完整版相交线与平行线讲义1.docx
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完整版相交线与平行线讲义1
第五章相交线与平行线
5.1.1相交线
【学习目标】了解邻补角、对顶角,能找出图形中的一个角的邻补角和对顶角,理解对顶角相等,并能运用它解决一些问题.
【学习过程】
一、学前准备
对七年级上学过的直线、射线、线段、角做总结.
二、探索思考
探索一:
完成课本P2页的探究,填在课本上.
你能归纳出“邻补角”的定义吗?
.
“对顶角”的定义呢?
.
练习一:
1.如图1所示,直线AB和CD相交于点O,OE是一条射线.
(1)写出∠AOC的邻补角:
__________;
(2)写出∠COE的邻补角:
__;
(3)写出∠BOC的邻补角:
__________;
(4)写出∠BOD的对顶角:
_____.
2.如图所示,∠1与∠2是对顶角的是()
探索二:
任意画一对对顶角,量一量,算一算,它们相等吗?
如果相等,请说明理由.
请归纳“对顶角的性质”:
.
练习二:
1.如图,直线a,b相交,∠1=40°,则∠2=_______∠3=_______∠4=_______
2.如图直线AB、CD、EF相交于点O,∠BOE的对顶角是______,∠COF的邻补角是____,若∠AOE=30°,那么∠BOE=_______,∠BOF=_______
3.如图,直线AB、CD相交于点O,∠COE=90°,∠AOC=30°,∠FOB=90°,则∠EOF=_____.
三、当堂反馈
1.若两个角互为邻补角,则它们的角平分线所夹的角为度
2.如图所示,直线a,b,c两两相交,∠1=60°,∠2=
∠4,求∠3、∠5的度数.
3.如图所示,有一个破损的扇形零件,利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数,你能说出所量的角是多少度吗?
你的根据是什么?
4.探索规律:
(1)两条直线交于一点,有对对顶角;
(2)三条直线交于一点,有对对顶角;
(3)四条直线交于一点,有对对顶角;
(4)n条直线交于一点,有对对顶角.
5.1.2垂线
【学习目标】1了解垂线、点到直线的距离的意义,理解垂线和垂线段的性质;
2会用三角板过一点画已知直线的垂线,并会度量点到直线的距离.
【学习过程】
一、学前准备
在学习对顶角知识的时候,我们认识了“两线四角”,及两条直线相交于一点,得到四个角,这四个角里面,有两对对顶角,它们分别对应相等,如图,可以说成“直线AB与CD相交于点O”.
我们如果把直线CD绕点O旋转,无论是按照顺时针方向转,还是按照逆时针方向转,∠BOD的大小都将发生变化.
当两条直线相交所成的四个角中有一个为直角时,叫做这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫垂线,它们的交点叫垂足.如图
用几何语言表示:
方式⑴∵∠AOC=90°∴AB_____CD,垂足是_____
方式⑵∵AB⊥CD于O∴∠AOC=______
二、探索思考
探索一:
请你认真画一画,看看有什么收获.
⑴如图1,利用三角尺或量角器画已知直线
的垂线,这样的垂线能画__________条;
⑵如图2,经过直线
上一点A画
的垂线,这样的垂线能画_____条;
⑶如图3,经过直线
外一点B画
的垂线,这样的垂线能画_____条;
(图1)(图2)(图3a)(图3b)
经过探索,我们可以发现:
在同一平面内,过一点有且只有_____条直线与已知直线垂直.
练习一:
1.如图所示,OA⊥OB,OC是一条射线,若∠AOC=120°,
求∠BOC度数
2.如图所示,直线AB⊥CD于点O,直线EF经过点O,
若∠1=26°,求∠2的度数.
3.如图所示,直线AB,CD相交于点O,P是CD上一点.
(1)过点P画AB的垂线PE,垂足为E.
(2)过点P画CD的垂线,与AB相交于F点.
(3)比较线段PE,PF,PO三者的大小关系
探索二:
仔细观察测量比较上题中点P分别到直线AB上三点E、F、O的距离,你还有什么收获?
