Cauchy）中值定理，泰勒（Taylor）展开定理，洛比达（L'Hospital）法则，函数的极值及其求法，函数单调性，函数图形的凹凸性、拐点及渐近线，函数图形的描绘，函数最大值和最小值的及其简单应用，弧微分，曲率半径，方程近似解的二分法和切线法。
教学要求
１．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述简单物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。
２．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数求导公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分，初步了解微分在近似计算中的应用。
３．了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。
４．会求分段函数的导数。
５．会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。
６．理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，初步了解泰勒定理。
７．了解柯西中值定理。
８．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。
９．会利用导数判断函数图形的凹凸性和拐点，会求函数图形的水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。
１０．掌握用洛比达法则求未定式极限的方法。
１１．了解弧微分的概念及其计算公式,了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径.
１２．了解求方程近似解的二分法和切线法。
第三章 一元函数积分学
教学内容
原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公式，定积分的概念和基本性质，定积分中值定理，变上限定积分定义的函数及其导数，牛顿——莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式，不定积分和定积分的换元积分与分部积分方法，有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分，广义积分的概念和计算，定积分的近似计算法，定积分的应用。
教学要求
（１）理解原函数概念，理解不定积分和定积分的概念。
（２）掌握不定积分的基本公式，理解不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元法和分部积分法。
（３）会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分。
（４）理解变上限定积分定义的函数及其求导定理，掌握牛顿——莱布尼茨公式。
（５）了解广义积分的概念并会计算简单广义积分。
（６）了解定积分近似计算法。
（７）掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平面截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等）。
第四章 数学实验一
教学内容
认识Mathematica符号计算系统
（一）
教学要求
了解以下命令,并以实例验证:
（１）expr/.lhsrhs（求函数值）
（２）Expand[expn]（展开多项式）
（３）Collect[p,y]（按多项式幂次排多项式）
（４）Solve[eqns,{
……}]（求方程及方程组的解）
（５）Limit[expr,
]（求极限）
a）Limit[expr,
Direction
1]（求右极限）
b）Limit[expr,
Direction
-1]（求左极限）
（６）D[
（求导数及N阶导数）
（７）Series[
]（函数泰勒展开）
（８）FindMinimum[
]（求极小值）
（９）Plot[
]（画二维图形）
（１０）Mathematica中不定积分,定积分的求法.
笫五章 向量代数和空间解析几何
教学内容
向量的概念，向量的线性运算，向量的数量积和向量积的概念及运算，两向量垂直、平行的条件，两向量的夹角，向量的坐标表达式及其运算，单位向量，方向数与方向余弦，曲面方程和空间曲线方程的概念，平面方程、直线方程，平面与平面、平面与直线、直线与直线的平行、垂直的条件和夹角，点到平面和点到直线的距离，球面,母线平行于坐标轴的柱面,旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程,常用的二次曲面方程及其图形,空间曲线的参数方程和一般方程,空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.
教学要求
１．理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。
２．掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），掌握两个向量垂直、平行的条件。
３．掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。
４．掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。
５．理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。
６．了解空间曲线的参数方程和一般方程。
７．了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。
笫六章 多元函数微分学
教学内容
多元函数的概念，二元函数的几何意义，二元函数极限和连续的概念，有界闭区域多元连续函数的性质，多元函数偏导数和全微分的概念，全微分存在的必要条件和充分条件，全微分在近似计算中的应用，多元复合函数、隐函数的求导法，二阶偏导数，方向导数和梯度的概念及其计算，空间曲线的切线和法平面，曲面的切平面和法线，二元函数的最大值、最小值及其简单应用。
教学要求
１．理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。
２．了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。
３．理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性，了解全微分在近似计算中的应用。
４．理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。
５．掌握多元复合函数偏导数的求法。
６．会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。
７．了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们方程。
８．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。
第七章 多元函数积分学
教学内容
