经典线性代数问题无复习资料.docx
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经典线性代数问题无复习资料
第一章多项式
1.（P16）证明：
当n=6/?
?
+5时，多项式F+与+尸整除多项式（x+y）n-xn-yn；当n=6m+l时,多项式（x2+xy+y2）2整除多项式E）”7”-/•这里朋是使“>0的整数，而兀,y是实数.
2.（P16）求最低次数的多项式「心）与咻），使得
（1）（x4一2x3一4x2+6x+Y）u（x）+（x3一5x-3）v（x）=x4;
（2）（x4+2X3+x+V）u（x）+（x4+x3-2x2+2x-l）v（x）=-2x
3.（Pl6）求次数最低的多项式/（a）,使得/G）被多项式x4-2x3-2x2+10a-7除时余式为F+x+i,被多项式x4-2x3-3x2+13a-10除时余式为2a:
2-3.
4（P22）把下列复系数多项式分解为一次因式的乘积：
（1）x"-C討“+C族“+...+（_曲；
（2）x2n+C^x2n-2（x2-\）+C^x2n'4（x2-\）2+...+（x2-\）n；
（3）0+1+cU”」（x2_]）+（7；”+用心（十_1）2++心2_1）”.
5.（P22）证明：
复系数多项式爪）对所有的实数兀恒取正值的充分必要条件是，存在复系数多项式0（x）,处V）没有实数根，使得/W=10（x）1’・
6.（P22）证明：
实系数多项式/⑴对所有实数X恒取非负实数值的充分必要条件是，存在实系数多项式卩⑴和叽X）,使得f（x）=[（p（x）]2+[1//M]2.
7.（P26）设/⑴巳疋+“严+…+““+吗是整系数多项式，且素数〃满足：
pRo，pg,...,pM，plq,i=k+l,k+2,...,/i,而p2）an，证明：
f（x）
具有次数的整系数不可约因式.
8・（P26）设f（x）=aQx2n+l+...+y"+an+lxn+...+%v+%i是整系数多项式，且素数p满足:
p!
«,,/=1,2ntp2\aiti=n+l,n+2，…,2n+\,
但P”2”+i•证明：
/（x）在Q上不可约.
9.（P26）设时2，...®是〃个不同的整数.证明：
多项式
f（x）=（x-al）2（x-a2）2...（x-an）2+1
在Q上不可约.
第二章行列式
1O.（P54）计算下列行列式：
0abcabed
/I、-a0d€（°、_dab_c
-b-d0/-c-dab
-c-e一f0-dc_bu
11.
（P54）设/（沿2，…,L）是F”上£元函数•如果对任意
z,jA则/（勺吕…总）称为对称的擞域F"上规范对称“重线性函数称
为川阶积和式（），记为阳6局，…&）•记
勺=（%%…％）JT2…丿,并记"阶方阵A为
则"阶积和式阳（勺局也记为P"A•证明:
Per^=E%%・・・％•
（12・.・/?
'1
blQ・••aJ
12.（P66）给定〃阶方阵a=（知）.证明：
1
1
…1
a2l~ai\
“22—^12
…a2n~a\n
a3\~a\\
a32~a\2
…①”一细
Cln\^a\\
d“2_"12
・・・%一％
=工八八
其中Av是行列式3A中元素知的代数余子式，1「JS•
13.（P84）计算下列〃阶行列式:
1+q+召
a2+x{
a}+x2・・・a}+xn
\+a2+x2・・・a2+xn
1
1
q+勺
1
1
a^+b
L1
■■
•••
1
1
s
an+b2
•1+勺+心
1
0
0
...0
1
1C：
叫
CA
1
•••
nl
1
C；
0
...0
A
（3）
1C；
叫
C；、
£
•••«■丿•“
m、
■
；（4）
1
C；
•••
c；
•••
...0
••■•••
?
x~
•••
1<
•■•
C；
•••
1
•••
叭
1
Cl
C；2
…5-2
严
1
*
C二
厂口・2…C/i-l
z-1
厂—1'-zvi+;r-l
ai+bn]
&2+bn
•・•^r?
r+;r-l
sinn0xsin（n-l）^・・・sin0x
1+Xj1+石...1+X：
（7）
sinn02sin（/z-l）^2…sin02
••••••
；（8）
1+X〉1+X；・・・1+Xy
••••••
sinn0nsin（n-l）^…sinQ
1+Xn1+X；・・・1+X善
.cos（n-i）q
cos20n
.V1
一nx一2
_（n_1）
1cos0n
（9）
n-1
x-2/7+2
-1
bln
%
h2\
，其余未写出的元素都
•n-U
是零.