请将你的收获记录下来:
_______________________________________________
简单说成:
.还有,直线外一点到这条直线的垂线段的叫做点到直线的距离.注意:
垂线是,垂线段是一条,点到直线的距离是一个数量,不能说“垂线段”是距离.
练习二:
1.在下列语句中,正确的是().
A.在同一平面内,一条直线只有一条垂线
B.在同一平面内,过直线上一点的直线只有一条
C.在同一平面内,过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条
D.在同一平面内,垂线段就是点到直线的距离
2.如图所示,AC⊥BC,CD⊥AB于D,AC=5cm,BC=12cm,AB=13cm,则点B到AC的距离是________,点A到BC的距离是_______,点C到AB的距离是_______,AC>CD的依据是_________.
三、当堂反馈
1.如图所示AB,CD相交于点O,EO⊥AB于O,FO⊥CD于O,∠EOD与∠FOB的大小关系是()
A.∠EOD比∠FOB大B.∠EOD比∠FOB小
C.∠EOD与∠FOB相等D.∠EOD与∠FOB大小关系不确定
2.如图,一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶,C,D是分别位于公路AB两侧的加油站.设汽车行驶到公路AB上点M的位置时,距离加油站C最近;行驶到点N的位置时,距离加油站D最近,请在图中的公路上分别画出点M,N的位置并说明理由.
3.如图,AOB为直线,∠AOD:
∠DOB=3:
1,OD平分∠COB.
(1)求∠AOC的度数;
(2)判断AB与OC的位置关系.
5.1.3同位角、内错角、同旁内角
【学习目标】1使学生理解三线八角的意义,并能从复杂图形中识别它们;
2通过三线八角的特点的分析,培养学生抽象概括问题的能力.
【学习过程】
一、学前准备
在前面我们学习了两条直线相交于一点,得到四个角,即“两线四角”,这四个角里面,有对对顶角,有对邻补角.如果是一条直线分别与两条直线相交,结果又会怎样呢?
二、探索思考
探索:
如图,直线c分别与直线a、b相交(也可以说两条
直线a、b被第三条直线c所截),得到8个角,通常称为
“三线八角”,那么这8个角之间有哪些关系呢?
观察填表:
表一
位置1
位置2
结论
∠1和∠5
处于直线c的同侧
处于直线a、b的同一方
这样位置的一对角就称为同位角
∠2和∠8
处于直线c的()侧
这样位置的一对角就称为()
∠3和∠6
处于直线a、b的()方
这样位置的一对角就称为()
∠1和∠5
这样位置的一对角就称为()
表二
位置1
位置2
结论
∠4和∠8
处于直线c的两侧
处于直线a、b之间
这样位置的一对角就称为内错角
∠3和∠5
这样位置的一对角就称为()
表三
位置1
位置2
结论
∠3和∠8
处于直线c的()侧
处于直线a、b()
这样位置的一对角就称为同旁内角
∠4和∠5
这样位置的一对角就称为()
练习:
1.如图1所示,∠1与∠2是___角,∠2与∠4是_角,∠2与∠3是___角.
(图1)(图2)(图3)
2.如图2所示,∠1与∠2是____角,是直线______和直线_______被直线_______所截而形成的,∠1与∠3是_____角,是直线________和直线______被直线________所截而形成的.
3.如图3所示,∠B同旁内角有哪些?
三、当堂反馈
1.如图,
(1)直线AD、BC被直线AC所截,找出图中由AD、BC被直线AC所截而成的内错角是_________和__________
(2)∠3和∠4是直线_________和_________被_________所截,构成内错角.
2.已知∠1与∠2是同旁内角,且∠1=60°,则∠2为()
A.60°B.120°C.60°或120°D.无法确定
3.如图,判断正误
①∠1和∠4是同位角;()
②∠1和∠5是同位角;()
③∠2和∠7是内错角;()
④∠1和∠4是同旁内角;()
4.如图,直线DE、BC被直线AB所截.