二重积分、三重积分的概念及性质，二重积分与三重积分的计算和应用，两类曲线积分的概念、性质及计算，两类曲线积分的关系，格林（Green）公式，平面曲线积分与路径无关的条件，已知全微分求原函数，两类曲面积分的概念、性质及计算，两类曲面积分的关系，高斯（Gauss）公式，斯托克斯（Stokes）公式，散度、旋度的概念及计算，曲线积分和曲面积分的应用。
教学要求
（１）理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。
（２）掌握二重积分（直角坐标系、极坐标系）的计算方法，会计算三重积分（直角坐标系、柱面坐标、球面坐标）。
（３）理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。
（４）掌握计算两类曲线积分的方法。
（５）掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。
（６）了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。
（７）了解散度与旋度的概念，并会计算。
（８）会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）。
第八章 无穷级数
教学内容
常数项级数的收敛与发散的概念，收敛级数的和的概念，级数的基本性质与收敛的必要条件，几何级数与p级数以及它们的收敛性，正项级数的比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法，交错级数与莱布尼茨定理，任意项级数的绝对收敛与条件收敛，函数项级数的收敛域与和函数的概念，幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域，幂级数的和函数，幂级数在其收敛区间内的基本性质，简单幂级数的和函数的求法，函数可展开为泰勒级数的充分必要条件，
的麦克劳林（Maclaurin）展开式，幂级数在近似计算中的应用，函数的傅里叶级数，狄利克雷（Ｄirichlet）定理，函数在[-π,π]和［－Ｌ，Ｌ］上的傅里叶级数，函数在[0,π]和［０，Ｌ］上的正弦级数和余弦级数。
教学要求
１．理解常数项级数的收敛、发散以及收敛级数的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。
２．掌握几何级数与Ｐ级数的收敛与发散的条件。
３．掌握正项级数的比较审敛法和比值审敛法，会用根值审敛法。
４．掌握交错级数的莱布尼茨定理。
５．理解任意项级数的绝对收敛与条件收敛的概念，了解绝对收敛与条件收敛的关系。
６．了解函数项级数收敛域与和函数的概念。
７．掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛区域的求法。
８．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在其收敛区间内的和函数，并会由此求某些数项级数的和。
９．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
１０．掌握
的麦克劳林展开式，并会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。
１１．了解幂级数在近似计算上的简单应用。
１２．了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-π,π]和［－Ｌ，Ｌ］上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0,π]和［０，Ｌ］上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。
第九章 常微分方程
教学内容
常微分方程的概念，微分方程的解、阶、通解、初始条件和特解，变量可分离的方程,齐次方程，一阶线性方程，伯努利（Benoulli）方程，全微分方程,可用简单的变量代换求解的某些微分方程，可降阶的高阶微分方程，线性微分方程解的性质及解的结构定理，二阶常系数齐次线性微分方程，高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程，简单的二阶常系数非齐次线性微分方程，欧拉（Euler）方程，微分方程的幂级数解法，微分方程的简单应用问题。
教学要求
１．了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解等概念。
２．掌握可分离变量的方程及一阶线性方程的解法。
３．会解齐次方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。
４．会用降阶法,解下列方程：
５．理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。
６．掌握二阶常数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。
７．会求自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。
８．了解微分方程的幂级数解法，会解欧拉方程.
９．会用微分方程解决一些简单的应用问题。
笫十章 数学实验二
教学内容：
认识Mathematica符号计算系统
（二）
教学要求
了解以下命令并以实例验证:
（１）Plot3D[
]（三维图形）
（２）Dt[
]（求全微分）
（３）Dt[
]（求
的全导数）
（４）Integrate[
}]（计算
）
（５）Dsolve[eqns,
]（解微分方程和方程组）
四、习题数量与要求
课外作业每次4～8题，课堂练习适量。
五、教学方式与考核方式
教学以课堂教学为主，辅以讨论和自学等方式，考核方式以闭卷笔试为主，辅以平时提问、作业和考核成绩综合评分。
六、学时分配（共170／150学时）
（１）执行170学时教学计划
章 节
内 容
授课时数
习题课时数
合 计
第一章
函数,极限,连续
18
2
20
第二章
一元函数微分学
24
4
28
第三章
一元函数积分学
26
6
32
第四章
数学实验一
2
2
第五章
向量代数和空间解析几何
14
14
第六章
多元函数微分学
14
2
16
第七章
多元函数积分学
26
4
30
第八章
无穷级数
12
12
第九章
常微分方程
12
2
14
第十章
数学实验二
2
2
（２）执行150学时教学计划
章 节
内 容
授课时数
习题课时数
合 计
第一章
函数,极限,连续
16
2
18
第二章
一元函数微分学
22
4
26
第三章
一元函数积分学
22
6
28
第四章
数学实验一
2
2
第五章
向量代数和空间解析几何
12
12
第六章
多元函数微分学
12
2
14
第七章
多元函数积分学
22
4
26
第八章
无穷级数
10
10
第九章
常微分方程
10
2
12
第十章
数学实验二
2
2
七、教材推荐
（１）同济大学数学教研室，《高等数学》（四版），高等教育出版社；
（２）同济大学应用数学系，《微积分》，高等教育出版社，2000。
八、几点说明
（１）大纲中要求的高低用不同的词汇加以区分，从高到低，对概念、理论用“理解”、“了解”二级区分，对运算方法用“掌握”、“会”二级区分。
（２）本大纲为高等数学（
）和高等数学（
）的试用版本，有待进一步修订完善，并与全国和我院原教学大纲配合使用.
