高考四川卷文科数学试题及答案.docx

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高考四川卷文科数学试题及答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

（四川卷）

第Ⅰ卷

一、选择题

1．设集合A＝{1,2,3}，集合B＝{－2,2}，则A∩B等于（　　）

A．∅B．{2}C．{－2,2}D．{－2,1,2}

答案　B

解析　∵A＝{1,2,3}，B＝{－2,2}，∴A∩B＝{1,2,3}∩{－2,2}＝{2}．选B.

2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（　　）

A．棱柱　　　B．棱台

C．圆柱　　　D．圆台

答案　D

解析　根据三视图可知，此几何体是圆台，选D.

3．如图，在复平面内，点A表示复数z，由图中表示z的共轭复数的点是（　　）

A．AB．B

C．CD．D

答案　B

解析　表示复数z的点A与表示z的共轭复数的点关于x轴对称，∴B点表示

.选B.

4．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：

∀x∈A,2x∈B，则（　　）

A．綈p：

∃x∈A,2x∈BB．綈p：

∃x∉A,2x∈B

C．綈p：

∃x∈A,2x∉BD．綈p：

∀x∉A,2x∉B

答案　C

解析　命题p：

∀x∈A,2x∈B是一个全称命题，其命题的否定綈p应为∃x∈A,2x∉B，选C.

5．抛物线y2＝8x的焦点到直线x－

y＝0的距离是（　　）

A．2

B．2C.

D．1

答案　D

解析　抛物线y2＝8x的焦点为F（2,0），由点到直线的距离公式得F（2,0）到直线x－

y＝0的距离d＝

＝

＝1.选D.

6．函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（ω>0，－

<φ<

）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（　　）

A．2，－

B．2，－

C．4，－

D．4，

答案　A

解析　由图象知f（x）的周期T＝2

＝π，又T＝

，ω>0，∴ω＝2.由于f（x）＝2sin（ωx＋φ）（ω>0，－

<φ<

）的一个最高点为

，故有2×

＋φ＝2kπ＋

，k∈Z.即φ＝2kπ－

，又－

<φ<

，∴φ＝－

，选A.

7．某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示，以组距为5将数据分组成[0,5），[5,10），…，[30,35），[35,40]时，所作的概率分布直方图是（　　）

答案　A

解析　由于频率分布直方图的组距为5，去掉C、D，又[0,5），[5,10）两组各一人，去掉B，应选A.

8．若变量x，y满足约束条件

且z＝5y－x的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是（　　）

A．48B．30C．24D．16

答案　C

解析　画出可行域如图阴影部分（包括边界）易解得A（4,4），B（8,0），C（0,2）．对目标函数令z＝0作出直线l0，上下平移易知过点A（4,4），z最大＝16，过点B（8,0），z最小＝－8，即a＝16，b＝－8，

∴a－b＝24.选C.

9．从椭圆

＋

＝1（a>b>0）上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（　　）

A.

B.

C.

D.

答案　C

解析　由题意可设P（－c，y0）（c为半焦距），kOP＝－

，kAB＝－

，由于OP∥AB，∴－

＝－

，y0＝

，把P

代入椭圆方程得

＋

＝1，而

2＝

，∴e＝

＝

.选C.

10．设函数f（x）＝

（a∈R，e为自然对数的底数），若存在b∈[0,1]使f（f（b））＝b成立，则a的取值范围是（　　）

A．[1，e]B．[1,1＋e]C．[e,1＋e]D．[0,1]

答案　A

解析　由于f（x）＝

在其定义域上单调递增，且y≥0，∴y＝f（x）存在反函数y＝f－1（x），又存在b∈[0,1]使f（f（b））＝b，则f－1[f（f（b））]＝f－1（b），即f（b）＝f－1（b），∴y＝f（x）与y＝f－1（x）的交点在直线y＝x上，所以

＝x在[0,1]上有解．由

＝x得a＝ex＋x－x2，当x∈（0,1）时，a′＝ex－2x＋1>ex－2＋1>0，∴a＝ex＋x－x2在[0,1]上单调递增，∴当x＝0时，a最小＝e0＝1，当x＝1时，a最大＝e，故a的取值范围是[1，e]．选A.

第二卷

二、填空题

11．lg

＋lg

的值是________．

答案　1

解析　lg

＋lg

＝lg（

·2

）＝lg10＝1.

12．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，

＋

＝λ

，则λ＝________.

答案　2

解析　由于ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴

＋

＝

＝2

，∴λ＝2.

13．已知函数f（x）＝4x＋

（x>0，a>0）在x＝3时取得最小值，则a＝________.

答案　36

解析　∵x>0，a>0，∴f（x）＝4x＋

≥2

＝4

，当且仅当4x＝

（x>0）即x＝

时f（x）取得最小值，由题意得

＝3，∴a＝36.

