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对桁架结构稳定分析经典理论的讨论
对桁架结构稳定分析经典理论的讨论
第22卷第3期
2005年6月
计算力学
ChineseJournalofComputationalMechanics
VO1.22,NO.3
June2005
文章编号:
1007—4708（2005）03—0316-04
对桁架结构稳定分析经典理论的讨论
孙焕纯,王跃A-
（大连理工大学工程力学系,辽宁大连116023）
摘要:
通过算例讨论了桁架结构稳定分析的经典理论,指出用该理论算出的临界荷载远远大于屈曲I临界荷载,
而且压杆的应力远远超过压缩强度极限.文中分析了问题的来源,提出了桁架结构临界荷载的屈曲理论计算方
法,通过比较说明了屈曲理论的正确性.
关键词:
桁架;稳定性;I盗界荷载;屈曲理论
中图分类号:
0343文献标识码:
A
1引言
桁架结构的稳定性经典理论已被收入到结构力
学着作中[1].作者在研究受稳定性约束的桁架结构
优化设计问题时发现,应用该理论计算出的临界荷
载非常大,甚至根本不控制优化设计.换句话说,只
要其他约束满足设计要求,结构就永远不会失稳.但
是事实并非如此,即使其他约束都满足规范要求,桁
架仍有可能发生失稳破坏,即人们常说的屈曲失稳.
这一发现使作者探索用屈曲理论计算桁架临界荷载
的新方法D],同时探明桁架整体失稳与各个杆件局
部失稳之间的关系,认识到整体失稳恰恰是杆件局
部失稳的累积,使桁架形成机构而丧失承载能力造
成的.研究发现,经典的桁架稳定分析理论的基本依
据:
（1）小变形平衡方程引入几何刚度阵后,认为杆
件的轴向压力与外荷载成同一比例关系直至失稳.
（2）结构失稳前各杆件始终保持直线构形.（3）失
稳是由于发生超大变形,丧失承载能力造成的.（4）
桁架的临界荷载与杆件的截面惯性矩无关,从而与
绝对长度无关等应当予以修正.桁架在整体失稳前
是可以发生局部杆件的失稳的.
2对桁架稳定性分析经典
理论的回顾
用经典理论研究桁架结构的稳定分析及临界
荷载的计算问题[1].设桁架的杆件数为,其中第
个杆件的长度为.,轴向刚度为（EA）.单元局部坐
收稿日期:
2003—09—19;修改稿收到日期:
2004—08一O1.
基金项目:
国家自然科学基金（100032010;10032030）;大连
理工大学211工程建设项目资助.
作者简介:
孙焕纯（1927一）,男,教授,博士生导师.
图l杆单元的局部坐标系
Fig.1Localcoordinatesystemofbarelement
标系如图1所示,该杆的两个节点的位移自由度
分别是U∽UU..和UU∽U..作用在节点上的荷
载分别是PPP.和PPP假设杆件始终
保持直线构形,杆件内任意一点的位移可以表示为
节点位移的插值函数:
Ui一N.（z）d.,Ui一Ⅳ.（z）d,Uk—N.:
（x）di
（1）
其中节点位移d=Eu.l,UI2,Ul3,U㈤UUi6],形函
数阵
fN（z）一E1一x/l,0,0,1一x/l.,o,O]
{Ⅳ（z）一Eo,x/t,0,0,x/t,oJ
（2）
lN.（z）一Eo,0,x/1,0,0,x/t]
在小变形,直线平衡状态下,杆件的位移一应
变关系,即几何方程（考虑小应变,大转动）为
一
警+专（警）+1（警）c3
略去应变的高阶小量,得到杆件的应变能
=
[（警）+（警）+警（）dz=
id
.
TK+idXK
adz（4）
其中,单元弹性刚度阵和几何刚度阵分别为
KfE一（EA）I'B:
Bdx
B一[一丢,o,0,去,o,0]（5）
第3期孙焕纯,等:
对桁架结构稳定分析经典理论的讨论
KG一（E）a
zJ
rt
.
i
（,
N.
