全等三角形提高32题含答案.docx
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全等三角形提高32题含答案
全等三角形提高32题(含答案)
1.已知:
AD平分∠BAC,AC=AB+BD,求证:
∠B=2∠C
2.
A
已知:
AC平分∠BAD,CE⊥AB,
∠B+∠D=180°,求证:
AE=AD+BE
6.如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,且点E在AD上。
求证:
BC=AB+DC。
8.如图,在△ABC中,BD=DC,∠1=∠2,求证:
AD⊥BC.
9.如图,OM平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A、B为垂足,AB交OM于点N.
求证:
∠OAB=∠OBA
10.如图,已知AD∥BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E,CE的连线交AP于D.求证:
AD+BC=AB.
11.如图,△ABC中,AD是∠CAB的平分线,且AB=AC+CD,求证:
∠C=2∠B
12.如图①,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于点M.
(1)求证:
MB=MD,ME=MF
(2)当E、F两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?
若成立请给予证明;若不成立请说明理由.
13.已知:
如图,DC∥AB,且DC=AE,E为AB的中点,
(1)求证:
△AED≌△EBC.
(2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除△EBC外,请再写出两个与△AED的面积相等的三角形.(直接写出结果,不要求证明):
14.如图,△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.
求证:
BD=2CE.
15、如图:
AE、BC交于点M,F点在AM上,BE∥CF,BE=CF。
求证:
AM是△ABC的中线。
18..公园里有一条“Z”字形道路ABCD,如图所示,其中AB∥CD,在AB,CD,BC三段路旁各有一只小石凳E,F,M,且BE=CF,M在BC的中点,试说明三只石凳E,F,M恰好在一条直线上.
22.如图:
AB=AC,ME⊥AB,MF⊥AC,垂足分别为E、F,ME=MF。
求证:
MB=MC
23.在△ABC中,
,
,直线
经过点
,且
于
,
于
.
(1)当直线
绕点
旋转到图1的位置时,求证:
①
≌
;②
;
(2)当直线
绕点
旋转到图2的位置时,
(1)中的结论还成立吗?
若成立,请给出证明;若不成立,说明理由.
24.如图所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC。
求证:
(1)EC=BF;
(2)EC⊥BF
25.如图:
BE⊥AC,CF⊥AB,BM=AC,CN=AB。
求证:
(1)AM=AN;
(2)AM⊥AN。
26.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:
BC∥EF
27.如图,已知AC∥BD,EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA,CD过点E,则AB与AC+BD相等吗?
请证明。
28、如图,已知:
AD是BC上的中线,且DF=DE.求证:
BE∥CF.
29、已知:
如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,E,F是垂足,
.
求证:
.
30、如图,已知AC⊥AB,DB⊥AB,AC=BE,AE=BD,试猜想线段CE与DE的大小与位置关系,并证明
31、如图,已知AB=DC,AC=DB,BE=CE,求证:
AE=DE.
32.如图9所示,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AD是BC边上的中线,过C作AD的垂线,交AB于点E,交AD于点F,求证:
∠ADC=∠BDE.
答案
1.
延长AD到E,使DE=AD,
则△ADC≌△EBD
∴BE=AC=2
在△ABE中,AB-BE∴10-2<2AD<10+24又AD是整数,则AD=5
2.
证明:
连接BF和EF。
∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。
∴△BCF≌△EDF(边角边)。
∴BF=EF,∠CBF=∠DEF。
连接BE。
在△BEF中,BF=EF。
∴∠EBF=∠BEF。
又∵∠ABC=∠AED。
∴∠ABE=∠AEB。
∴AB=AE。
在△ABF和△AEF中,
AB=AE,BF=EF,
∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。
∴△ABF≌△AEF
∴∠BAF=∠EAF(∠1=∠2)。
3.
证明:
过E点,作EG//AC,交AD延长线于G
则∠DEG=∠DCA,∠DGE=∠2
又∵CD=DE
∴△ADC≌△GDE(AAS)
∴EG=AC
∵EF∥AB
∴∠DFE=∠1
∵∠1=∠2
∴∠DFE=∠DGE
∴EF=EG
∴EF=AC
4.
证明:
在AC上截取AE=AB,连接ED
∵AD平分∠BAC
∴∠EAD=∠BAD
又∵AE=AB,AD=AD
∴⊿AED≌⊿ABD(SAS)
∴∠AED=∠B,DE=DB
∵AC=AB+BD
AC=AE+CE
∴CE=DE
∴∠C=∠EDC
∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C
∴∠B=2∠C
5.
证明:
在AE上取F,使EF=EB,连接CF
∵CE⊥AB
∴∠CEB=∠CEF=90°
∵EB=EF,CE=CE,
∴△CEB≌△CEF
∴∠B=∠CFE
∵∠B+∠D=180°,∠CFE+∠CFA=180°
∴∠D=∠CFA
∵AC平分∠BAD
∴∠DAC=∠FAC
又∵AC=AC
∴△ADC≌△AFC(SAS)
∴AD=AF
∴AE=AF+FE=AD+BE
6.
