一次函数知识点+例题+随堂习题.docx

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一次函数知识点+例题+随堂习题

一次函数

◆教学目标：

知识掌握

①函数正比例函数一次函数

5

题类掌握

填空题、选择题和各种大题

3

技能掌握

一次函数与一元一次方程及一元一次不等式、一次函数与二元一次方程

2

◆知识要点：

知识点一：

函数

知识点二：

正比例函数

知识点三：

一次函数

知识点四：

一次函数与一元一次方程及一元一次不等式

知识点五：

一次函数与二元一次方程组

◆典型例题+随堂演练：

考点一：

函数

1、变量的定义：

在某一变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量。

变量还分为自变量和因变量。

2、常量的定义：

在某一变化过程中，有些量的数值始终不变，我们称它们为常量。

3、函数的定义：

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与

其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数，y的值称为函数值。

4、函数的三种表示法：

（1）表达式法（解析式法）；

（2）列表法；（3）图象法。

用数学式子表示函数的方法叫做表达式法（解析式法）。

由一个函数的表达式，列出函数对应值表格来表示函数的方法叫做列表法。

把这些对应值（有序的）看成点坐标，在坐标平面内描点，进而画出函数的图象来表示函数的方法叫做图像法。

5、求函数的自变量取值范围的方法．

（1）要使函数的表达式有意义：

整式（多项式和单项式）时为全体实数；分式时，让分母≠0；含二次根号时，让被开方数≠0。

（2）对实际问题中的函数关系，要使实际问题有意义。

注意可能含有隐含非负或大于0的条件。

6、求函数值方法：

把所给自变量的值代入函数表达式中，就可以求出相应的函数值。

7、描点法画函数图象的一般步骤如下：

Step1：

列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；

Step2：

描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；

Step3：

连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

典型例题：

1、汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x之间的函数关系是。

2、圆的周长公式

中，下列说法错误的是（）。

A、

、

、

是变量，2是常量B、

是变量，2

是常量；

C、

是自变量，

是

的函数D、当自变量

时，函数值

随堂演练：

1、圆的面积y（厘米2）与它的半径x之间的函数关系是。

2、直角三角形两锐角的度数分别为x,y，其关系式为______________。

3、下列曲线中，表示

不是

的函数是（）

考点二：

正比例函数

1、正比例函数的定义：

一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。

注意点自变

量x的次数是一次幂，且只含有x的一次项；比例系数k≠0；不含有常数项，只有x一次幂的单项而已。

2、正比例函数图像：

一般地，正比例函数的y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx．

当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限（正奇），从左向右上升，即随着x的增大y

也增大。

当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限（负偶），从左向右下降，即随着x的增大y

反而减小。

画正比例函数的最简单方法：

（1）先选取两点，通常选出（0，0）与点（1，k）；

（2）在坐标平面内描出点（0，0）与点（1，k）；

（3）过点（0，0）与点（1，k）做一条直线。

这条直线就是正比例函数y=kx（k≠0）的

图象。

典型例题：

1、下列说法正确的是（）

A、正比例函数是一次函数B、一次函数是正比例函数

C、正比例函数不是一次函数D、不是正比例函数就不是一次函数

随堂演练：

1、已知函数y=（k-1）x+k2-1，当k________时，它是一次函数，当k=_______时，它是正比例函数。

2、正比例函数

（

为常数，

）的图像经过第象限，函数值随自变量的增大而。

3、如果函数

是正比例函数，则

=。

考点三：

一次函数

1、一次函数的定义：

一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，当b=0时，y=kx+b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数．注意点

自变量x的次数是一次幂，且只含有x的一次项；

比例系数k≠0；

常数项可有可无。

2、一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作由直线y=kx平移│b│个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）。

3、系数k的意义：

k表征直线的倾斜程度，k值相同的直线相互平行，k不同的直线相交。

系数b的意义：

b是直线与y轴交点的纵坐标。

当k>0时，直线y=kx+b从左向右上升，即随着x的增大y也增大。

当k<0时，直线y=kx+b从左向右下降，即随着x的增大y反而减小。

直线y=kx+b与y轴的交点是点（0，b），与x轴的交点是点（-

，0）。

4、一次函数图像和解析式的系数之间的关系

5、画一次函数图像的最简单方法：

（1）先选取两点，通常选出点（0，b）与点（-

，0）；

（2）在坐标平面内描出点（0，b）与点（1，k）；

（3）过点（0，b）与点（-

，0）做一条直线。

这条直线就是正比例函数y=kx+b（k≠0）

的图象。

6、待定系数法确定一次函数解析式：

根据已知的自变量与函数的对应值，或函数图像直线上的点坐标。

步骤：

写出函数解析式的一般形式，其中包括未知的系数（需要确定这些系数，因此叫做待定系数）。

把自变量与函数的对应值（可能是以函数图象上点的坐标的形式给出）即x、y的值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组。

