高考数学理科一轮复习函数模型及其应用学习型教学案带答案.docx
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高考数学理科一轮复习函数模型及其应用学习型教学案带答案
高考数学（理科）一轮复习函数模型及其应用学案带答案
本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址 学案12 函数模型及其应用
导学目标：
1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征．知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型的广泛应用．
自主梳理
．三种增长型函数模型的图象与性质
函数
性质
y＝ax
y＝logax
y＝xn
在上的单调性
增长速度
图象的变化
随x增大逐渐表现为与____平行
随x增大逐渐表现为与____平行
随n值变化而不同
2.三种增长型函数之间增长速度的比较
指数函数y＝ax与幂函数y＝xn
在区间上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于y＝ax的增长速度________y＝xn的增长速度，因而总存在一个x0，当x>x0时有________．
对数函数y＝logax与幂函数y＝xn
对数函数y＝logax的增长速度，不论a与n值的大小如何总会________y＝xn的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，使x>x0时有____________．
由可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在上，总会存在一个x0，使x>x0时有_____________________．
3．函数模型的应用实例的基本题型
给定函数模型解决实际问题；
建立确定性的函数模型解决问题；
建立拟合函数模型解决实际问题．
4．函数建模的基本程序
自我检测
．下列函数中随x的增大而增大速度最快的是
A．v＝1100ex
B．v＝100lnx
c．v＝x100
D．v＝100×2x
2．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为
A．45.606
B．45.6
c．45.56
D．45.51
3．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]可以表示为
A．y＝[x10]
B．y＝[x＋310]
c．y＝[x＋410]
D．y＝[x＋510]
4．某工厂6年来生产某种产品的情况是：
前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量c与时间t的函数关系图象正确的是
5．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：
驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过________小时，才能开车？
探究点一 一次函数、二次函数模型
例1 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y与年产量x之间的函数关系式可以近似地表示为y＝x25－48x＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨．
求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；
若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？
最大利润是多少？
变式迁移1 某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？
最大月收益是多少？
探究点二 分段函数模型
例2 据气象中心观察和预测：
发生于m地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v与时间t
的函数图象如图所示，过线段oc上一点T作横轴的垂线l，梯形oABc在直线l左侧部分的面积即为t内沙尘暴所经过的路程s．
当t＝4时，求s的值；
将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；
若N城位于m地正南方向，且距m地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？
如果不会，请说明理由．
变式迁移2 某市居民自来水收费标准如下：
每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x．
求y关于x的函数；
若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．
探究点三 指数函数模型
例3 诺贝尔奖发放方式为：
每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示：
1999年诺贝尔奖发放后基金总额约为19800万美元．设f表示第x年诺贝尔奖发放后的基金总额，XX年记为f，…，依次类推）
用f表示f与f，并根据所求结果归纳出函数f的表达式；
试根据f的表达式判断网上一则新闻“XX年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．
变式迁移3 现有某种细胞100个，其中有占总数12的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？
．解答应用问题的程序概括为“四步八字”，即审题：
弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；
建模：
将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
求模：
求解数学模型，得出数学结论；
还原：
将数学结论还原为实际问题的意义．
2．考查函数模型的知识表现在以下几个方面：
利用函数模型的单调性比较数的大小；
比较几种函数图象的变化规律，证明不等式或求解不等式；
函数性质与图象相结合，运用“数形结合”解答一些综合问题．
一、选择题
．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是
X
.95
3.00
3.94
5.10
6.12
y
0.97
.59
.98
2.35
2.61
A.y＝2x
B．y＝log2x
c．y＝12
D．y＝2.61cosx
2．拟定甲地到乙地通话m分钟的电话费f＝1.06×，其中m>0，[m]表示不大于m的最大整数＝3，[4]＝4），当m∈[0.5,3.1]时，函数f的值域是
A．{1.06,2.12,3.18,4.24}
B．{1.06,1.59,2.12,2.65}
c．{1.06,1.59,2.12,2.65,3.18}
D．{1.59,2.12,2.65}
3．某商店出售A、B两种价格不同的商品，由于商品A连续两次提价20%，同时商品B连续两次降价20%，结果都以每件23元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则与价格不升不降时的情况比较，商店盈利情况是
A．多赚约6元
B．少赚约6元
c．多赚约2元
D．盈利相同
4．国家规定个人稿费纳税办法是：
不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，这个人应得稿费为
A．4000元
B．3800元
c．4200元
D．3600元
5．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为c＝12x2＋2x＋20．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为
A．18万件
B．20万件
c．16万件
D．8万件
题号
2
3
4
5
答案
二、填空题
6．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,XX年产生的垃圾量为at，由此预测，该区下一年的垃圾量为__________t,XX年的垃圾量为__________t.
