六同第三讲 直线型面积计算.docx
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六同第三讲直线型面积计算
第三讲直线型面积计算
教学目标:
1.掌握等量代换和割补法的性质与特点
2.灵活运用这两种方法决求直线型图形的面积。
3.培养学生分析问题解决问题的能力
教学重难点:
割补法在求图形面积中的应用。
教学方法:
讲练
教学用具:
讲义
教学过程:
一、故事导入
一位农夫请了工程师、物理学家和数学家来,想用最少的篱笆围出最大的面积。
工程师用篱笆围出一个圆,宣称这是最优设计。
物理学家将篱笆拉开成一条长长的直线,认为围起半个地球总够大了。
(讲到这里,老师们可以停下来问问同学们还有更好的方法吗?
让学生们各抒己见)
揭晓答案,数学家好好嘲笑了他们一番。
他用很少的篱笆把自己围起来,然后说:
“我现在是在外面。
”
师:
这个故事告诉我们想问题不能墨守成规,而要把思路发散开来。
就像我们同学从3年级开始就已经学习了长方形、正方形、梯形、三角形等图形,对于他们的面积公式肯定是熟记于心。
(这里可以带着学生复习一下面积公式:
长方形S=a×b;正方形S=a×a;梯形S=(a+b)×h÷2;三角形S=a×h÷2。
另外老师可以准备一些规则以及不规则的图形卡片,引导学生发现生活中实际有很多平面图形并不是规则的图形,那么我们该如何来求它们的面积呢?
这就需要一定的方法了)
下面就跟着老师走进今天的数学课堂,学完今天的内容大家就会豁然开朗了!
那么我们一起来学习----直线型面积计算
二、新课学习
例1:
(原例3)、已知长方形ABCD的面积是40平方厘米,AE=5cm,求BD的长。
解析:
可以很容易发现BD是三角形ABD的一条边,又因为AE为BD的高,那么在已知高的情况下如何求底边?
利用公式三角形S=a×h÷2变形得a=s×2÷h。
可以求得BD。
三角形ABD的面积:
40÷2=20平方厘米
BD的长:
20×2÷5=8厘米
小结:
本题采用公式变形的方法计算出结果,称之定义法。
例2:
(原例1)、三角形ABC的面积为36平方分米,DC=2BD,求阴影部分的面积。
解析:
由题意DC=2BD,可以理解成BD被分成3份,BD占1份,DC占2份,又因为三角形ADC和三角形ABD等高,所以三角形ADC是三角形ABD的2倍。
36÷(1+2)×2=24平方分米
过渡:
来看下一个例题可不可以用这个方法呢?
例3、如图,在三角形ABC中,D是BC的中点,AE=3ED,三角形ABC的面积为96平方厘米,求阴影部分。
解析:
D为三角形ABC的底边BC的中点,BD=CD,而且三角形ABD和ADC等高,所以三角形ABD和ADC面积相等。
也可以理解为AD把三角形ABC分成了面积相等的两部分,三角形ABD占一份。
同样的,在三角形ABD中,底边AD上有这样的关系----AE=3ED,说明AD被分成了4等分,ED占一份,AE占3份,即三角形ABD被分成了面积相等的4部分,三角形ABE占3份。
SABD=96÷2=48平方厘米
48÷4×3=36平方厘米
小结:
通过以上两个例题,我们知道了同高三角形面积的份数关系等于底的分数关系(因为有些学生不知道比,所以老师们可以视班里学生情况总结)下面我们看下练习7
练习:
如下图,已知在三角形ABC中,BE=3AE,CD=2AD。
若三角形ADE的面积为1平方厘米。
求三角形ABC的面积。
解析:
这一题和刚才的两题就有点区别了,题目中给出了边的份数关系和小三角形ADE的面积。
我们要求大三角形ABC的面积。
连接BD,我们还是从大三角形开始分析:
CD=2AD,说明AC被分成了3等份,CD占2份,即三角形ABC被分成了面积相等的3等份,三角形ABD占一份;BE=3AE,说明AB被分成了4等份,AE占一份,即三角形ABD的面积被分成了4等份,三角形ADE占一份。
这样我们就找到了SADE与SABC的关系。
1×(3+1)=4(平方厘米)
4×(2+1)=12(平方厘米)
例4、下图是由大、小两个正方形组成的,小正方形的边长是4厘米,大正方形边长为5厘米,求三角形ABC的面积。
解析:
这个题目只有小正方形的边长是已知的,而三角形ABC中有一部分在小正方形中,还有一部分在大正方形中。
如果我们能通过等量代换把三角形ABC全部都转换到小正方形中就好解决了。
连接AD,显然AD∥BC,接下来怎么转化呢?