14.（P86）设•••，"”是正整数•证明：
行列式
1qaf・・・4穿
1o,cd...a"~]
••••••
能被lfl-*2n-2...（n-2）2（“一1）整除.
15.（P86）（）设"阶方阵A=0）满足Qij=-aji，\Si,jS,则方阵A称为斜对称方阵.把％看成未定元，证明：
奇阶斜对称方阵的行列式恒为零，而偶阶斜对称方阵的行列式是一个完全平方.
16.（P86）（）设〃阶方阵A=（q）的元素都是实的，并且
n
g>0qvOJh人力知>0•证明:
r-l
17.（P86）（）设"阶方阵A=q）的元素都是复数，并且
41>£|呦|,心12...,“，则方阵A称为主角占优矩阵•证明：
主角占
优矩阵的行列式不为零.
18.（P87）把〃阶行列式
几一41-ai2...一q”
—a212_勺2…
•■••••
~Cln\_。
”2…^~ann
展成久的多项式，并用行列式detA的子式表示它的关于2的各次幕的系数，其中A=（®）・
提示：
det（2I（n）-A）=2n+^（-ir为*…卄巧
m!
!
<...<4Vi12・・・h）
第三章矩阵
19.（P104）计算下列行列式:
20.
称为矩阵A的一个£阶主子式，设Aecmn.证明：
矩阵AA，的每一个主子式都是非负实数.
21.（P106）设A=（B,C）wCE,其中B是矩阵A的前£列构成的子矩
阵•证明:
IdetAl222.（P113）系数都是整数的矩阵称为整系数矩阵•行列式等于±1
的整系数矩阵称为幺模矩阵•证明:
整系数矩阵A的逆矩阵仍是整系数矩阵的充分必要条件是A为幺模矩阵.
23.（P113）设坞是"阶方阵a=（呦）的行列式detA的元素呦的代数
余子式•证明：
其中1detA=1.
25.（P123）设Ae底""".证明：
rankAA1=rankA1A=rankA..
26.（P124）设AeF-,r^A=r,从矩阵A中任意取出$个行构成sx“矩阵B.
证明：
rankB>r+s—n.
27.（P124）设从矩阵A中任意取出s个行，f个列上的交叉元素构成的sx?
矩阵记为B.证明：
比〃水B»+$+/-〃.
28.（P134）设A和B都是n阶方阵，AB=BA=0,并且rank\~=rankA..证明：
rank（A+B）=rankA.+rankB.
29.（P134）设A和B都是〃阶方阵，AB=BA=O.证明：
存在正整数
k,使得
rank{\r+B"）=rank^+rankBK.
30.（P134）设AeFUBwF巴证明：
rankAB=rankA的充分必要条件是，存在CeFwx/,,使得A=ABC.由此证明：
如果rankAB=rankA且方阵AB幕等，则方阵BA也幕等.
31.（P134）证明：
存在〃阶可逆的整系数矩阵P,使得它的第一行
为整数ms…心的充分必要条件是，整数5®，互素.
32.（P151）证明：
存在〃必矩阵A和矩阵B的广义逆¥和B-,
使得
rank=rankA+rankB+rank[（lilv]一AA~）C（IIn>-B'B）]•
0B
33.（P164）设f个"行向量ar.=（arl,df12,=1,2tft21ahl>工la&IJ=1,2,•
A-l
证明：
向量WS，…,a.线性无关.
34.（P186）®ppp2,...,pa,qpq2，…,q”都是口阶方阵，并且
PfQ,=QiPj,rankPj=m/?
^P.Qr1rankP[P2...Pf,=mnZ:
PIP2...PxQjQ2...Q,•
第五章线性变换
35.（P205）设A••F7F是线性映射，并且对任意
A,BeF"x”M（AB）=/（BA）・
证明：
A=Atr,其中几*・
36.（P219）设/:
v^v是数域上〃维线性空间w到自身的线性映射，且QG42）=p（A）.