TN+ⅣTⅣ）dx（6）
将各单元的刚度矩阵和节点荷载矩阵做坐标
变换,并进行组集:
fK一∑一∑一KiaKc,d一∑_lf一一,一
{,二（7）
【P一∑[,一Pi2.,;,,_l]
=1
以上的求和符号表示单元矩阵的组集,瓦和瓦.表
示在总体坐标系内的单元弹性和几何刚度矩阵;
d.,∽∞…,s分别表示总体坐标系内的节点位
移向量和节点荷载.整个结构的应变能和外力势能
写作:
一
∑U一l（dKEd+dTKad）
i=1一
V一一dP（8）
利用总势能驻值条件,（+）一0,得到结
构的平衡方程
（E+KG）d—P（9）
失稳发生时结构丧失承载能力,总体刚度阵成
为奇异矩阵.经典理论认为,如果节点荷载为P,
那么结构的几何刚度阵为XKc.当结构发生整体失
稳时,有
det（E+XKG）:
0（10）
求解上面的线性广义特征值问题,得到临界稳
定系数,和临界荷载,P.
下面举出二杆和五杆平面桁架的两个算例,根
据上述的经典理论,导出它们的临界荷载的解析解
并指出经典理论解的问题.
3对桁架稳定性分析经典理论的
讨论——两个算例
3.1二杆平面桁架的临界荷载经典解
本例引自文献E2],其结构如图2所示.杆①
为垂直杆,其一端作用轴向荷载P,杆②与水平方
向的夹角为45.;两杆的截面积分别为和,杆
长分别为z和2z.下面用经典理论求结构的失稳
临界荷载.由位移法知结构的弹性矩阵为
（11）
Fig.2Two—barplanartruss
其中a—A/,结构的几何刚度阵和总体刚度阵
分别为
c一
:
]
和
一
[H+2122zI】】+2~,,口I
（13）
其中E为材料的弹性模量,为稳定系数,Ⅳ为荷
载P作用下杆①的轴力,N一P,A一2~/_/
（E）.由失稳条件det（+AKG）=0,得到临界
荷载系数:
一一————=.._=_
lE（14）
P（1+22口）
另一经典文献E43也得到了相同的结果.不失
一
般性,令P一1N,口一1（即A:
==A）,由式（14）
得一一A1E（22—1）/7=一0.2612A1E,失
稳发生时杆①的临界应力为0"c¨一一0.2612E.不
妨取E一200GPa,则0"or.1一一52.28GPa,这远远
超过了材料的许用强度（大约为一140MPa）.也
就是说,未等整体失稳发生,①号杆早就因为应力
超过压缩强度而破坏了,也肯定早就局部失稳了.
由式（14）,当截面积给定后,只与杆件的截面和
弹性模量以及两杆件的相对长度有关,却与它们的
绝对长度和截面惯性矩无关,这与屈曲失稳理论不
一
致.
3.2五杆平面桁架的临界荷载经典解
图3为一个五杆平面桁架,其中z一4rrl,荷载
工况:
P.一P:
一1kN.各杆件的截面积为.,:
.,A'一A.,A一A1.其余符号意义同上例.
