学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义第二章 点直线平面之间的位置关系232.docx

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学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义第二章点直线平面之间的位置关系232

2.3.2　平面与平面垂直的判定

学习目标

　1.理解二面角及其平面角的概念，能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角.2.掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角.3.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直．

知识点一　二面角

思考1　观察教室内门与墙面，当门绕着门轴旋转时，门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状．数学上，用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角？

答案　二面角．

思考2　平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点？

答案　二面角的平面角．

梳理　二面角的概念

（1）定义：

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．

（2）相关概念：

①这条直线叫做二面角的棱，②两个半平面叫做二面角的面．

（3）画法：

（4）记法：

二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q或P－AB－Q.

（5）二面角的平面角：

若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.

知识点二　平面与平面垂直

思考　建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种方法来检查墙与地面是否垂直．当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？

此时铅锤线与地面什么关系？

答案　都是垂直．

梳理　两面垂直的定义及判定

（1）平面与平面垂直

①定义：

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

②画法：

③记作：

α⊥β.

（2）判定定理

文字语言

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直

图形语言

符号语言

l⊥α，l⊂β⇒α⊥β

类型一　证明面面垂直

例1　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，PA⊥平面ABCD，M是PD的中点．

（1）求证：

OM∥平面PAB；

（2）求证：

平面PBD⊥平面PAC.

证明　

（1）在△PBD中，O，M分别是BD，PD的中点，

所以OM∥PB，

因为OM⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，

所以OM∥平面PAB.

（2）因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

所以PA⊥BD.

因为底面ABCD是菱形，

所以AC⊥BD.又因为AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，AC∩PA＝A，

所以BD⊥平面PAC.又因为BD⊂平面PBD，

所以平面PBD⊥平面PAC.

引申探究

如图，本例中若底面ABCD改为正方形，另增加条件：

PA＝AD，其他条件不变．试证明：

（1）AM⊥平面PCD；

（2）平面ACM⊥平面PCD.

证明　

（1）∵PA＝AD，M是PD的中点，∴AM⊥PD.

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DC，又由于AD⊥DC，PA∩AD＝A，

∴DC⊥平面PAD，∴DC⊥AM.

又PD∩DC＝D，∴AM⊥平面PCD.

（2）由

（1）知AM⊥平面PCD，

∵AM⊂平面ACM，

∴平面ACM⊥平面PCD.

反思与感悟　应用判定定理证明平面与平面垂直的基本步骤

跟踪训练1　如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝

AA1，D是棱AA1的中点．证明：

平面BDC1⊥平面BDC.

证明　由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.

又DC1⊂平面ACC1A1，

所以DC1⊥BC.

由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC.又DC1⊂平面BDC1，所以平面BDC1⊥平面BDC.

类型二　求二面角的大小

例2　如图，已知三棱锥A－BCD的各棱长均为2，求二面角A－CD－B的余弦值．

解　如图，取CD的中点M，连接AM，BM，则AM⊥CD，BM⊥CD.

由二面角的定义可知∠AMB为二面角A－CD－B的平面角．

设点H是△BCD的中心，则AH⊥平面BCD，且点H在BM上．

在Rt△AMH中，AM＝

×2＝

，HM＝

×2×

＝

，则cos∠AMB＝

＝

，

即二面角的余弦值为

.

反思与感悟　

（1）求二面角大小的步骤

简称为“一作二证三求”．

①（定义法）：

在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图

（1）所示，∠AOB为二面角α－a－β的平面角．

②（垂线法）：

过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，连接该点与垂足，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图

（2）所示，∠AFE为二面角A－BC－D的平面角．

③（垂面法）：

过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图（3）所示，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．

（1）　　　　　　　

（2）　　　　　　　（3）

跟踪训练2　如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小．

解　由已知PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

∴PA⊥BC.

∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，

∴AC⊥BC.

又∵PA∩AC＝A，

∴BC⊥平面PAC.

而PC⊂平面PAC，

∴PC⊥BC.

又∵BC是二面角P－BC－A的棱，

∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角．

由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，

∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.

1．直线l⊥平面α，l⊂平面β，则α与β的位置关系是（　　）

A．平行B．可能重合

C．相交且垂直D．相交不垂直

答案　C

解析　由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C.

