人教A版选修22模块综合评价一.docx
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人教A版选修22模块综合评价一
高中数学学习材料
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模块综合评价
（一）
（时间：
120分钟 满分：
150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（2015·福建卷）若集合A＝{i，i2，i3，i4}（i是虚数单位），B＝{1，－1}，则A∩B等于（ ）
A．{－1}B．{1}C．{1，－1}D．∅
解析：
由已知得A＝{i，－1，－i，1}，故A∩B＝{1，－1}，故选C.
答案：
C
2．演绎推理“因为指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）是增函数，而函数y＝是对数函数，所以y＝是增函数”所得结论错误的原因是（ ）
A．大前提错误B．小前提错误
C．推理形式错误D．大前提和小前提都错误
解析：
当a＞1时，指数函数y＝ax是增函数，所以大前提错误．
答案：
A
3．（2014·山东卷）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）
A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根
解析：
反证法的步骤第一步是假设命题反面成立，而“至少有一个根”的否定是“没有”．
答案：
A
4．给出下列三个类比推理的结论：
①类比ax·ay＝ax＋y，则有ax÷ay＝ax－y；
②类比loga（xy）＝logax＋logay，则有sin（α＋β）＝sinα＋sinβ；
③类比（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，则有（＋）2＝2＋2＋2.
其中，结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
解析：
只有①③的结论是正确的．
答案：
B
5．若P＝＋，Q＝＋（a≥0），则P，Q的大小关系为（ ）
A．P＞QB．P＝Q
C．P＜QD．由a的取值确定
解析：
Q2－P2＝（＋）2－（＋）2＝
2（－），因为a≥0，所以Q2－P2＞0，又P＞0，Q＞0，所以Q＞P.
答案：
C
6．如图所示，阴影部分面积为（ ）
A.[f（x）－g（x）]dx
B.[g（x）－f（x）]dx＋[f（x）－g（x）]dx
C.[f（x）－g（x）]dx＋[g（x）－f（x）]dx
D.[g（x）－f（x）]dx
解析：
因为在区间（a，c）上g（x）＞f（x），而在区间（c，b）上g（x）＜f（x）．所以S＝S1＋S2＝[g（x）－f（x）]dx＋[f（x）－g（x）]dx.
答案：
B
7．已知结论：
“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则＝2.”若把该结论推广到空间，则有结论：
在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
解析：
由题知，O为正四面体的外接球、内切球球心，设正四面体的高为h，由等体积法可求内切球半径为h，外接球半径为h，所以＝3.
答案：
C
8．在复平面内，若复数z满足|z＋1|＝|1＋iz|，则z在复平面内对应点的轨迹是（ ）
A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线
解析：
设z＝x＋yi（x、y∈R），|x＋1＋yi|＝，
|1＋iz|＝|1＋i（x＋yi）|＝，
则＝，得y＝－x.
所以复数z＝x＋yi对应点（x，y）的轨迹为到点（－1，0）和（0，1）距离相等的直线y＝－x.
答案：
A
9．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如下图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极大值点（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
解析：
若f（x）在x0处的左边导函数的符号为正，右边为负，则x0是函数f（x）的极大值点，据此判断，函数f（x）有两个极大值点．
答案：
B
10．设f（x）＝x2－2x－4lnx，则f′（x）＞0的解集为（ ）
A．（0，＋∞）B．（－1，0）∪（2，＋∞）
C．（2，＋∞）D．（－1，0）
解析：
f′（x）＝2x－2－＝（x＞0），
由f′（x）＞0得x2－x－2＞0，解得x＜－1或x＞2.
因为x＞0，所以x＞2.
答案：
C
11．曲线f（x）＝x3＋x－2在点P处的切线平行于直线y＝4x－1，则点P的坐标为（ ）
A．（1，0）B．（－1，－4）
C．（1.－4）D．（1，0）或（－1，－4）
解析：
f′（x）＝3x2＋1，设点P坐标为P（x0，y0），则切线斜率k＝f′（x0）＝3x＋1＝4，得x＝1，所以x0＝1或x0＝－1，对应的y0＝0或y0＝－4.
答案：
D
12．函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）＝f（2－x），且（x－1）f′（x）＞0，a＝f（0），b＝f，c＝f（3），则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞cB．c＞a＞b
C．b＞a＞cD．c＞b＞a
解析：
由f（x）＝f（2－x）知，函数f（x）图象关于直线x＝1对称，由（x－1）f′（x）＞0得或
所以函数f（x）在（1，＋∞）上单调递增，
又a＝f（0）＝f
（2），b＝f＝f，c＝f（3），＜2＜3，所以c＞a＞b.
答案：
B
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）
13．若复数z＝cosθ－sinθi所对应的点在第四象限，则θ为第________象限角．
解析：
依题意cosθ＞0，－sinθ＜0，即cosθ＞0，sinθ＞0，所以θ为第一象限角．
答案：
一
14．变速直线运动的物体的速度为v（t）＝1－t2（m/s）（其中t为时间，单位：
s），则它在前2s内所走过的路程为________m.
解析：
令v（t）＝0得t＝1，当t∈（0，1）时，v（t）＞0；
当t∈（1，2）时，v（t）＜0，所以物体所走的路程为（1－t2）dt＋（t2－1）dt＝＋1＝2.