⑴∠1与∠2、∠1与∠3、∠1与∠4各是什么角?
⑵如果∠1=∠4,那么∠1和∠2相等吗?
∠1和∠3互补吗?
为什么?
5.2.1平行线
【学习目标】1使学生知道平行线的概念,掌握平行公理;
2了解平行线具有传递性,能够画出已知直线的平行线.
【学习过程】
一、学前准备
在上学期我们学过点和直线的位置关系,还记得点和直线有几种位置关系吗?
请画出来,并尝试用几何语言来表示.
二、探索思考
探索一:
我们知道,火车行驶的两条笔直的铁轨、人行道上的斑马线等都给我们平行的形象.一般地,在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.如图,记作“
∥
”或“AB∥CD”,读作“直线
平行于直线
”.请同学们思考一下:
在同一平面内,两条不重合的直线有几种位置关系?
动手画一画,并尝试用几何语言来表示..
练习一:
1.下列说法中,正确的是().
A.两直线不相交则平行B.两直线不平行则相交
C.若两线段平行,那么它们不相交D.两条线段不相交,那么它们平行
2.在同一平面内,有三条直线,其中只有两条是平行的,那么交点有().
A.0个B.1个C.2个D.3个
探索二:
请同学们仔细阅读课本P13页“平行线的讨论”,认真思考.通过观察和画图,可以体验一个基本事实(平行公理):
经过直线外一点,一条直线与这条直线平行.
同样,我们还有(平行线的传递性):
如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.简单的说就是:
平行于同一直线的两直线平行.
用几何语言可表示为:
如果
∥
,
∥
,那么.
练习二:
1.如图1所示,与AB平行的棱有_______条,与AA′平行的棱有_____条.
2.如图2所示,按要求画平行线.
(1)过P点画AB的平行线EF;
(2)过P点画CD的平行线MN.
3.如图3所示,点A,B分别在直线
,
上,
(1)过点A画到
的垂线段;
(2)过点B画直线
∥
.
(图1)(图2)(图3)
4.下列说法中,错误的有().
①若a与c相交,b与c相交,则a与b相交;
②若a∥b,b∥c,那么a∥c;
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;
④在同一平面内,两条直线的位置关系有平行、相交、垂线三种
A.3个B.2个C.1个D.0个
三、当堂反馈
1.在同一平面内,一条直线和两条平行线中一条直线相交,那么这条直线与平行线中的另一边必__________.
2.同一平面内,两条相交直线不可能与第三条直线都平行,这是因为________________.
3.判断题
(1)不相交的两条直线叫做平行线.()
(2)在同一平面内,不相交的两条射线是平行线.()
(3)如果一条直线与两条平行线中的一条平行,那么它与另一条也互相平行.()
4.读下列语句,并画出图形:
⑴点P是直线AB外一点,直线CD经过点P,且与直线AB平行,直线EF也经过点P且与直线AB垂直.
⑵直线AB,CD是相交直线,点P是直线AB,CD外一点,直线EF经过点P且与直线AB平行,与直线CD相交于E.
5.2.2平行线的判定
【学习目标】使学生掌握平行线的判定,并能应用这些知识判断两条直线是否平行,培养学生简单的推理能力.
【学习过程】
一、学前准备
还知道“三线八角”吗?
请画一画,找出一组同位角、一组内错角、一组同旁内角.
二、探索思考
探索一:
请同学们仔细阅读课本P13页“平行线判定的思考”,你知道在画平行线这一过程中,三角尺所起的作用吗?
由此我们可以得到平行线的判定方法,如图,将下列空白补充完整(填1种就可以)
判定方法1(判定公理)
几何语言表述为:
∵∠___=∠___∴AB∥CD
由判定方法1,结合对顶角的性质,我们可以得到:
判定方法2(判定定理)
几何语言表述为:
∵∠___=∠___∴AB∥CD
由判定方法1,结合邻补角的性质,我们可以得到:
判定方法3(判定定理)
几何语言表述为:
∵∠___+∠___=180°∴AB∥CD
练习一:
(1题)(2题)(3题)
1.如图1所示,若∠1=∠2,则_____∥______,根据是______.