我们把梯形ABCD单独拿出来讨论,
发现,三角形ABD和ACD有公共的底AD,且它们的高相等(由于AD∥BC)。
所以,SABD=SACD,而这两个三角形有一个公共的部分---三角形ADF,根据我们前面讲的,等式两边都减去SADF后所得结果仍然相等,联系图形,即SABF=SCDF。
这是著名的蝶形定理中的一个性质。
然后,我们就可以把三角形ABC全部转化到小正方形中了,SABC=SBCD。
SABC=SBCD=4×4÷2=8(平方厘米)
答:
三角形ABC的面积为8平方厘米。
小结:
这一题我们连接AD,利用两个正方形的对角线,找出一个梯形,然后再进行等量代换。
把三角形ABC中的ABF割下来补到三角形CDF中,这样就用到了我们今天要学习的第二种方法----割补法,把不能直接求的面积转化为可以求的面积。
这一题还要注意蝶形定理的运用。
例5:
两个相同的直角三角形如下图所示(单位:
厘米)重叠在一起,求阴影部分的面积.
解析:
先看一个简单的加减法算式13=5+8,如果等式的两边都减去3,结果还会不会相等呢?
(提问)
其实这里面隐含着一个很重要的性质----两个相等的量同时减去一个相同的量,所得结果仍然相等,简称同减。
现在我们来看这一题,阴影部分的面积不能直接求出,可以转化为△ABC与△DOC的面积差。
△ABC和△DEF是相同的三角形,所以S△ABC=S△DEF;从图中看出,△DOC是△ABC和△DEF的公共部分。
根据我们前面的分析,可以得出
S△ABC-S△DOC=S△DEF-S△DOC,所以S阴=SOEFC。
SOEFC=(10+7)×2÷2=17(平方厘米)
答:
阴影部分的面积为17平方厘米。
例6、如下图所示,在一个等腰直角三角形中,削去一个三角形后,剩下一个上底长5厘米、下地长9厘米的等腰梯形(阴影部分)。
求这个梯形的面积。
解析:
已知条件只给出了大、小两个直角三角形的斜边长,可是求三角形的面积需要知道直角边长,怎么办呢?
能不能想办法把直角边转化为直角边呢?
题目所给的三角形非常特殊,等腰直角三角形,其底角为45度。
我们将这个三角形沿着其中一条直角边旋转180度,之后得到下图:
我们发现,三角形ABC和DEF仍然是等腰直角三角形,且这两个三角形的面积可以直接得出。
然后根据我们刚才学习的等量代换的思想,可以计算出阴影部分的面积,然后再得出题目所求。
SABC=9×9÷2=40.5(平方厘米)
SDEF=5×5÷2=12.5(平方厘米)
S阴=40.5-12.5=28(平方厘米)
S梯=28÷2=14(平方厘米)
这种方法我们利用了这里特殊的45度角,除了利用补图形的办法外,还有没有别的办法呢?
求三角形的面积需要知道底边长和对应边上的高,我们给这个等腰三角形作高,大家有没有什么发现呢?