7．有一批材料可以建成200m长的围墙，如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形，则围成场地的最大面积为________．
8．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元．某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如下表所示：
型号
小包装
大包装
重量
00克
300克
包装费
0.5元
0.7元
销售价格
3.00元
8.4元
则下列说法中正确的是________
①买小包装实惠；②买大包装实惠；③卖3小包比卖1大包盈利多；④卖1大包比卖3小包盈利多．
三、解答题
9．设某企业每月生产电机x台，根据企业月度报表知，每月总产值m与总支出n近似地满足下列关系：
m＝92x－14，n＝－14x2＋5x＋74，当m－n≥0时，称不亏损企业；当m－n<0时，称亏损企业，且n－m为亏损额．
企业要成为不亏损企业，每月至少要生产多少台电机？
当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少？
0．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、每层XX平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
11．某宾馆有相同标准的床位100张，根据经验，当该宾馆的床价不超过10元时，床位可以全部租出，当床位高于10元时，每提高1元，将有3张床位空闲．为了获得较好的效益，该宾馆要给床位一个合适的价格，条件是：
①要方便结账，床价应为1元的整数倍；②该宾馆每日的费用支出为575元，床位出租的收入必须高于支出，而且高出得越多越好．若用x表示床价，用y表示该宾馆一天出租床位的净收入．
把y表示成x的函数，并求出其定义域；
试确定该宾馆将床位定价为多少时，既符合上面的两个条件，又能使净收入最多？
答案
自主梳理
．增函数 增函数 增函数 越来越快 越来越慢 相对平稳 y轴 x轴 2.快于 ax>xn 慢于 logax<xn ax>xn>logax
自我检测
．A [由e>2，知当x增大时，1100ex增大更快．]
2．B [依题意，可设甲销售x辆，则乙销售辆，
∴总利润S＝5.06x－0.15x2＋2
＝－0.15x2＋3.06x＋30．
∴当x＝10时，Smax＝45.6．]
3．B [每10个人可以推选1个，>6可以再推选一个，即如果余数≥7相当于给x多加了3，所以可以多一个10出来．]
4．A
5．5
解析 设x小时后，血液中的酒精含量不超过0.09mg/mL，
则有0.3•34x≤0.09，即34x≤0.3.
估算或取对数计算，得5小时后，可以开车．
课堂活动区
例1 解 每吨平均成本为yx．
则yx＝x5＋8000x－48
≥2x5•8000x－48＝32，
当且仅当x5＝8000x，即x＝200时取等号．
∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元．
设年获得总利润为R万元，
则R＝40x－y＝40x－x25＋48x－8000
＝－x25＋88x－8000
＝－152＋1680．
∵R在[0,210]上是增函数，
∴x＝210时，R有最大值为－15×2＋1680＝1660.
∴年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元．
变式迁移1 解 租金增加了600元，所以未租出的车有12辆，一共租出了88辆．
设每辆车的月租金为x元，租赁公司的月收益为y元，
则y＝x100－x－300050－x－300050×50
－100－x－300050×150
＝－x250＋162x－21000
＝－1502＋307050，
当x＝4050时，ymax＝307050.
答 当每辆车月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大为307050.
例2 解 由图象可知：
当t＝4时，v＝3×4＝12，
∴s＝12×4×12＝24．
当0≤t≤10时，s＝12•t•3t＝32t2，
当10<t≤20时，s＝12×10×30＋30＝30t－150；
当20<t≤35时，s＝12×10×30＋10×30＋×30－12××2＝－t2＋70t－550.
综上，可知S＝32t2， t∈[0，10]，30t－150，
t∈10，20]，－t2＋70t－550，
t∈20，35].
∵t∈[0,10]时，smax＝32×102＝150<650，
t∈当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，
y＝1.8＝14.4x；
当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x≤4，且5x>4时，y＝4×1.8＋3x×1.8＋3＝20.4x－4.8.
当乙的用水量超过4吨，即3x>4时，
y＝2×4×1.8＋3×[＋]＝24x－9.6.
所以y＝14.4x，
0≤x≤45，20.4x－4.8，
45<x≤43，24x－9.6，
x>43.
由于y＝f在各段区间上均单调递增，
当x∈0，45时，y≤f45<26.4；
当x∈45，43时，y≤f43<26.4；
当x∈43，＋∞时，令24x－9.6＝26.4，解得x＝1.5.