证明:
在BC上截取BF=BA,连接EF.
∵∠ABE=∠FBE,BE=BE,∴⊿ABE≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;
AB平行于CD,∴∠A+∠D=180°;
又∵∠EFB+∠EFC=180°,∴∠EFC=∠D;
又∵∠FCE=∠DCE,CE=CE,∴⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD.
∴BC=BF+FC=AB+CD.
7.
∵AB∥ED,AE∥BD∴AE=BD,
又∵AF=CD,EF=BC
∴△AEF≌△DCB,
∴∠C=∠F
8.
延长AD至H交BC于H;
BD=DC;
∴∠DBC=∠DCB;
∠1=∠2;
∠DBC+∠1=∠DCB+∠2;
∠ABC=∠ACB;
∴AB=AC;
△ABD≌△ACD;
∠BAD=∠CAD;
AD是等腰三角形的顶角平分线
∴AD⊥BC
9.
∵AOM与MOB都为直角三角形、共用OM,且∠MOA=∠MOB
∴MA=MB
∴∠MAB=∠MBA
∵∠OAM=∠OBM=90度
∴∠OAB=90-∠MAB∠OBA=90-∠MBA
∴∠OAB=∠OBA
10.
证明:
做BE的延长线,与AP相交于F点,
∵PA∥BC
∴∠PAB+∠CBA=180°,
又∵,AE,BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线
∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°,EAB为直角三角形
在△ABF中,AE⊥BF,且AE为∠FAB的角平分线
∴△FAB为等腰三角形,AB=AF,BE=EF
在△DEF与△BEC中,
∠EBC=∠DFE,且BE=EF,∠DEF=∠CEB,
∴△DEF≌△BEC,∴DF=BC
∴AB=AF=AD+DF=AD+BC
11.
证明:
在AB上找点E,使AE=AC
∵AE=AC,∠EAD=∠CAD,AD=AD
∴△ADE≌△ADC。
DE=CD,∠AED=∠C
∵AB=AC+CD,∴DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE
∠B=∠EDB
∠C=∠B+∠EDB=2∠B
12.
分析:
通过证明两个直角三角形全等,即Rt△DEC≌Rt△BFA以及垂线的性质得出四边形BEDF是平行四边形.再根据平行四边形的性质得出结论.
解:
(1)连接BE,DF.
∵DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,,
∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF,
在Rt△DEC和Rt△BFA中,
∵AF=CE,AB=CD,
∴Rt△DEC≌Rt△BFA,
∴DE=BF.
∴四边形BEDF是平行四边形.
∴MB=MD,ME=MF;
(2)连接BE,DF.
∵DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,,
∴∠DEC=∠BFA=90°,DE∥BF,
在Rt△DEC和Rt△BFA中,
∵AF=CE,AB=CD,
∴Rt△DEC≌Rt△BFA,
∴DE=BF.
∴四边形BEDF是平行四边形.
∴MB=MD,ME=MF.
13.
(1)
∵DC∥AE,且DC=AE,∴四边形AECD是平行四边形。
于是知AD=EC,且∠EAD=∠BEC。
由AE=BE,
∴△AED≌△EBC。
(2)△AEC、△ACD、△ECD都面积相等。
14.
证明:
延长BA、CE,两线相交于点F
∵BE⊥CE
∴∠BEF=∠BEC=90°
在△BEF和△BEC中
∠FBE=∠CBE,BE=BE,∠BEF=∠BEC
∴△BEF≌△BEC(ASA)
∴EF=EC
∴CF=2CE
∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90°
又∵∠ADB=∠CDE
∴∠ABD=∠ACF
在△ABD和△ACF中
∠ABD=∠ACF,AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°
∴△ABD≌△ACF(ASA)
∴BD=CF
∴BD=2CE
15.
证明:
∵BE∥CF
∴∠E=∠CFM,∠EBM=∠FCM
∵BE=CF
∴△BEM≌△CFM
∴BM=CM
∴AM是△ABC的中线.
16.
证明:
在△ABD与△ACD中
AB=AC
BD=DC
AD=AD
∴△ABD≌△ACD
∴∠ADB=∠ADC
∴∠BDF=∠FDC
在△BDF与△FDC中
BD=DC
∠BDF=∠FDC
DF=DF
∴△FBD≌△FCD
∴BF=FC
17.
∵AB=DCAE=DFCE=FB
CE+EF=EF+FB
∴△ABE≌△CDF
∵∠DCB=∠ABF
AB=DCBF=CE
∴△ABF≌△CDE
∴AF=DE
18.
证:
∵AB平行CD(已知)
∴∠B=∠C(两直线平行,内错角相等)
∵M在BC的中点(已知)
∴EM=FM(中点定义)
在△BME和△CMF中
BE=CF(已知)
∠B=∠C(已证)
EM=FM(已证)
∴△BME全等与△CMF(SAS)
∴∠EMB=∠FMC(全等三角形的对应角相等)
∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°(等式的性质)
∴E,M,F在同一直线上
19.