（３）目前执行170学时（高等数学（
））的专业有：
机制，材料，电子信息，自动化，纺织工程，化工等；执行150学时（高等数学（
））的专业有：
轻化，服装工程，食品工程，生物工程，生物技术，环境工程，工商管理，工业工程等。
《高等数学Ⅲ》教学大纲
课程代号：
081103 学时数：
90 学分数：
适用专业：
文科各专业
一、本课程的地位、任务和作用
高等数学Ⅲ是为文科各专业开设的基础课程。
通过本课程的学习，使学生掌握初等微积分、线性代数和概率统计的基本概念、基本知识和基本思想，为后续课程打下基础。
二、本课程的相关课程
先修课程：
初等数学
相关课程：
初等微积分、线性代数、概率统计初步等
三、本课程的基本内容及要求
Ⅰ 初等微积分
第一章 函数、极限、连续
基本内容：
函数的概念与性质、基本初等函数、分段函数和一些常见的分段函数、反函数和复合函数、简单应用题的函数关系建立，数列极限与函数极限的概念、性质及运算，无穷大与无穷小的概念、关系、阶的比较，两个重要极限，函数连续的概念、初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。
基本要求：
１．掌握函数的概念，基本初等函数和一些常见的分段函数，由已知函数产生新函数的方法，求初等函数的定义域、值域和分析其性质，能建立简单应用问题中的函数关系。
２．掌握应用极限的运算法则、多项式函数和有理函数在一点极限的性质、两个重要极限、等价的无穷大与无穷小量替换求数列极限与函数极限。
３．掌握函数在一点的极限与单侧极限的关系，应用极限解简单的应用题。
４．掌握函数在一点连续、一点的左右连续、区间内（上）连续的概念，连续函数的性质，了解闭区间上连续函数的性质及初等函数的连续性，掌握求连续函数在一点处极限的方法。
第二章 一元函数微分学
基本内容：
导数的概念、几何意义及平面曲线的切线和法线的方程，导数的物理意义及在经济学中的意义，基本初等函数的导数，函数的求导法则及四则运算，复合函数、反函数的求导法则，高阶导数的概念，一些简单函数的n阶导数，微分的概念及微分在近似计算中的应用，微分中值定理及其应用。
基本要求：
１．理解导数和微分的概念、导数和微分的关系、导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义及在经济学中的意义，掌握函数的可导性与连续性的关系。
２．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，基本初等函数的求导公式，微分的四则运算法则及在近似计算中的应用。
３．掌握高阶导数的概念，并会求简单函数的n阶导数。
４．从几何观上理解Rolle定理、Lagrange定理Cauchy定理，并会应用它们解决一些简单问题。
５．掌握用L’Hospital法则求不定式极限的方法。
６．会用微分的方法解决一些简单的物理和经济问题。
第三章 一元函数积分学
基本内容
原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公式，定积分的概念、基本性质和中值定理，变上限定积分的函数及其性质，New-Leibniz公式，不定积分和定积分的换元法与分部积分法的应用，简单的广义积分。
基本要求
１．理解原函数、不定积分和定积分的概念。
２．掌握不定积分的基本公式，不定积分和定积分的性质、运算法则、定积分中值定理及换元法和分部积分法。
３．理解变上限定积分定义的函数极其求导定理，掌握微积分基本定理，能熟练应用New-Leibniz公式计算一些定积分。
４．掌握简单的广义积分的运算。
第四章 常微分方程
基本内容
常微分方程的概念、方程的解、阶、通解、初始条件和特解，变量可分离方程，一阶线形微分方程，Bernoulli方程极其解法，常微分方程的简单应用。
基本要求
１．了解常微分方程、方程的解、阶、通解、初始条件和特解的概念。
