高等代数北大版课件9.3同构.ppt

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2标准正交基,3同构,4正交变换,1定义与基本性质,6对称矩阵的标准形,8酉空间介绍,7向量到子空间的距离最小二乘法,小结与习题,第九章欧氏空间,5子空间,一、欧氏空间的同构,9.3同构,二、同构的基本性质,一、欧氏空间的同构,定义：

实数域R上欧氏空间V与V称为同构的，,如果由V到V有一个11对应，适合,这样的映射称为欧氏空间V到V的同构映射.,1、若是欧氏空间V到V的同构映射，则也是,线性空间V到V同构映射.,2、如果是有限维欧氏空间V到V的同构映射，,则,3、任一维欧氏空间V必与同构.,二、同构的基本性质,标准正交基，,证：

设V为维欧氏空间，为V的一组,在这组基下，V中每个向量可表成,作对应,易证是V到的对应.,且满足同构定义中条件1）、2）、3），,故为由V到的同构映射，从而V与同构.,反身性；对称性；传递性.,4、同构作为欧氏空间之间的关系具有：

单位变换是欧氏空间V到自身的同构映射.,若欧氏空间V到V的同构映射是，则是,其次，对有,事实上，首先是线性空间的同构映射.,欧氏空间V到V的同构映射.,为欧氏空间V到V的同构映射.,若分别是欧氏空间V到V、V到V的同构映射，,则是欧氏空间V到V的同构映射.,事实上，首先，是线性空间V到V的同构映射.,其次，对有,为欧氏空间V到V的同构映射.,5、两个有限维欧氏空间V与V同构,