全国高考导数压轴题汇编.docx
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全国高考导数压轴题汇编
2016全国各地导数压轴题汇编
1、（2016年全国卷Ｉ理数）
已知函数f（x）（x2）exa（x1）2有两个零点
（I）求a的取值范围
（II）设x1,x2是f（x）的两个零点，求证：
x1x22
2、（2016年全国卷Ｉ文数）
已知函数f（x）（x2）exa（x1）2
（I）讨论f（x）的单调性
（II）若f（x）有两个零点，求a的取值范围
3、（2016
年全国卷
II理数）
（I）讨论函数f（x）
x
2ex的单调性，并证明当
x>0时，（x
2）ex
x20;
x
2
（II）
证明：
当
a[0,1）
时，函数
g（x）=
ex
axa
（x0）
有最小值设（）的最小值为h（a），
x2
.
gx
求函数h（a）的值域.
4、（2016
年全国卷
II文数）
已知函数f（x）（x
1）lnx
a（x
1）.
（I）当a
4时，求曲线y
f（x）在1,f
（1）处的切线方程；
（II）若当x
1,
时，f
（x）＞0
，求a的取值范围.
5、（2016年全国卷III理数）
设函数f（x）acos2x（a1）（cosx1）其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A
（Ⅰ）求f（x）；
（Ⅱ）求A；
（Ⅲ）证明f（x）2A
6、（2016年全国卷III文数）
设函数f（x）lnxx1.
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）证明当
x1
x；
x（1,）时，1
lnx
（Ⅲ）设c
1，证明当x
（0,1）时，1
（c1）xcx.
7、（2016年天津理数）
设函数f（x）（x1）3
axb,x
R其中a,bR
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）存在极点x0，且f（x1）
f（x0）其中x1
x0，求证：
x12x03
；
（Ⅲ）设a0，函数g（x）
|f（x）|,求证：
g（x）在区间[0,2]上的最大值不小于
1
4
．．．
8、（2016年四川理数）
设函数
f（x）
ax2
alnx其中
a
R
（Ⅰ）讨论
f（x）
的单调性；
（Ⅱ）确定
a的所有可能取值，使得
f（x）
1
e1x在区间（
1，+∞）内恒成立
（e=2.718⋯
x
为自然对数的底数）。
9、（2016年山东理数）
2x
1
已知f（x）axlnx
2
aR.
x
（Ⅰ）讨论
f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a
3
对于任意的x
1,2成立
1时，证明f（x）＞f'x
2
2、（I）
（i）设，则当时，；当时，.
所以在单调递减，在单调递增.
（ii）设，由得x=1或x=ln（-2a）.
①若，则，所以在单调递增.
②若，则ln（-2a）<1,故当时，；
当
时，
，所以
在
单调递增，
在
单调递减.
③若
，则
，故当
时，
，
当
时，
，所以
在
单调递增，
在
单调递减.
（II）（i）设
，则由（I）知，
在
单调递减，在
单调递增.
又
，取b满足b<0且
，
则
，所以
有两个零点.
（ii）设a=0，则
所以
有一个零点.
（iii）设a<0，若
，则由（I）知，
在
单调递增.
又当
时，
<0，故
不存在两个零点；若
，则由（I）知，
在
单调递减，在
单调递增.又当
时
<0，故
不存在两个零点.综上，a的取值范围为.
3、试题解析：
（Ⅰ）f（x）的定义域为（,2）（2,）.
f'（x）
（x
1）（x
2）ex
（x
2）ex
x2ex
0,
（x2）
2
（x
2）2
且仅当x
0时，f'（x）
0，所以f（x）在（
2）,（
2,
）单调递增，
因此当x
（0,
）时，f（x）
f（0）
1,
所以（x
2）ex
（x2）,（x
2）ex
x
20
（II）g（x）
（x
2）ex
a（x
2）
x
2（f（x）
a）,
x2
x2
由（I）知，f（x）
a单调递增，对任意
a
[0,1）,
f（0）
a
a
1
0,f
（2）
aa0,
因此，存在唯一
x0
（0,2],使得f（x0）
a
0,即g'（x0）
0，
当0
x
x时，f（x）
a
0,g'（x）
0,g（x）单调递减；
0
当x
x0时，f（x）
a
0,g'（x）
0,g（x）单调递增.
因此g（x）在x
x0处取得最小值，最小值为
g（x0）
ex0
a（x0
1）ex0
+f（x0）（x0
1）
ex0
.
x02
x0
2
x0
2
于是h（a）
ex0
，由（
ex
（x1）ex
ex
x0
2
x
）'
（x
2）2
0,
单调递增
2
x
2
所以，由x0
1
e0
h（a）
ex0
e2
e2
（0,2],得
02
x0
2
2
2
.
2
4
因为
ex
单调递增，对任意
（1,e2
],存在唯一的x0
（0,2],
a
f（x0）
[0,1）,
x
2
24
使得h（a）
所以h（a）的值域是（1,e2
],
2
4
综上，当a
[0,1）时，g（x）有h（a），h（a）的值域是（1,e2
].
2
4
考点：
函数的单调性、极值与最值.
4、【答案】（Ⅰ）
2x
y
2
0.
；（Ⅱ）
2..
【解析】
试题分析：
（Ⅰ）先求定义域，再求
f（x），f
（1），f
（1），由直线方程得点斜式可求曲线
y
f（x）
在（1,f
（1））
处的切线方程为
2x
y
2
0.
（Ⅱ）构造新函数
g（x）
lnx
a（x
1），对实数a分类讨论，用导数法求解.
x
1
试题解析：
（I）f（x）的定义域为（0,
）.当a
4时，
f（x）
（x
1）lnx
4（x1）,f
（x）lnx
1
，f
（1）
2,f
（1）0.曲线yf（x）
3
x
在（1,f
（1））处的切线方程为
2x
y
2
0.
（II）当x
（1,
）时，f（x）
0等价于lnx
a（x
1）
0.
x
1
a（x
1），则
令g（x）
lnx
x
1
g（x）
1
2a
x2
2（1
a）x
1,g
（1）
0，
x
（x1）2
x（x
1）2
（i）当a
2
，x
（1,
）时，x2
2（1a）x
1
x2
2x
1
0，故g（x）0,g（x）在
x（1,
）上单调递增，因此g（x）
0；
（ii）当a
2时，令g（x）
0得
x1
a1
（a1）2
1,x2a1
（a1）21，
由x2
1和x1x2
1得x1
1，故当x
（1,x2）时，g（x）
0，g（x）在x（1,x2）单调递减，
因此g（x）
0
.
综上，a的取值范围是
2.
考点：
导数的几何意义，函数的单调性.
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