推荐江门市高考模拟考试江门一模理科数学.docx
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推荐江门市高考模拟考试江门一模理科数学
江门市2020年高考模拟考试
数学（理科）
1、选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知i是虚数单位，复数z满足
，则z的共轭复数
在复平面内表示的点在
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.若函数
是幂函数，且满足
，则
的值为
A.
B.
C.3D.
3.已知直线
和
，若
，则实数m的值为
A.1或
B.
或
C.2或
D.
或
4.
“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值,这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过通过该实验计算出来的圆周率近似值为（参考数据：
）
A.3.1419B.3.1417C.3.1415D.3.1413
已知命题
；命题
，则下列判断正确的是
A.
是假命题B.q是假命题
C.
是假命题D.
是真命题
5.《周髀算经》中有这样一个问题：
从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为
A.1.5尺B.2.5尺C.3.5尺D.4.5尺
6.下列四个命题：
①在回归模型中，预报变量y的值不能由解释变量x唯一确定；②若变量x,y满足关系
，且变量y与z正相关，则x与z也正相关；③在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；④以模型
去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设
，将其变换后得到线性方程
，则
.
其中真命题的个数为
A.1个B.2个C.3个D.4个
7.已知二项式
的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:
5，则x3的系数为
A.14B.
C.240D.
8.一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为
A.
B.
C.
D.
9.已知某校一间办公室有四位老师甲、乙、丙、丁.在某天的某个时段，他们每人各做一项工作，一人在查资料，一人在写教案，一人在批改作业，另一人在打印材料.若下面4个说法都是正确的：
①甲不在查资料，也不在写教案；②乙不在打印材料，也不在查资料；③丙不在批改作业，也不在打印材料；④丁不在写教案，也不在查资料．此外还可确定：
如果甲不在打印材料，那么丙不在查资料．根据以上信息可以判断
A．甲在打印材料B．乙在批改作业
C.丙在写教案D．丁在打印材料
10.设
为双曲线
的左、右焦点，
分别为双曲线左、右支上的点，若
且
，则双曲线的离心率为
A.
B.
C.
D.
11.
P
A
B
C
D
四棱锥P﹣ABCD，AD⊥面PAB，BC⊥面PAB，底面ABCD为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，∠APD=∠BPC，满足上述条件的四棱锥顶点P的轨迹是
A.线段B.圆的一部分
C.椭圆的一部分D.抛物线的一部分
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分.
12.若x,y满足约束条件
，则
的最大值为___________.
13.计算
__________.
14.若圆
关于直线
对称，由点
向圆C作切线，切点为
A，则线段PA的长度的最小值为__________.
15.已知函数
的图象与直线
恰有四个公共点
，
，
，
，其中
，则
__________.
三、解答题：
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：
共60分.
16.（本小题满分12分）
在
中，边a,b,c所对的边分别是A,B,C，已知
，
的面积为
，
，b=3.
（1）求
的值；
（2）求边a,c的值.
17.
P
DE
CE
BE
AE
（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，
.
（1）求证：
PD⊥平面PAB；
（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.
18.（本小题满分12分）
已知动点P到直线
的距离比到定点F（1,0）的距离多1.
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）若A为
（1）中曲线E上一点，过点A作直线
的垂线，垂足为C，过坐标原点O的直线OC交曲线E于另外一点B，证明直线AB过定点，并求出定点坐标.
19.（本小题满分12分）
已知函数
.
（1）若
在
上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）当
时，求证：
对于任意的
，均有
.
20.（本小题满分12分）
2019年7月1日到3日，世界新能源汽车大会在海南博鳌召开，大会着眼于全球汽车产业的转型升级和生态环境的持续改善.某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行分析，得到如图的频率分布直
频率
组距
0.009
0.004
0.002
0.001
0
180
230
280
330
380
430
单次最大续航里程/千米
方图.
（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值
（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航量程X近似地服从正态分布
，经计算得第
（1）问中样本标准差s的近似值为50.用样本平均数
作为
的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率；
（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.已知硬币出现正、反面的概率都是
，方格图上标有第0格、第1格、第2格……第50格.遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从k到k+1），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从k到k+2），直到遥控车移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束.设遥控车移到第n格的概率为
，试证明
是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车.
参考数据：
若随机变量
服从
，则
，
，
.
（2）选考题：
共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
21.[选修4−4：
坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为
，过点
的直线l的参数方程为
（t为参数），直线l与曲线C相交于A,B两点.
（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）若
，求a的值.
22.[选修4−5：
不等式选讲]（本小题满分10分）
已知函数
.
（1）当a=2时，求不等式
的解集；
（2）若
，且
，证明：
.
江门市2020年高考模拟考试
数学（理科）参考答案
1、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
D
C
A
D
C
C
C
B
A
B
B
12.
【解析】∵AD⊥平面PAB，BC⊥平面PAB，
∴AD//BC且AD⊥PA，CB⊥PB，∴∠APD=∠CPB
∴
∴
∴PB=2PA
在平面PAB内，以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则
，
，设
，则
，即
.P的轨迹为为圆的一部分，故选B.
2、填空题
13
14
15
16
3
2π
3
1
16.
1
y
x
1
2
3
4
5
6
−1
−2
−3
A
B
C
D
【解析】∵直线
与函数
的图像恰有四个公共点，如图
当
时，函数
，
，依题意切点坐标为
，又切点处的导数值就是直线
斜率m，即m=−cosx4，
∴
，∴
，则
.
3、解答题
17.（12分）
（1）由
得
，
即
.……3分
∵
，∴
.
∵
，∴
.……6分
（2）由余弦定理
，得
①……8分又∵
，∴
②.……10分
由①②解得
，或
，
∵
，∴
.……12分（如果没有排除一解，则扣1分）
18.（12分）
（1）证明：
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊥AD，
平面ABCD，∴AB⊥平面PAD……2分
P
DE
CE
BE
AE
z
y
x
O
∴AB⊥PD.又PA⊥PD，PA∩AB=A，且
平面PAB，
∴PD⊥平面PAB……4分
（2）取AD的中点O，连接PO，CO．……6分
∵PA＝PD，所以PO⊥AD，PO
平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，
∵CO
平面ABCD，∴PO⊥CO.
∵AC=CD，∴CO⊥AD
如图，建立空间直角坐标系O−xyz，由题意得，
，
.……8分
设平面PCD的一个法向量为
，则
，即
.……10分
令z=2，则x=1，y=−2，所以
.
设直线PB与平面PCD所成的角为
，
.
即直线PB与平面PCD所成的角的正弦值为
.……12分
19.（12分）
（1）方法一：
设点
，则
.……1分
当
时，
，即
，整理得
.……3分
当
时，
，即
，整理得
，由
知
，矛盾，舍去.……4分
∴所求轨迹方程为
.……5分
方法二：
设点
，因为动点P到直线
的距离比到定点
的距离多，所以动点P在直线
的右侧.……1分
故动点P的到直线
的距离等于到定点
的距离，……2分
又因为点
不在直线
上，……3分
所以动点P的轨迹是以直线
为准线，点
为焦点的抛物线.……4分
所以动点P的轨迹方程为
.……5分
（2）方法一：
设
，则
.
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