(引导学生,让他们学会利用等腰直角三角形特殊的45度角)
如下图MN垂直于AC,三角形CNM和FHM也都是等腰直角三角形,
MN=CN=AC÷2=4.5(厘米)
MH=FH=CD÷2=2.5(厘米)
HN=4.5-2.5=2(厘米)
S梯=(5+9)×2÷2=14(平方厘米)
小结:
这一题我们有两种方法,都是利用了等腰直角三角形中特殊的45度角,或者是旋转补图形,或者是作高。
下面大家看练习题8
练习:
在下图所示的等腰直角三角形中,剪去一个三角形后,剩下的部分是一个直角梯形(阴影部分)。
已知梯形的面积为36平方厘米,上底为3厘米,求下底和高。
解析:
这一题和例题的条件很相似,只是例题中平行于底边剪掉一个三角形,而本题中则平行于一条直角边剪掉一个三角形。
根据刚才的学习,大家应该对等腰直角三角形中特殊的45度角很有好感了!
因为它对我们解题很有帮助。
与例题类似,我们先补图形,如下图:
我们发现,三角形AOF,AEF,ABC都是等腰直角三角形。
因为题目中告诉了直角梯形的上底,即OF=OE=3,AO=3,所以三角形AEF的面积可求。
等腰梯形EFCB的面积也可求,这样就能求出三角形ABC的面积。
根据三角形的面积计算公式,可以求出BC,AD,然后再求CD,OD,即下底和高。
(3+3)×3÷2=9(平方厘米)
36×2+9=81(平方厘米)
BC×AD÷2=CD×AD=CD×CD=81(平方厘米)
CD=AD=9(厘米)
OD=9-3=6(厘米)
答:
下底为9厘米,高为6厘米。
例7、在下图的直角三角形中有一个矩形,求矩形的面积。
解析:
求矩形的面积我们必须知道其长和宽,而题目给出的条件与所求没有任何关系,所以我们要想办法把已知条件转化为我们可以用的量。
因为题目给出的是一个直角三角形,我们给它补一个相同的直角三角形,让它变成一个矩形,如下图:
我们发现,在矩形ABCD中,三角形ABC和ACD相等;在矩形AEOG中,三角形AOG和AOE相等;在矩形CFOH中,三角形COF和COH相等。
根据等量代换的思想,SABC-SCOH-SAOE=SACD-SCOF-SAOG,即SBEOH=SDFOG。
矩形DOFG的面积可以有已知条件求出,所以得解。
SBEOH=SDFOG=4×6=24
小结:
在这一例中,我们利用对称的思想补图形,然后再进行等量代换,得出题目所求。
下面大家看练习题9,用类似的方法试试看。
练习:
在下图中,长方形AEFD的面积是18平方厘米,BE长3厘米,求CD的长。
解析:
这一题和例题非常的类似,只是把已知和求解调换了。
同样的,我们先要补图形,如图
和例题类似,在矩形ABGC中,三角形ABC和BGC相等;在矩形BEFM中,三角形BEF和BMF相等;在矩形CDFH中,三角形CDF和FHC相等。
所以,SABC-SBEF-SCDF=SBGC-SBMF-SFHC,即SAEFD=SGMFH
SGMFH=FM×HF=BE×CD
CD=18÷3=6(厘米)
过渡:
是不是所有的图形问题都可以用这种对称的思想解决呢?
(提问)接下来我们看例8。
例8、在下图中,平行四边形ABCD的边长长10厘米,直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。
已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10平方厘米,求平行四边形ABCD的面积。
解析:
同样的,我们先来看一个加法算式10=8+2,现在我在等号的两边同时加上4,所得到的新式子仍然相等吗?