2．从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是（　　）

A．互为余角B．相等

C．其和为周角D．互为补角

答案　D

解析　画图知从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角，所以选D.

3．长方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中，与平面ABCD垂直的平面有（　　）

A．1个B．3个C．4个D．5个

答案　C

解析　与平面ABCD垂直的面有：

平面ABB1A1，平面BCC1B1，平面CDD1C1，平面DAA1D1，共4个，故选C.

4．三棱锥P－ABC的两侧面PAB、PBC都是边长为2a的正三角形，AC＝

a，则二面角A－PB－C的大小为（　　）

A．90°B．30°C．45°D．60°

答案　D

解析　如图，取PB的中点为M，连接AM，CM，则AM⊥PB，CM⊥PB，∴∠AMC为二面角A－PB－C的平面角，易得AM＝CM＝

a，则△AMC为正三角形，

∴∠AMC＝60°.

5．如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点．

求证：

平面EBD⊥平面ABCD.

证明　连接AC与BD交于O点，连接OE.

∵O为AC的中点，E为SA的中点，

∴EO∥SC.∵SC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.

又∵EO⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD.

1．求二面角的步骤

简称为“一作二证三求”．

2．证明面面垂直常用的方法

（1）定义法：

即说明两个半平面所成的二面角是直二面角．

（2）判定定理法：

在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直．

（3）性质法：

两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．

课时作业

一、选择题

1．下列不能确定两个平面垂直的是（　　）

A．两个平面相交，所成二面角是直二面角

B．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线

C．一个平面经过另一个平面的一条垂线

D．平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b

答案　D

解析　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1B1CD内的直线A1B1垂直于平面ABCD内的一条直线BC，但平面A1B1CD与平面ABCD显然不垂直．

2．关于直线a，b以及平面M，N，下列命题中正确的是（　　）

A．若a∥M，b∥M，则a∥b

B．若b∥M，a⊥b，则a⊥M

C．若b⊂M，a⊥b，则a⊥M

D．若a⊥M，a⊂N，则M⊥N

答案　D

解析　A中，当直线a，b都在一个平面上相交，且这个平面与M平行，可推断出A不一定成立；B中，可能存在a⊂M的情况，故B的结论不一定成立；C中，可能存在a∥M的情况，故C项错误；D中，若a⊥M，a⊂N，由面面垂直的判定定理可知M⊥N，故D项中说法正确．

3．如图所示，在四面体D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是（　　）

A．平面ABC⊥平面ABD

B．平面ABD⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE

D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE

答案　C

解析　因为AB＝BC，且E是AC的中点，所以BE⊥AC.同理，DE⊥AC.又BE∩DE＝E，所以AC⊥平面BDE.

因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.

因为AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.

4．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍．沿AD将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B－AD－C的大小为（　　）

A．30°B．45°

C．60°D．90°

答案　C

解析　由已知得BD＝2CD.翻折后，在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，而AD⊥BD，CD⊥AD，故∠BDC是二面角B－AD－C的平面角，其大小为60°.

5．如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面ABC，点C是圆上的任意一点，图中互相垂直平面的对数为（　　）

A．4B．3C．2D．1

答案　B

解析　∵PA⊥圆O所在平面ABC，

∴平面PAB⊥平面ABC，

同理可得：

平面PAC⊥平面ABC，

∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，

又∵PA⊥圆O所在平面ABC，BC⊂平面ABC，

∴PA⊥BC.

又∵PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC.

∴BC⊥平面PAC.

又∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC.

综上相互垂直的平面共有3对．

6．过两点与一个已知平面垂直的平面（　　）

A．有且只有一个B．有无数个

C．有且只有一个或无数个D．可能不存在

答案　C

解析　设两点为A，B，平面为α，若直线AB⊥α，则过A、B与α垂直的平面有无数个；若直线AB与α不垂直，即直线AB与α平行、相交或在平面α内，均存在唯一平面垂直于已知平面．

7．在正四面体PABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是（　　）

A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAE

C．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC

答案　C

解析　如图所示，∵BC∥DF，

∴BC∥平面PDF，∴A正确．

由BC⊥PE，BC⊥AE，

得BC⊥平面PAE，

∴DF⊥平面PAE，∴B正确．

∴平面ABC⊥平面PAE（BC⊥平面PAE），

∴D正确．

8．如图所示，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是（　　）

A．PB⊥AD

B．平面PAB⊥平面PBC

C．直线BC∥平面PAE

D．直线PD与平面ABC所成的角为45°

答案　D

解析　∵PA⊥平面ABC，

∴∠ADP是直线PD与平面ABC所成的角．

∵六边形ABCDEF是正六边形，

∴AD＝2AB，即tan∠ADP＝

＝

＝1，

∴直线PD与平面ABC所成的角为45°.故选D.