（有几个待定系数，就要有几个方程）解方程或方程组，求出待定系数的值，从而写出所求函数的解析式。

7、解析式与图像上点相互求解的题型

（1）求解析式：

解析式未知，但知道直线上两个点坐标，将点坐标看作x、y值代入解析式组成含有k、b两个未知数的方程组，求出k、b的值在带回解析式中就求出解析式了。

（2）求直线上点坐标：

解析式已知，但点坐标只知道横纵坐标中得一个，将其代入解析式求出令一个坐标值即可。

典型例题：

1、P1（x1，y1），点P2（x2，y2）是一次函数y＝－4x+3图象上的两个点，且x1＜x2，则y1与y2的大小关系是（）

A、y1＞y2B、y1＞y2＞0C、y1＜y2D、y1＝y2

2、一次函数y=kx+b满足x=0时，y=-1；x=1时，y=1，则这个一次函数是（）

A、y=2x+1B、y=-2x+1C、y=2x-1D、y=-2x-1

3、已知等腰三角形的周长为20cm，将底边y（cm）表示成腰长x（cm）的函数关系式是y=20-2x，则其自变量的取值范围是（）

A、00D、一切实数

随堂演练：

1、下列一次函数中，y随x值的增大而减小的（）

A、y=2x+1B、y=3-4xC、y=

x+2D、y=（5-2）x

2、已知一次函数y=mx+│m+1│的图象与y轴交于（0，3），且y随x值的增大而增大，则m的值为（）

A、2B、-4C、-2或-4D、2或-4

3、在同一坐标系中，对于函数①y=-x-1，②y=x+1，③y=-x+1，④y=-2（x+1）的图象，通过点（-1，0）的是________，相互平行的是_______，交点在y轴上的是_____。

（填写序号）

4、已知一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A（-6，0），与y轴交于点B，若△AOB的面积是12，且y随x的增大而减小，

你能确定这个一次函数的关系式吗？

考点四：

一次函数与一元一次方程及一元一次不等式

1、由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：

当某个一次函数的值y=0时，求相应的自变量x的值，从图象上看，这相当于已知直线y=ax+b，确定它与x轴交点的横坐标的值。

2、由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看出当一次函数值y大（小）于0时，求自变量x相应的取值范围。