在这个变化过程中同样的包含一个重要的性质----两个相等的量同时加上一个相同的量,所得结果仍然相等,简称同加。
现在我们看这一题,平行四边形的面积没办法直接求出,可以转化为阴影部分与梯形FGCB的和。
由已知条件,有这样的等量关系:
S阴=S△EFG+10。
由前面分析的性质,如果在等式的两边同时加上梯形FGCB的面积,等式仍然成立,即
SFGCB+S阴=SFGCB+S△EFG+10。
联系图形,我们发现,等式的左边是平行四边形ABCD的面积,右边的(SFGCB+S△EFG)是三角形BEC的面积,即SABCD=SBEC+10。
SABCD=10×8÷2+10=50(平方厘米)
答:
平行四边形的ABCD的面积为50平方厘米。
小结:
例8中的图形面积都不能直接求出,我们通过转化为其他可求的图形才得以解决,这叫做等量代换,即一个量可以用它相等的量来代替。
另外,在这两个例题中我们用到了两条重要的性质:
两个相等的量同时减去一个相同的量,所得结果仍然相等;两个相等的量同时加上一个相同的量,所得结果仍然相等。
这在以后的学习中也经常会用到,大家要掌握。
下面我们看下练习10。
练习:
在下图中,AB=8厘米,CD=4厘米,BC=6厘米,三角形AFB比三角形EFD的面积大18平方厘米。
求ED的长。
解析:
由已知得出等量关系,SAFB=SEFD+18,所以SAFB+SBCDF=SBCDF+SEFD+18,联系图形,发现等式左边就是直角梯形ABCD的面积,右边的(SBCDF+SEFD)就是直角三角形BEC的面积,即SABCD=SBEC+18。
而直角梯形ABCD的面积我们可以直接求出,进而计算出三角形BEC的面积,然后根据三角形的面积计算公式求出CE的长,最后计算ED的长。
SABCD=(4+8)×6÷2=36(平方厘米)
SBEC=36-18=18(平方厘米)
SBEC=BC×CE÷2
CE=18×2÷6=6(厘米)
ED=6-4=2(厘米)
答:
ED的长为2厘米。
总结:
今天这节课可是大丰收,学习了很多解决直线型面积计算的方法,比如利用公式的变换、割、补、对称、等量代换等思想,课后要好好复习,并把方法运用到实际计算中去。
好吗?
家庭作业
练习题1,2,3,4,5、6
板书设计
直线型面积计算
长方形S=a×b
正方形S=a×a
梯形S=(a+b)×h÷2
三角形S=a×h÷2
等量代换:
同减;同加
割补法:
蝶形定理;等腰直角三角形45度角;一半模型;份数
课后反思:
练习巩固:
1、
(1)一块长方形草坪,中间有两条宽1米的走道,求植草(阴影部分)的面积。
(15-1)×(10-1)=126平方米
(2)已知:
ABCD是长方形,
,
,
,
。
(单位:
厘米)求阴影部分的面积。
连BD3×4÷2+3×6÷2=15平方厘米
(3)、已知:
在四边形AECF中,AE和EC垂直,CF和AF垂直。
,
,
,
。
(单位:
厘米)求:
阴影部分的面积。
连AC8×4÷2+7×10÷2=51平方厘米
2、在直角三角形ABC中,AB=4cm,BC=3m,AC=5cm。
求AC边上的高BE的长。
4×3÷5=2.4厘米
3、如下图,已知在△ABC中,
,
。
若△ADE的面积为1平方厘米。
求三角形ABC的面积。
4、如右图,
,
,已知阴影部分面积为5平方厘米,
的面积是多少平方厘米.
连接BF
三角形ADE=三角形DEF=5
三角形BDF=三角形ADF=10
三角形ABC=10×3=30
5、如下图,两个正方形的边长分别为8cm和12cm,求阴影部分面积。
8×8÷2+4×12÷2=32+24=56平方厘米
6、下图(单位:
厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起,求阴影部分的面积。
(15+20)×8÷2=140平方厘米
7、在下图所示的等腰直角三角形中,剪去一个三角形后,剩下的部分是一个直角梯形(阴影部分)。
已知梯形的面积为36平方厘米,上底为3厘米,求下底和高。
(3+3)×3÷2=9(平方厘米)
36×2+9=81(平方厘米)
BC×AD÷2=CD×AD=CD×CD=81(平方厘米)
CD=AD=9(厘米)
OD=9-3=6(厘米)
8、在下图中,长方形AEFD的面积是18平方厘米,BE长3厘米,求CD的长。
CD=18÷3=6(厘米)
9、在下图中,AB=8厘米,CD=4厘米,BC=6厘米,三角形AFB比三角形EFD的面积大18平方厘米。
求ED的长。
SABCD=(4+8)×6÷2=36(平方厘米)
SBEC=36-18=18(平方厘米)
SBEC=BC×CE÷2
CE=18×2÷6=6(厘米)
ED=6-4=2(厘米)