证明：
Im（4）f］畑（4）={0}・
37.（P219）设w是数域f上〃维线性空间y到自身的所有线性映射构成的线性空间MEW,且0（4）=八定义线性映射乙：
WtW如下：
设XwW,令Ta（X）=AX.求°（乙）与以乙）・
38.（P219）设A,BeF"'x".证明：
rank（A+B）=rankA+rankR的充分必要
00
01（$）
条件是，存在数域F上加阶与〃阶可逆方阵P与Q使得
PAQ=
其中/・=/““kA,s=rankB,且厂+sSmin{mji}.
39.（P223）设&:
v^v是线性变换，且斤是正整数•证明：
Im（4"）=ImQ4"）的充分必要条件是V=Im（J打㊉Ker（Ak）.
40.（P224）设Ah满足宀0•证明：
方阵A相似于曽餌胛
41.（P224）证明：
秩为,•的幕等方阵a（即心A）相似于冷J
42.（P229）设A:
v^v是线性变换，o^aeV,y中向量aM（a）,&2（a）,...，八“）,…生成的子空间U是川的不变子空间，且dimt/=r,证明：
｛a,4（a），…,4「"（a）｝是〃的基.
43.（P239）设A与B为“阶复方阵.则关于未知方程AX=XB只有零解的充分必要条件是，方阵A与B没有公共特征值.
44.（P239）设A与B为“阶方阵•定义映射缶：
严T严如下:
设xe严",则令厶B（X）=AX-XB.显然人B是严道自身的线性变换.证明线性变换厶.b可逆的充分必要条件是方阵A与B没有公共特征值.
45.
（P240）设"阶方阵a为
一5务一％2・・・勺（1一5）丿
当络宀，满足什么条件时方阵A可逆，并当A可逆时，求逆方
阵A“・
46.（P247）由于方阵a的"（A）是方阵在相似下的不变量，因此定义线性变换/:
UtU在V的某组基下的方阵A的〃（A）为线性变换A的）.证明：
如果〃复线性空间V的线性变换仏满足tr（A）=0,则存在卩的一组基，使得线性变换£在这组基下的方阵的主对角元都是零.
474P248）设3阶实方阵A在实数域上不相似于上三角方阵，即不存在3阶可逆实方阵P,使得P“AP是上三角方阵•证明：
方阵A在复数域上相似于对角方阵.
48.（P248）取定n阶复方阵AeCnxn,定义线性变换£：
（严―們"与
A2:
C"X”Tcnxn如下：
^,（X）=AX,Xe
£（X）=AX-XA,Xe（CT".
如果方阵A可以对角化，问线性变换厶和厶是否也可以对角化？
49.（P248）设n维复线性空间&与0可交换•证明:
线性变换川与万具有公共特征向量.进而证明：
设/是下标集合，v的线性变换集合⑷*/｝中任意两个线性变换佻与&,可交换，则线性变换久」具有公共特征向量.
50.（P248）设n阶复方阵A与B可交换.证明：
存在n阶可逆方阵P,使得p“ap与kBP都是上三角方阵，即方阵A与B可以同时相似于上三角•试推广到任意多个两两可交换的方阵的情形.
51JP254）证明：
酉方阵u的任意一个子方阵U的特征值的模不大于1.
52.（P254）设A与B是n阶实正交方阵，且detA=-detB.证明：
det（A+B）=0•
53.（P254）设a是ii阶实方阵，且方阵b=1（a+a7）的最大与最小特征值分别为绚与小证明：
方阵A的特征值入的实部R珂满足un54.（P254）设A=（s）是n阶复方阵，且=min{l^1=Ia-1）>0.
国91勺9
j=i
证明：
IdetAl>（/HA）Z,.
第六章标准形
55.（P259）设a与b是3阶复方阵，且它们具有相同的特征多项式和最小多项式，则A与B相似.
56.（P259）（）设力是数域F上的n维线性空间v的线性变换.证明：
存在线性变换川的不变子空间K和叫，使得v=v.@v2,并且线性变换力在％上的限制妇林是可逆的，而在匕上的限制妇叫是需零的.