所以甲户用水量为5x＝7.5吨，
付费S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70；
乙户用水量为3x＝4.5吨，
付费S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70．
例3 解题导引 指数函数模型的应用是高考的一个主要内容，常与增长率相结合进行考查．在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型来表示．通常可表示为y＝ax的形式．
解 由题意知：
f＝f－12f•6.24%＝f×，
f＝f×－12f×6.24%
＝f×＝f×2，
∴f＝19800x－1．
XX年诺贝尔奖发放后基金总额为f＝198009＝26136，
故XX年度诺贝尔奖各项奖金为16•12f•6.24%≈136，与150万美元相比少了约14万美元，是假新闻．
变式迁移3 解 现有细胞100个，先考虑经过1,2,3,4个小时后的细胞总数，
小时后，细胞总数为
2×100＋12×100×2＝32×100；
2小时后，细胞总数为
2×32×100＋12×32×100×2＝94×100；
3小时后，细胞总数为
2×94×100＋12×94×100×2＝278×100；
4小时后，细胞总数为
2×278×100＋12×278×100×2＝8116×100；
可见，细胞总数y与时间x之间的函数关系为：
y＝100×x，x∈N*，
由100×x>1010，得x>108，
两边取以10为底的对数，
得xlg32>8，∴x>8lg3－lg2，
∵8lg3－lg2＝80.477－0.301≈45.45，
∴x>45.45.
答 经过46小时，细胞总数超过1010个．
课后练习区
．B [通过检验可知，y＝log2x较为接近．]
2．B [当0.5≤m<1时，[m]＝0，f＝1.06；
当1≤m<2时，[m]＝1，f＝1.59；
当2≤m<3时，[m]＝2，f＝2.12；
当3≤m≤3.1时，[m]＝3，f＝2.65.]
3．B [设A、B两种商品的原价为a、b，
则a2＝b2＝23
⇒a＝23×2536，b＝23×2516，a＋b－46≈6元．]
4．B [设扣税前应得稿费为x元，则应纳税额为分段函数，由题意，得y＝0 0<x≤800，x－800×14%
800<x≤4000，11%•x
x>4000.
如果稿费为4000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，所以稿费应在800～4000元之间，
∴×14%＝420，∴x＝3800.]
5．A [利润L＝20x－c＝－122＋142，
当x＝18时，L有最大值．]
6．a a5
解析 由于XX年的垃圾量为at，年增长率为b，故下一年的垃圾量为a＋ab＝at，同理可知XX年的垃圾量为a2t，…，XX年的垃圾量为a5t.
7．2500m2
解析 设所围场地的长为x，则宽为200－x4，其中0<x<200，场地的面积为x×200－x4≤14x＋200－x22
＝2500m2，
等号当且仅当x＝100时成立．
8．②④
9．解 由已知，
m－n＝92x－14－－14x2＋5x＋74
＝14x2－12x－2.……………………………………………………………………………
由m－n≥0，得x2－2x－8≥0，解得x≤－2或x≥4.
据题意，x>0，所以x≥4.
故企业要成为不亏损企业，每月至少要生产4台电机．………………………………
若企业亏损最严重，则n－m取最大值．
因为n－m＝－14x2＋5x＋74－92x＋14
＝－14x－12－9＝94－142.………………………………………………………
所以当x＝1时，n－m取最大值94，
此时m＝92－14＝174.
故当月总产值为174万元时，企业亏损最严重，最大亏损额为94万元．………………
0．解 设楼房每平方米的平均综合费用为f元，
则f＝＋2160×10000XXx＝560＋48x＋10800x．…………
∵f＝560＋48≥560＋48•2x•225x＝560＋48×30＝XX.……………
当且仅当x＝225x时，上式取等号，即x＝15时，fmin＝XX.
所以楼房应建15层．……………………………………………………………………
1．解 依题意有
y＝100x－575
x≤10，[100－x－10×3]x－575
x>10，……………………………………………
由于y>0且x∈N*，
由100x－575>0，x≤10. 得6≤x≤10，x∈N*.
由x>10，[100－x－10×3]x－575>0
得10<x≤38，x∈N*，
所以函数为
y＝100x－575 x∈N*，且6≤x≤10，－3x2＋130x－575
x∈N*，且10<x≤38，
定义域为{x|6≤x≤38，x∈N*}．…………………………………………………………
当x＝10时，y＝100x－575取得最大值425元，……………
当x>10时，y＝－3x2＋130x－575，当且仅当x＝－1302×－3＝653时，y取最大值，但x∈N*，所以当x＝22时，y＝－3x2＋130x－575取得最大值833元．
比较两种情况，可知当床位定价为22元时净收入最多．……………………………
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