若∠1=∠3,则______∥______,根据是_________.
2.如图2所示,若∠1=62°,∠2=118°,则_____∥_____,根据是________
3.根据图3完成下列填空(括号内填写定理或公理)
(1)∵∠1=∠4(已知)
∴ ∥ ()
(2)∵∠ABC+∠=180°(已知)
∴AB∥CD()
(3)∵∠=∠(已知)
∴AD∥BC()
(4)∵∠5=∠(已知)
∴AB∥CD()(图3)
探索二:
木工师傅用角尺画出工件边缘的两条垂线,就可以再找出两条平行线,如图所示,
∥
,你能说明是什么道理吗?
结论(判定推论):
在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行.简记为:
在同一平面内,垂直于同一直线的两直线平行.
如图,几何语言表述为:
∵
⊥
,
⊥
∴
练习二:
1.如图所示,AB⊥BC,BC⊥CD,BF和CE是射线,并且∠1=∠2,
试说明BF∥CE.
三、当堂反馈
1.如图所示,在下列条件中,不能判断L1∥L2的是().
A.∠1=∠3B.∠2=∠3
C.∠4+∠5=180°D.∠2+∠4=180°
2.如图所示,已知∠1=120°,∠2=60°.试说明
与
的关系?
3.如图所示,已知∠OEB=130°,∠FOD=25°,OF平分∠EOD,试说明AB∥CD.
相交线与平行线专项练习题
一、选择题:
1.如图,DE∥AB,∠CAE=
∠CAB,∠CDE=75°,∠B=65°则∠AEB是()
A.70°B.65°C.60°D.55°
1题2题3题4题
2.如图所示,∠1的邻补角是()
A.∠BOCB.∠BOE和∠AOFC.∠AOFD.∠BOC和∠AOF
3.如图所示,内错角共有()A.4对B.6对C.8对D.10对
4.如图,直线a、b被直线c所截,现给出下列四个条件:
(1)∠1=∠5;
(2)∠1=∠7;(3)∠2+∠3=180°;(4)∠4=∠7,其中能判定a∥b的条件的序号是()
A.
(1)、
(2)B.
(1)、(3)C.
(1)、(4)D.(3)、(4)
5.如图,点E在BC的延长线上,在下列四个条件中,不能判定AB∥CD的是()
A.∠1=∠2B.∠B=∠DCEC.∠3=∠4D.∠D+∠DAB=180°
5题
6题
7题
8题
9题
6.如图,如果AB∥CD,则α、β、γ之间的关系为()
A.α+β+γ=360°B.α-β+γ=180°C.α+β-γ=180°D.α+β+γ=180°
7.如图,AB∥CD,那么∠A,∠P,∠C的数量关系是()
A.∠A+∠P+∠C=90°B.∠A+∠P+∠C=180°C.∠A+∠P+∠C=360°D.∠P+∠C=∠A
8.如图,AB∥CD,∠ABF=
∠ABE,∠CDF=
∠CDE,则∠E∶∠F等于()
A.2:
1B.3:
1C.3:
2D.4:
3
9.如图,AB⊥EF,CD⊥EF,∠1=∠F=45°,那么与∠FCD相等的角有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题:
10.观察图中角的位置关系,∠1和∠2是______角,∠3和∠1是_____角,∠1和∠4是_______角,∠3和∠4是_____角,∠3和∠5是______角.
10题
11题
12题
13题14题15题
11.如图,已知CD⊥AB于D,EF⊥AB于F,∠DGC=105°,∠BCG=75°,则∠1+∠2=____度.
12.如图,AB∥CD,∠BAE=120º,∠DCE=30º,则∠AEC=度。
13.如图,按虚线剪去长方形纸片相邻的两个角,并使∠1=1200,AB⊥BC,则∠2的度数为。