微积分公式与定积分计算练习.docx
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微积分公式与定积分计算练习
微积分公式与定积分计算练习（附加三角函数公式）
一、基本导数公式
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
⑺
⑻
⑼
⑽
⑾
⑿
⒀
⒁
⒂
⒃
⒄
⒅
二、导数的四则运算法则
三、高阶导数的运算法则
（1）
（2）
（3）
（4）
四、基本初等函数的n阶导数公式
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
五、微分公式与微分运算法则
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
⑺
⑻
⑼
⑽
⑾
⑿
⒀
⒁
⒂
⒃
六、微分运算法则
⑴
⑵
⑶
⑷
七、基本积分公式
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
⑺
⑻
⑼
⑽
⑾
八、补充积分公式
九、下列常用凑微分公式
积分型
换元公式
十、分部积分法公式
⑴形如
，令
，
形如
令
，
形如
令
，
⑵形如
，令
，
形如
，令
，
⑶形如
，
令
均可。
十一、第二换元积分法中的三角换元公式
（1）
（2）
（3）
【特殊角的三角函数值】
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（1）
（2）
（3）
（4）
不存在（5）
（1）
不存在
（2）
（3）
（4）
（5）
不存在
十二、重要公式
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
（系数不为0的情况）
十三、下列常用等价无穷小关系（
）
十四、三角函数公式
1.两角和公式
2.二倍角公式
3.半角公式
4.和差化积公式
5.积化和差公式
6.万能公式
7.平方关系
8.倒数关系
9.商数关系
十五、几种常见的微分方程
1.可分离变量的微分方程：
，
2.齐次微分方程：
3.一阶线性非齐次微分方程：
解为：
高考定积分应用常见题型大全
一．选择题（共21小题）
1．（2012•福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2010•山东）由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．设f（x）=
，函数图象与x轴围成封闭区域的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．定积分
的值为（ ）
A．
B．
3+ln2
C．
3﹣ln2
D．
6+ln2
5．如图所示，曲线y=x2和曲线y=
围成一个叶形图（阴影部分），其面积是（ ）
A．
1
B．
C．
D．
6．
=（ ）
A．
π
B．
2
C．
﹣π
D．
4
7．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，4]，且f（4）=f（﹣2）=1，f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，则平面区域f（2a+b）＜1（a≥0，b≥0）所围成的面积是（ ）
A．
2
B．
4
C．
5
D．
8
8．∫01exdx与∫01ex
dx相比有关系式（ ）
A．
∫01exdx＜∫01ex
dx
B．
∫01exdx＞∫01ex
dx
C．
（∫01exdx）2=∫01ex
dx
D．
∫01exdx=∫01ex
dx
9．若a=
，b=
，则a与b的关系是（ ）
A．
a＜b
B．
a＞b
C．
a=b
D．
a+b=0
10．
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．若f（x）=
（e为自然对数的底数），则
=（ ）
A．
+e2﹣e
B．
+e
C．
﹣e2+e
D．
﹣
+e2﹣e
12．已知f（x）=2﹣|x|，则
（ ）
A．
3
B．
4
C．
3.5
D．
4.5
13．设f（x）=3﹣|x﹣1|，则∫﹣22f（x）dx=（ ）
A．
7
B．
8
C．
7.5
D．
6.5
14．积分
=（ ）
A．
B．
C．
πa2
D．
2πa2
15．已知函数
的图象与x轴所围成图形的面积为（ ）
A．
1/2
B．
1
C．
2
D．
3/2
16．由函数y=cosx（0≤x≤2π）的图象与直线
及y=1所围成的一个封闭图形的面积是（ ）
A．
4
B．
C．
D．
2π
17．曲线y=x3在点（1，1）处的切线与x轴及直线x=1所围成的三角形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
18．图中，阴影部分的面积是（ ）
A．
16
B．
18
C．
20
D．
22
19．如图中阴影部分的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
20．曲线
与坐标轴围成的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
21．如图，点P（3a，a）是反比例函y=
（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（ ）
A．
y=
B．
y=
C．
y=
D．
y=
高考定积分应用常见题型大全（含答案）
参考答案与试题解析
一．选择题（共21小题）
1．（2012•福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
定积分在求面积中的应用；几何概型．501974
专题：
计算题．
分析：
根据题意，易得正方形OABC的面积，观察图形可得，阴影部分由函数y=x与y=
围成，由定积分公式，计算可得阴影部分的面积，进而由几何概型公式计算可得答案．
解答：
解：
根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，
而阴影部分由函数y=x与y=
围成，其面积为∫01（
﹣x）dx=（
﹣
）|01=
，
则正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为
=
；
故选C．
点评：
本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积．
2．（2010•山东）由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
定积分在求面积中的应用．501974
专题：
计算题．
分析：
要求曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求∫01（x2﹣x3）dx即可．
解答：
解：
由题意得，两曲线的交点坐标是（1，1），（0，0）故积分区间是[0，1]
所求封闭图形的面积为∫01（x2﹣x3）dx═
，
故选A．
点评：
本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积．
3．设f（x）=
，函数图象与x轴围成封闭区域的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；定积分在求面积中的应用．501974
专题：
计算题；数形结合．
分析：
利用坐标系中作出函数图象的形状，通过定积分的公式，分别对两部分用定积分求出其面积，再把它们相加，即可求出围成的封闭区域曲边图形的面积．
解答：
解：
根据题意作出函数的图象：
根据定积分，得所围成的封闭区域的面积S=
故选C
点评：
本题考查分段函数的图象和定积分的运用，考查积分与曲边图形面积的关系，属于中档题．解题关键是找出被积函数的原函数，注意运算的准确性．
4．定积分
的值为（ ）
A．
B．
3+ln2
C．
3﹣ln2
D．
6+ln2
考点：
定积分；微积分基本定理；定积分的简单应用．501974
专题：
计算题．
分析：
由题设条件，求出被积函数的原函数，然后根据微积分基本定理求出定积分的值即可．
解答：
解：
=（x2+lnx）|12=（22+ln2）﹣（12+ln1）=3+ln2
故选B．
点评：
本题考查求定积分，求解的关键是掌握住定积分的定义及相关函数的导数的求法，属于基础题．
5．如图所示，曲线y=x2和曲线y=
围成一个叶形图（阴影部分），其面积是（ ）
A．
1
B．
C．
D．
考点：
定积分；定积分的简单应用．501974
专题：
计算题．
分析：
联立由曲线y=x2和曲线y=
两个解析式求出交点坐标，然后在x∈（0，1）区间上利用定积分的方法求出围成的面积即可．
解答：
解：
联立得
，
解得
或
，
设曲线与直线围成的面积为S，
则S=∫01（
﹣x2）dx=
故选：
C
点评：
考查学生求函数交点求法的能力，利用定积分求图形面积的能力．
6．
=（ ）
A．
π
B．
2
C．
﹣π
D．
4
考点：
微积分基本定理；定积分的简单应用．501974
专题：
计算题．
分析：
由于F（x）=
x2+sinx为f（x）=x+cosx的一个原函数即F′（x）=f（
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