用一次函数图象来解首先找到直线中满足y>（<）0的部分，然后判断这部分线的x的取值范围。

典型例题：

1、如图，直线

经过

，

两点，则不等式

的解集为。

随堂演练：

1、一次函数的图象经过点A（-2，-1），且与直线y=2x-3平行，则此函数的解析式为（）

A、y=x+1B、y=2x+3C、y=2x-1D、y=-2x-5

2、若一次函数y=bx+2的图象经过点A（-1，1），则b=__________。

3、已知一次函数的图象经过点A（-3，2）、B（1，6）。

①求此函数的解析式，并画出图象。

②求函数图象与坐标轴所围成的三角形面积。

考点五：

一次函数与二元一次方程

1、解二元一次方程组

可以看作求两个一次函数y=-

x+

与y=2x-1图象的交点坐标。

2、求两条直线的交点的方法：

将两条直线的解析式组成方程组，求解方程组的x、y的值即为两直线交点坐标。

典型例题：

1、已知直线m与直线y=2x+1的交点的横坐标为2，与直线y=-x+2的交点的纵坐标为1，求直线m的函数关系式。

随堂演练：

1、某农户种植一种经济作物，总用水量

（米

）与种植时间

（天）之间的函数关系式如图所示．

⑴第

天的总用水量为多少米

？

⑵当

时，求

与

之间的函数关系式。

⑶种植时间为多少天时，总用水量达到7000米

？

2、某一次函数的图象与直线y=6-x交于点A（5，k），且与直线y=2x-3无交点，求此函数的关系式。

3、某移动通讯公司开设两种业务：

业务类别

月租费

市内通话费

说明：

1分钟为1跳次，不足1分钟按

1跳次计算，如3.2分钟为4跳次．

全球通

50元

0.4元/跳次

神州行

0元

0.6元/跳次

若设某人一个月内市内通话x跳次，两种方式的费用分别为y元和y元．

①写出y、y与x之间的函数关系式；

②一个月内市内通话多少跳次时，两种方式的费用相同？

③某人估计一个月内通话300跳次，应选择哪种方式合算？

课后作业（第3次）

一、填空题

1、已知一个正比例函数的图象经过点（-2，4），则这个正比例函数的表达式是。

2、已知一次函数y=kx+5的图象经过点（-1，2），则k=。

3、一次函数y=-2x+4的图象与x轴交点坐标是，与y轴交点坐标是。

图象与坐标轴所围成的三角形面积

是。

4、下列三个函数y=-2x,y=-

x,y=（

-

）x共同点

（1）；

（2）；

（3）。

5、某种储蓄的月利率为0.15%，现存入1000元，则本息和y（元）与所存月数x之间的函数关系式是。

6、写出同时具备下列两个条件的一次函数表达式（写出一个即可）。

（1）y随着x的增大而减小。

（2）图象经过点（1，-3）

7、某商店出售一种瓜子，其售价y（元）与瓜子质量x（千克）之间的关系如下表

质量x（千克）

1

2

3

4

……

售价y（元）

3.60+0.20

7.20+0.20

10.80+0.20

14.40+0.2

……

由上表得y与x之间的关系式是。

x

-2

-1

0

1

2

3

y

-5

-2

1

4

7

10

8、在计算器上按照下面的程序进行操作：

下表中的x与y分别是输入的6个数及相应的计算结果：

上面操作程序中所按的第三个键和第四个键应是。

二、选择题

9、下列函数

（1）y=πx

（2）y=2x-1（3）y=

（4）y=2-1-3x（5）y=x2-1中，是一次函数的有（）

A、4个B、3个C、2个D、1个

10、已知点（-4，y1），（2，y2）都在直线y=-

x+2上，则y1y2大小关系是（）

A、y1>y2B、y1=y2C、y1

11、一支蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧5厘米，燃烧时剩下的高度n（厘米）与燃烧时间t（时）的函数关系的图象是（）

ABCD

12、已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则k，b的符号是（）

A、k>0，b>0B、k>0，b<0

C、k<0，b>0D、k<0，b<0

13、弹簧的长度ycm与所挂物体的质量x（kg）的关系是一次函数，图象

如右图所示，则弹簧不挂物体时的长度是（）

A、9cmB、10cmC、10.5cmD、11cm

14、若把一次函数y=2x－3，向上平移3个单位长度，得到图象解析式是（）

A、y=2xB、y=2x－6C、y=5x－3D、y=－x－3

15、下面函数图象不经过第二象限的为（）

A、y=3x+2B、y=3x－2C、y=－3x+2D、y=－3x－2

16、阻值为

和

的两个电阻，其两端电压

关于电流强度

的函数图象如图，则阻值（）

A、

＞

B、

＜

C、

＝

D、以上均有可能

三、解答题

17、在同一坐标系中，作出函数y=-2x与y=

x+1的图象。

18、已知函数y=（2m+1）x+m-3

（1）若函数图象经过原点，求m的值；

（2）若函数图象在y轴的截距为－2，求m的值；

（3）若函数的图象平行直线y=3x–3，求m的值；

（4）若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围。

19、如图是某出租车单程收费y（元）与行驶路程x（千米）之间的函数关系图象，根据图象回答下列问题

（1）当行驶8千米时,收费应为元。

（2）从图象上你能获得哪些信息?

（请写出2条）

（3）求出收费y（元）与行使x（千米）（x≥3）之间的函数关系式

20、为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，各地采用价格调控手段达到节约用水的目的，某市规定如下用水收费标准：

每户每月的用水量不超过6立方米时，水费按每立方米a元收费,超过6立方米时，不超过的部分每立方米仍按a元收费，超过的部分每立方米按c元收费，该市某户今年9、10月份的用水量和所交水费如下表所示：

设某户每月用水量x（立方米），应交水费y（元）

月份

用水量（m3）

收费（元）

9

5

7.5

10

9

27

（1）求a，c的值

（2）当x≤6，x≥6时，分别写出y于x的函数关系式。

（3）若该户11月份用水量为8立方米，求该户11月份水费是多少元?

21、一农民带上若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用,按市场价售出一些后，又降价出售，售出的土

豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系，如图所示，结合图象回答下列问题。

（1）农民自带的零钱是多少?

（2）试求降价前y与x之间的关系式。

（3）由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多少?

（4）降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是26元，试问他一共带了多少千克土豆?

参考答案

一、1、y=—2x2、33、（2，0）（0，4）4

4、都是正比例函数，都是经过二、四象限的直线，y随x的增大而减少。

5、y=1000+1.5x6、y=—x—27y=0.2+3.60x8、+1

二、BADDBABA

三、18、

（1）3

（2）1（3）1（4）

19、

（1）10

（2）略（3）y=1.2x+1.4

20、

（1）a=1.8c=5.4

（2）当x≤6时，y=1.8x；当x≥6时,y=5.4x－21.6（3）21.6元

21、

（1）5元

（2）y=0.5x+5（3）0.5元/㎏（4）40㎏