答案：
2
15．观察下图中各正方形图案，每条边上有n（n≥2）个点，第n个图案中圆点的总数是Sn.
n＝2，S2＝4；n＝3，S3＝8；n＝4，S4＝12；….按此规律，推出Sn与n的关系式为_________________________________________．
解析：
依图的构造规律可以看出：
S2＝2×4－4，
S3＝3×4－4，
S4＝4×4－4（正方形四个顶点重复计算一次，应减去）．
…
猜想：
Sn＝4n－4（n≥2，n∈N*）．
答案：
Sn＝4n－4（n≥2，n∈N*）
16．已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．
解析：
因为y＝x2，所以y′＝x，
易知P（4，8），Q（－2，2），
所以在P，Q两点处切线的斜率的值为4或－2.
所以这两条切线的方程为l1：
4x－y－8＝0，l2：
2x＋y＋2＝0，将这两个方程联立方程组求得y＝－4.
答案：
－4
三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）求函数f（x）＝x（ex－1）－x2的单调区间．
解：
f′（x）＝ex－1＋xex－x＝（ex－1）（x＋1）．
当x∈（－∞，－1）时，f′（x）＞0；
当x∈（－1，0）时f′（x）＜0；
当x∈（0，＋∞）时，f′（x）＞0.
故f（x）在（－∞，－1），（0，＋∞）上单调递增，在（－1，0）上单调递减．
18．（本小题满分12分）已知z是复数，z＋2i，均为实数，且（z＋ai）2的对应点在第一象限，求实数a的取值范围．
解：
设z＝x＋y（x，y∈R）．
则z＋2i＝x＋（y＋2）i为实数，所以y＝－2.
又＝＝（x－2i）·（2＋i）＝（2x＋2）＋（x－4）i为实数，
所以x＝4，所以z＝4－2i.
又因为（z＋ai）2＝（4－2i＋ai）2＝（12＋4a－a2）＋8（a－2）i在第一象限，
所以解得2＜a＜6，
所以实数a的取值范围是{a|2＜a＜6}．
19．（本小题满分12分）已知△ABC的三边长为a，b，c，且其中任意两边长均不相等.，，成等差数列．
（1）比较与的大小，并证明你的结论；
（2）求证：
B不可能是钝角．
（1）解：
大小关系为＜，
证明如下：
要证＜，只需证＜，
由题意知a，b，c＞0，只需证b2＜ac，
因为，，成等差数列，
所以＝＋≥2，
所以b2＜ac，
又a，b，c任意两边均不相等，
所以b2＜ac成立．故所得大小关系正确．
（2）证明：
假设B是钝角，则cosB＜0，
而cosB＝＞＞＞0.
这与cosB＜0矛盾，故假设不成立．
所以B不可能是钝角．
20．（本小题满分12分）已知a≥5，求证：
－＜－.
证明：
要证－＜－，
只需证＋＜＋，
只需证（＋）2＜（＋）2，
只需证2a－5＋2＜2a－5＋2，
只需证＜，
只需证a2－5a＜a2－5a＋6，只需证0＜6.
因为0＜6恒成立，
所以－＜－成立．
21．（本小题满分12分）已知f（x）＝－x3＋ax，其中a∈R，g（x）＝－x，且f（x）＜g（x）在（0，1]上恒成立．求实数a的取值范围．
解：
设F（x）＝f（x）－g（x）＝－x3＋ax＋x，
因为f（x）＜g（x）在（0，1]上恒成立，
所以F（x）＜0在（0，1]上恒成立，
所以a＜x2－x，这样，要求a的取值范围，使得上式在区间（0，1]上恒成立，只需求函数h（x）＝x2－x在（0，1]上的最小值．
因为h′（x）＝2x－＝，
由h′（x）＝0，得（2－1）（4x＋2＋1）＝0.
因为4x＋2＋1＞0，
所以2－1＝0，得x＝.
又因为x∈时，h′（x）＜0，
x∈时，h′（x）＞0，
所以x＝时，h（x）有最小值h＝－，
所以a＜－.
22．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝ln（1＋x）－x＋x2（k≥0）．
（1）当k＝2时，求曲线y＝f（x）在点（1，f
（1））处的切线方程；
（2）求f（x）的单调区间．
解：
（1）当k＝2时，f（x）＝ln（1＋x）－x＋x2，
f′（x）＝－1＋2x.由于f
（1）＝ln2，f′
（1）＝，
所以曲线y＝f（x）在点（1，f
（1））处的切线方程为y－ln2＝（x－1），即3x－2y＋2ln2－3＝0.
（2）f′（x）＝，x∈（－1，＋∞）．
当k＝0时，f′（x）＝－.
所以，在区间（－1，0）上，f′（x）＞0；
在区间（0，＋∞）上，f′（x）＜0.
故f（x）的单调递增区间是（－1，0），
单调递减区间是（0，＋∞）．
当0＜k＜1时，由f′（x）＝＝0，
得x1＝0，x2＝＞0.
所以，在区间（－1，0）和上，f′（x）＞0；
在区间上，f′（x）＜0.
故f（x）的单调递增区间是（－1，0）和，
单调递减区间是.
当k＝1时，f′（x）＝.
故f（x）的单调递增区间是（－1，＋∞）．
当k＞1时，由f′（x）＝＝0，
得x1＝∈（－1，0），x2＝0.
所以，在区间和（0，＋∞）上，f′（x）＞0；
在区间上，f′（x）＜0.
故f（x）的单调递增区间是和（0，＋∞），
单调递减区间是.
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