57.（P269）证明:
如果数域F上n维线性空间卩的线性变换力的二次幕&2为循环变换，则刃本身也是循环变换•反之是否成立？
58.（P269）设数域F±n维线性空间”的线性变换力可对角化.证明：
（1）如果川是循环变换，则&的n个特征值两两不同；
（2）如果力的n个特征值两两不同，且0,®，…,叫}是力的完全特
征向量组,
贝iJw+a?
+..•+«”是循环向量.
59.（P269）设力和8是数域F±n维线性空间卩的可交换的线性变换，且虫为循环变换•证明：
存在多项式/U）eF[2],使得B=f（A）.
60.（P269）设力是数域F上n维线性空间V的线性变换，而且u的任意一个与虫可交换的线性变换〃都可以表示成川的多项式•证明：
A是循环变换.
6l.（P276俅标准形的一种方法：
设A是n阶复方阵，&虫是方阵A的所有不同的特征值.证明:
（1）存在正整数H1,使得rankMn=rankA"1^=rank^2=…；
⑵设竹是使mM（A-引）"丿=rank（A-AjT）mi+l=ra/i^（A-2.I）w>+2=...的最小正整数•则方阵A的最小多项式〃⑴为
〃（/1）=“一&）""（2-人严...（2-；
⑶设仇-羽是方阵A的属于弘的初等因子，5W/
⑷设方阵A的初等因子组为
仇一人）",（2_人）叱,...,仇_人）叫
（2-人严',（/L-/U）"如）叫
••••••
（几一人严,（2—人）叫，…，（几―人）％
其中属于特征值A且次数为/的初等因子（4切的个数记为忖
并约定，当―可不是方阵A的初等因子时，“厂0•则
iij!
=rank（A-+rank（A—Aj/-1-2rank（A—XI）/,
其中IS/求标准形采用如下步骤：
1）求出放阵A的特征多项式^
（2）=det（2I-A）,并求出方阵A的全部不同的特征值&,£••,&；
2）对每个特征值歼，由
rank（A—&I）""_，>rank（A—易1）灼=rank（A—2^I）zn>+，=...
求出mi；
3）对每个计算
nJ,=rank（A—Ayl）/T，+rank（A——2rank（A—Ajl）1,
由此确定（4羽是否是方阵A的初等因子，以与初等因子"-切在方阵A的初等因子组中出现的次数；
4）根据3）中所确定的方阵A的初等因子组，写出方阵A的标准形.
62.（P287）证明：
任意一个满秩兄方阵A
（2）都可以表示为
A
（2）=P（/）Q
（2）,其中玖刃是可逆方阵，Q（小是上三角2方阵，而
且它的对角元都是首一多项式，对角线以上的元素都是次数小于同一列的对角元的次数的多项式•并证明这种表法唯一.
63.（P296）证明：
一组两两可交换的可对角化方阵可以用同一个可逆方阵相似于对角形.
64・（P304）设讥,是自然数1,2，…,“的一个排列•把n阶单位矩阵
G的第1,2,...,“行分别调到也,…九行得到的方阵称为置换方阵•证
••••
明：
置换方阵相似于对角形.
65.（P305）证明：
所有n阶轮回方阵
可以经过一个可逆方阵P化为对角形.
66.（P305）设方阵c和每一个与方阵A可交换的方阵都可交换.证
明：
方阵c可以表为方阵A的多项式.
第七章空间
67.（P328）设｛弘旳，…,a“｝是n维空间V的一组基.对｛為宀，.…a”｝施
行正交化得到的正交向量组记为｛卩山,•••◎｝•证明:
detG（a|,a”...，aJ
1_丿
detG（apa2,...,a;_1）
其中约定零个向量的方阵的行列式为1.
68.（P328）设｛aPa2,..,aJ是11维空间V的一组向量.证明:
detG（ara2^..,azl）等号当且仅当咛勺，…4两两正交或其中含有零向量时成立•由此证明：
如果A=q）是n阶实方阵，则
（detA）269.（P328）设o是n阶正交方阵•而方阵ASgg，…,©）・证明:
方阵OA的特征值儿满足<141m=min｛li/y1:
1l7O.（P328）证明：
正交方阵o的任意一个子方阵的特征值的绝对
值小于或等于1.