二、填空题

9．已知α，β是两个不同的平面，l是平面α与β之外的直线，给出下列三个论断：

①l⊥α，②l∥β，③α⊥β.

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：

________.（用序号表示）

答案　①②⇒③

解析　由l∥β可在平面β内作l′∥l，又l⊥α，∴l′⊥α，

∵l′⊂β，∴α⊥β，故①②⇒③.

10．下列结论中，所有正确结论的序号是________．

①两个相交平面形成的图形叫做二面角；

②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；

③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角；

④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．

答案　②④

解析　由二面角及二面角的平面角的定义知①③不正确，④正确；②中所成的角虽不是二面角的平面角，但由平面几何的知识易知②正确．

11．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分别在AD和BC上，且EF∥AB，若二面角C1－EF－C等于45°，则BF＝________.

答案　1

解析　由题意知EF⊥BC.

∵CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥EF，

又BC∩CC1＝C，∴EF⊥平面CC1F，

∴EF⊥C1F.

故∠C1FC为二面角C1－EF－C的平面角，

即∠C1FC＝45°，

∵AA1＝1，∴CF＝1，又BC＝2，∴BF＝1.

12．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.（只要填写一个你认为是正确的条件即可）

答案　DM⊥PC（或BM⊥PC等）

解析　由定理可知，BD⊥PC.

∴当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，即有PC⊥平面MBD，

而PC⊂平面PCD，

∴平面MBD⊥平面PCD.

三、解答题

13．如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E为BB1的中点，求证：

截面A1CE⊥侧面ACC1A1.

证明　如图所示，取A1C的中点F，AC的中点G，连接FG，EF，BG，则FG∥AA1，且GF＝

AA1.

因为BE＝EB1，A1B1＝CB，∠A1B1E＝∠CBE＝90°，

所以△A1B1E≌△CBE，所以A1E＝CE.

因为F为A1C的中点，所以EF⊥A1C.

又FG∥AA1∥BE，GF＝

AA1＝BE，且BE⊥BG，

所以四边形BEFG是矩形，所以EF⊥FG.

因为A1C∩FG＝F，所以EF⊥侧面ACC1A1.

又因为EF⊂平面A1CE，所以截面A1CE⊥侧面ACC1A1.

14．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AC，BD交于点E，F是PB的中点．求证：

（1）EF∥平面PCD；

（2）平面PBD⊥平面PAC.

证明　

（1）∵四边形ABCD是正方形，∴E是BD的中点．

又F是PB的中点，∴EF∥PD.

又∵EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，

∴EF∥平面PCD.

（2）∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC.

∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BD.

又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.

又BD⊂平面PBD，

∴平面PBD⊥平面PAC.

四、探究与拓展

15．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．

（1）证明：

D1E⊥A1D；

（2）求AE等于何值时，二面角D1－EC－D的大小为45°？

（1）证明　连接D1A，D1B.

∵在长方形A1ADD1中，AD＝AA1＝1，

∴四边形A1ADD1为正方形，∴A1D⊥AD1.

又由题意知AB⊥A1D，且AB∩AD1＝A，

∴A1D⊥平面ABD1.

∵D1E⊂平面ABD1，∴A1D⊥D1E.

（2）解　过D作DF⊥EC于点F，连接D1F.

∵D1D⊥平面DB，EC⊂平面DB，∴D1D⊥EC.

又DF∩D1D＝D，∴EC⊥平面D1DF.

∵D1F⊂平面D1DF，∴EC⊥D1F，

∴∠DFD1为二面角D1－EC－D的平面角，

∴∠DFD1＝45°，又∠D1DF＝90°，D1D＝1，

∴DF＝1.

在Rt△DFC中，∵DC＝2，∴∠DCF＝30°，

∴∠ECB＝60°.

在Rt△EBC中，∵BC＝1，∴EB＝

，AE＝2－

.