证明:
∵AF=CE
∴AF+EF=CE+EF
∴AE=CF
∵BE//DF
∴∠BEA=∠DFC
又∵BE=DF
∴△ABE≌△CDF(SAS)
20.
证明:
∵AB=AC,
∴∠EBC=∠DCB
∵BD⊥AC,CE⊥AB
∴∠BEC=∠CDB
BC=CB(公共边)
∴△EBC≌△DCB
∴BE=CD
21.
∠C=∠E=90度
∠B=∠EAD=90度-∠BAC
BC=AE
△ABC≌△DAE
AD=AB=5
22.
证明∵AB=AC
∴△ABC是等腰三角形
∴∠B=∠C
又∵ME=MF,△BEM和△CEM是直角三角形
∴△BEM全等于△CEM
∴MB=MC
23.
(1)证明:
∵∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠BCE=90°,
而AD⊥MN于D,BE⊥MN于E,
∴∠ADC=∠CEB=90°,∠BCE+∠CBE=90°,
∴∠ACD=∠CBE.
在Rt△ADC和Rt△CEB中,{∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBEAC=CB,
∴Rt△ADC≌Rt△CEB(AAS),
∴AD=CE,DC=BE,
∴DE=DC+CE=BE+AD;
(2)不成立,证明:
在△ADC和△CEB中,{∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBEAC=CB,
∴△ADC≌△CEB(AAS),
∴AD=CE,DC=BE,
∴DE=CE-CD=AD-BE;
24.
(1)证明
∵AE⊥AB
∴∠EAB=∠EAC+∠CAB=90度
∵AF⊥AC
∴∠CAF=∠CAB+∠BAF=90度
∴∠EAC=∠BAF
∵AE=ABAF=AC
∴△EAC≌△FAB
∴EC=BF
∠ECA=∠F
(2)
(2)延长FB与EC的延长线交于点G
∵∠ECA=∠F(已证)
∴∠G=∠CAF
∵∠CAF=90度
∴EC⊥BF
25.
证明:
(1)
∵BE⊥AC,CF⊥AB
∴∠ABM+∠BAC=90°,∠ACN+∠BAC=90°
∴∠ABM=∠ACN
∵BM=AC,CN=AB
∴△ABM≌△NAC
∴AM=AN
(2)
∵△ABM≌△NAC
∴∠BAM=∠N
∵∠N+∠BAN=90°
∴∠BAM+∠BAN=90°
即∠MAN=90°
∴AM⊥AN
26.
连接BF、CE,
证明△ABF≌△DEC(SAS),
然后通过四边形BCEF对边相等的证得平行四边形BCEF
从而求得BC平行于EF
27.
在AB上取点N,使得AN=AC
∠CAE=∠EAN,AE为公共边,∴△CAE≌△EAN
∴∠ANE=∠ACE
又∵AC平行BD
∴∠ACE+∠BDE=180
而∠ANE+∠ENB=180
∴∠ENB=∠BDE
∠NBE=∠EBN
BE为公共边,
∴△EBN≌△EBD
∴BD=BN
∴AB=AN+BN=AC+BD
28.
证明:
∵AD是中线
∴BD=CD
∵DF=DE,∠BDE=∠CDF
∴△BDE≌△CDF
∴∠BED=∠CFD
∴BE∥CF
29.
证明:
∵DE⊥AC,BF⊥AC,
∴∠DEC=∠AFB=90°,
在Rt△DEC和Rt△BFA中,DE=BF,AB=CD,
∴Rt△DEC≌Rt△BFA,
∴∠C=∠A,
∴AB∥CD.
30.
结论:
CE>DE。
当∠AEB越小,则DE越小。
证明:
过D作AE平行线与AC交于F,连接FB
由已知条件知AFDE为平行四边形,ABEC为矩形,
且△DFB为等腰三角形。
RT△BAE中,∠AEB为锐角,即∠AEB<90°
∵DF//AE∴∠FDB=∠AEB<90°
△DFB中∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/2>45°
RT△AFB中,∠FBA=90°-∠DBF<45°
∠AFB=90°-∠FBA>45°
∴AB>AF
∵AB=CEAF=DE
∴CE>DE
31.
先证明△ABC≌△BDC的出角ABC=角DCB
在证明△ABE≌△DCE
得出AE=DE
32.
证明:
作CG平分∠ACB交AD于G
∵∠ACB=90°
∴∠ACG=∠DCG=45°
∵∠ACB=90°AC=BC
∴∠B=∠BAC=45°
∴∠B=∠DCG=∠ACG
∵CF⊥AD
∴∠ACF+∠DCF=90°
∵∠ACF+∠CAF=90°
∴∠CAF=∠DCF
∵AC=CB∠ACG=∠B
∴△ACG≌△CBE
∴CG=BE
∵∠DCG=∠BCD=BD
∴△CDG≌△BDE
∴∠ADC=∠BDE