14．设sin2α＝－sinα，α∈

，则tan2α的值是________．

答案　

解析　∵sin2α＝－sinα，∴sinα（2cosα＋1）＝0，又α∈

，∴sinα≠0,2cosα＋1＝0即cosα＝－

，sinα＝

，tanα＝－

，∴tan2α＝

＝

＝

.

15．在平面直角坐标系内，到点A（1,2），B（1,5），C（3,6），D（7，－1）的距离之和最小的点的坐标是________．

答案　（2,4）

解析　直线AC的方程为y－2＝2（x－1），直线BD的方程为y－5＝－（x－1），由

得M（2,4）．

三、解答题

16．在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项和．

解　设该数列的公比为q.由已知，可得

a1q－a1＝2,4a1q＝3a1＋a1q2，

所以，a1（q－1）＝2，q2－4q＋3＝0，解得q＝3或q＝1.

由于a1（q－1）＝2，因此q＝1不合题意，应舍去．

故公比q＝3，首项a1＝1.

所以，数列{an}的前n项和Sn＝

.

17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos（A－B）cosB＝sin（A－B）sin（A＋C）＝－

.

（1）求sinA的值；

（2）若a＝4

，b＝5，求向量

在

方向上的投影．

解　

（1）由cos（A－B）cosB－sin（A－B）sin（A＋C）

＝－

，得cos（A－B）cosB－sin（A－B）sinB＝－

.

则cos（A－B＋B）＝－

，即cosA＝－

.

又0

.

（2）由正弦定理，有

＝

，所以，sinB＝

＝

.

由题知a>b，则A>B，故B＝

.

根据余弦定理，有

（4

）2＝52＋c2－2×5c×

，

解得c＝1或c＝－7（负值舍去）．

故向量

在

方向上的投影为|

|cosB＝

.

18．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．

（1）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi（i＝1,2,3）；

（2）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i（i＝1,2,3）的频数，以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．

甲的频数统计表（部分）

运行

次数n

输出y的值

为1的频数

输出y的值

为2的频数

输出y的值

为3的频数

30

14

6

10

…

…

…

…

2100

1027

376

697

乙的频数统计表（部分）

当n＝2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i＝1,2,3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．

解　

（1）变量x是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．

当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1＝

；

当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2＝

；

当x从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P3＝

.

所以，输出y的值为1的概率为

，输出y的值为2的概率为

，输出y的值为3的概率为

.

（2）当n＝2100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i＝1,2,3）的频率如下：

比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大．

19．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1＝2，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点．

（1）在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；

（2）设

（1）中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1QC1D的体积．（锥体体积公式：

V＝

Sh，其中S为底面面积，h为高）

解　

（1）如图，在平面ABC内，过点P作直线l∥BC，因为l在平面A1BC外，BC在平面A1BC内，由直线与平面平行的判定定理可知，l∥平面A1BC.

由已知，AB＝AC，D是BC的中点，

所以，BC⊥AD，则直线l⊥AD.

因为AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥直线l.

又因为AD，AA1在平面ADD1A1内，且AD与AA1相交，

所以直线l⊥平面ADD1A1.

（2）过D作DE⊥AC于E，

因为AA1⊥平面ABC，所以DE⊥AA1.

又因为AC，AA1在平面AA1C1C内，且AC与AA1相交，

所以DE⊥平面AA1C1C.

由AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，有AD＝1，∠DAC＝60°，

所以在△ACD中，DE＝

AD＝

，

又S△A1QC1＝

A1C1·AA1＝1，所以

VA1QC1D＝VDA1QC1＝

DE·S△A1QC1＝

×

×1＝

.

故三棱锥A1QC1D的体积是

.

20．已知圆C的方程为x2＋（y－4）2＝4，点O是坐标原点，直线l：

y＝kx与圆C交于M，N两点．

（1）求k的取值范围；

（2）设Q（m，n）是线段MN上的点，且

＝

＋

，请将n表示为m的函数．

解　

（1）将y＝kx代入x2＋（y－4）2＝4中，得

（1＋k2）x2－8kx＋12＝0.（*）

由Δ＝（－8k）2－4（1＋k）2×12>0，得k2>3.

所以，k的取值范围是（－∞，－

）∪（

，＋∞）．

（2）因为M、N在直线l上，可设点M、N的坐标分别是（x1，kx1），（x2，kx2），则

|OM|2＝（1＋k2）x

，|ON|2＝（1＋k2）x

，

又|OQ|2＝m2＋n2＝（1＋k2）m2.

由

＝

＋

，得

＝

＋

，

即

＝

＋

＝

.

由（*）式可知，x1＋x2＝

，x1x2＝

，

所以m2＝

.因为点Q在直线y＝kx上，

所以k＝

，代入m2＝

中并化简，

得5n2－3m2＝36.

由m2＝

及k2>3，可知0

即m∈（－

，0）∪（0，

）．

根据题意，点Q在圆C内，则n>0，

所以n＝

＝

.

于是，n与m的函数关系为

n＝

（m∈（－

，0）∪（0，

））．