71.（P328）证明：
如果n阶方阵o的行列式为1,则方阵o可以
表示为有限多个形如5=1（”）+（cos6-1）（E..+E,）+sin0（E.k-EQ的方阵的乘积，其中E“是（即）位置上的元素为1,而其他元素都为零的
n阶方阵，并且\川一1个
72.（P336）设虫是n维空间V的线性变换.证明：
A的伴随变换八的像空间A*（V）是川的核keM的正交补.
73.（P336）设RAI是所有次数小于4的实系数多项式集合连同内积
（/（A）,g（x））=£'f（x}•g（x）dx
构成的空间，其中/a）,g（x）wR3.设〃是R3的微商变换•求〃的伴随变换，.
74.（P342）证明：
一组两两可交换的规范方阵可以同时正交相似
于准对角形.即设/是下标集合，规范方阵集合）Ay:
ve/）满足：
对任意f/,veZ,AvAw=AuAv,则存在正交方正O,使得05,0为准对角形diag\[b\]件•]，心，…，可],其中
吐一勺绚丿I",",丿
昭石，…虫是仏的全部特征值，其中
鸯T=d；+◎，逼=丐-诂加=1,..,—；,...,°；,卑..虫,必|,...,可
是实数，奸,...,和0,心・
75JP342）证明：
n阶实方阵A为规范的充分必要条件是，存在
实系数多项式/"）,使得Ar=/（A）・
76.（P353）设/与B是n维空间V的线性变换，a与仙都是自伴的，且kerMcker5.ffi明：
存在V的自伴变换C,使得Q=B•
77.（P354）0设八兀…,&是n维空间V的自伴变换川的特征值,
A设叫是4的不变子空间•证明：
对"1,2,.」，
人+―=minmax{/?
（«）:
aeVk}.
78.（P354）设人（A）>A2（A）>...>/i,r（A）是n阶实对称方阵A的所有特
征值.证明：
79.（P365）设A>0,B>0.证明：
AB的所有特征值都是正的.
80.（P365）设s>o•证明：
存在可逆三角方阵P,使得s"p.
81.（P365）设S|与&是n阶对称方阵，s,>o,且det（s1+/S2）=o,其中产=一1.证明：
存在非零实的行向量xer,使得x（S1+/S2）=O.
82.（P366）设n阶实方阵A的极分解唯一.证明：
方阵A可逆.
83.（P366）设“（a）>o-2（a）>...>o-,（a）是n阶实对称方阵a的所有奇异值•证明：
84.
（P369）设人（a）a（a）,…人（A）n阶实对称方阵A=q）的特征值・
f（In吗（A））*工p
J-i185.（P375）设n阶实方阵A的顺序主子式都不为零.证明：
存在对角元全为1的n阶下三角方阵P和Q,使得A=P〃^ga，〃2，...,d”）Q,其中
（\2...k、
112...k）
dk=fl2...（k-\y'k=ii2'…'〃，
A
U2...伙-1）丿
（nA
并约定A:
=1.
86.（P376）设n阶对称方阵a>o•证明:
在n维实的行向量集合吧连同标准内积构成空间，有不等式^<1所定义的区域是有界的，并且它的体积V为
n
f沪1
V=\,dxxdx1...dxn=（detA）2,
打旳-厂（"+1）
2
其中x=（xiyx2，…,x„）eRn・
87.（P376）设osAsb.证明：
Va88.（P376）设a是对称矩阵，记
IA1=后,A=1（1Al+A）.A=丄（|AI_A）.证明：
22
（1）IA堤满足AMAI,-AMAI且与A可交换的最小方阵，这里所谓“最小”是指，如果对称方阵B满足ASBTSB且与A可交换,贝IjlAI（2）A+是满足A（3）A_是满足-A（4）设A与B是可交换的对称方阵，则存在满足AA和B都可交换的最小对称方阵.
89.（P376）证明：
两个n阶半正定对称方阵■与s?
可以同时相合于对角形，即存在n阶可逆矩阵P,使得PSP与Ws’p都是对角方阵•（提示：
方阵S1+S2是半正定的.）
90.（P376）正定对称方阵的概念可以推广（见CR.・,1970,77:
259-264）:
设A是n阶实方阵（不必是对称的）.如果对任意非零行向量xeR\A^>0,则方阵A称为正定的.记A=S
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