２．掌握变量可分离方程、一阶线形微分方程、Bernoulli方程的判别极其解法。
３．掌握应用常微分方程解一些简单的应用题。
第五章 无穷级数
基本内容
常数项级数的收敛与发散的概念，收敛级数和的概念，级数的基本性质与收敛的必要条件，几何级数与P级数以及它们的敛散性，正项级数敛散性的判别，任意项级数的绝对收敛与条件收敛，交错级数与Leibniz定理。
基本要求
１．了解级数的收敛、发散及收敛级数和的概念。
２．掌握级数的基本性质及收敛的必要条件，正项级数、几何级数、P级数、交错级数敛散性的判别。
Ⅱ 线性代数简介
第一章 矩阵与行列式
基本内容
矩阵的概念、代数运算和转置及简单应用，二、三阶行列式的定义，行列式的几个简单性质，四阶行列式的计算，Cramer法则。
基本要求
１．掌握矩阵的概念及其加、减、数乘、乘法、转置的运算法则和矩阵的简单应用。
２．掌握二、三阶行列式的定义，应用行列式的性质和按行列展开法则计算低阶行列式。
３．掌握用Cramer法则求解较简单的线性方程组。
第二章 线性方程组的消元解法
基本内容
线性方程组的消元解法
基本要求
掌握用Gauss消元法解线性方程组。
Ⅲ 概率统计初步
第一章 随机事件的概率
基本内容
概率的统计定义，古典概型、几何概型，概率的基本性质、概率的乘法公式全概率公式，Bernoulli概型。
基本要求
１．掌握概率的统计定义、古典定义、几何定义及古典概型、几何概型、Bernoulli概型的判别。
２．掌握古典概型、几何概型、Bernoulli概型中事件概率的求法。
３．掌握应用概率的基本性质、乘法公式、全概率公式及Bayes公式计算概率
第二章 一元正态分布
基本内容
分布密度函数，一元正态分布的计算，一元正态分布的简单应用。
基本要求
１．掌握随机变量的概念，离散型随机变量及其分布律求法。
２．掌握连续型随机变量、分布密度、概率分布函数的概念，并能进行相关运算。
３．掌握两点分布、二项分布及一元正态分布，能进行相关运算。
４．掌握一元正态分布的简单应用。
第三章 数理统计基础
基本内容
总体与样本，样本均值与样本方差，众数与中位数，直方图与概率密度函数，经验分布函数。
基本要求
１．掌握总体与样本，样本均值与样本方差，众数与中位数，直方图与概率密度函数，经验分布函数的概念。
２．掌握用直方图求概率密度函数。
四、习题数量及要求
每次课后练习题约3至5题，总作业量约150题。
五、教学方式与考核方式
以课堂讲授为主，辅以微机实验和集体讨论。
考核方式采用闭卷考试。
六、学时分配（总90学时）
Ⅰ 初等微积分：
（46学时）
章 节
内 容
学时数
第一章
函数、极限、连续
12
第二章
一元函数微分学
10
第三章
一元函数积分学
12
第四章
常微分方程
8
第五章
无穷级数
6
Ⅱ 线性代数简介：
（16学时）
章 节
内 容
学时数
第一章
矩阵与行列式
10
第二章
线性方程组的消元解法
10
Ⅲ 概率统计初步：
（18学时）
章 节
内 容
学时数
第一章
随机事件的概率
10
第二章
一元正态分布
8
第三章
数理统计基础
4
七、几点说明
１．推荐教材参考书目：
《高等数学》（文科类） [盛立人 编，安大出版社]
２．参考书目
[1]《高等数学》（文科类）[南大版]
[2]《大学文科高等数学》[陈吉象 等编，天津大学出版社]
３．本大纲执笔人：
邹健
《线性代数》教学大纲
课程代号：
081201 学时数：
30 学分数：
适用专业：
工科各专业
一、本课程的地位、任务和作用
线性代数是一门基础理论课，是以讨论有限维空间线性理论为主的课程，它的基本概念、理论和方法具有较强的逻辑性、抽象性和广泛的实用性。
本课程着重学习应用科学中常用的矩阵方法、线性方程组、二次型等理论及其有关基本知识，使学生具有熟练的矩阵运算能力及用矩阵方法解决一些实际问题的能力，适当地训
升级会员 