计算力学第22卷
图3五杆平面桁架
Fig.3Five—barplanartrlls$
令a.一A./A,一A./A.,弹性刚度阵和几何
刚度阵分别为
AlE
—
1P1E
而
+z
2
T一丁
2
丁一丁
下
/-2+J'0I
（15）
竿竿
竿¨z+竽Ⅳ
（16）
其中A—/（E）.由此可计算出总体刚度阵
+c.为求临界稳定系数值,令弹性模量E一
200GPa,假设选用的是圆杆,截面积分别为A一
0.7854cm,A2—0.125564cin,A3—4.9087cm,
于是口.一0.16,一6.2499;各杆的截面抗弯惯
性矩分别为Jl
（1）一0.049087cIn,J2
（2）一
0.00125564cin,J3（3）=1.9175cm;各杆的内
力为N1一一0.8871kN,N2==:
0.1180kN,
N.一一0.8333kN.将它们代入式（10）,得到
1.1878A.一11.9593+2O.7054—0（17）
临界稳定系数,一2.2215AlE一3.4895×
1O,对应的临界荷载为P一.Pl一3.4895x10
kN.按照这个荷载,杆件的内力分别是N.一
一
3.0955×10kN,N一0.4118×10kN,
N3一一2.9078×10kN;杆件的应力是一
一
394.13GPa,一327.93GPa,一一59.24
GPa,均远远高出材料的许用拉压强度极限一140
MPa.显而易见,在这样大的压应力作用下,桁架不
仅已经屈曲失稳,而且早就压坏了.由此再次看出
桁架稳定分析理论结果的不合理性.
4临界荷载的屈曲理论一解法和讨论
作者曾提出过用屈曲理论计算桁架临界荷载
的方法引,现回顾如下:
给定设计荷载向量P==:
{PP,…,P,其
中P为节点的荷载向量.将P按比例由1增至一
个临界值,使抵抗屈曲最弱的一个（或一批）杆
件首先达到临界轴向压力Ⅳ然后继续加载.在加
载过程中,那些已经失稳的杆件的轴力不再增加,
而维持为临界压力Ⅳ,因为桁架仍处于小变形状
态,结构尚未形成机构,余下的未失稳的杆件构成
新的结构,还可以继续承载,且轴力的增量与荷载
的增量成比例.当荷载增加到P+△P时,第二
个（或第二批）杆件因压力达到临界值而失稳.同
样地,维持其临界压力,用余下未失稳的杆件组成
新结构,继续加载到.P+△尸+△.P,使下一个
（批）杆件发生失稳.就这样不断地加载,直到结构
变成机构,彻底丧失抵抗荷载的能力为止.最终得
到临界稳定系数和I临界荷载分别为
K一1
一
+△,,P,一,P（18）
J一1
其中为失稳杆件的个（批）数.由此可见,
（1）
杆件的内力的变化与外荷载不是始终成比例关系.
（2）桁架失稳前始终处于小变形状态,并不违反平
衡方程成立的原始假定.（3）桁架的失稳是在小变
形下突然发生的,而不是像经典稳定分析理论假设
的那样,杆件的累积变形大到改变了结构的初始构
形而造成桁架失稳.（4）桁架失稳时至少有一个杆
件已经屈曲,不再像经典理论假设的那样,处于直
线平衡的形态.
现在重新计算五杆桁架的例子.用屈曲理论算
得的临界荷载是P一0.2796kN.第一批失稳的
杆件是①和⑤号杆,.一0.03413（剩下的②,⑧,
④号杆已经成为机构,但仍可承受对称荷载）;第
二批失稳的杆件是⑧和④号杆,△.一0.2455,结
构彻底垮了.因此,临界稳定系数一0.2796,仅
为经典理论解的1/1248O3.
通过上节和本节的结果比较,可以清楚地看到
桁架的经典稳定分析理论存在着问题,重温这个理
论的原始论述和推导过程中的初始假定,就不难明
白问题的根源.这些假定可以概括为
（1）原始的平衡方程是在小变形前提下假定
内力与荷载成比例地增加而导出的.然而,一旦引
入了几何刚度阵,平衡方程就成为非线性方程,内
力,位移等与荷载的比例关系不再存在.
（2）一些文献（如文献[2]）假定几何方程是
非线性的,即应变含有位移一阶导数的平方项（变
形仍然不能很大）,但仍假定失稳前各杆的内力始
终随荷载按同一比例增长,这是不正确的.
（3）假定桁架失稳前,所有杆件始终保持直线
状态,失稳是由于桁架发生超大变形,失去了抵抗
第3期孙焕纯,等:
对桁架结构稳定分析经典理论的讨论319
荷载的能力而引起的.这明显违背了方程成立的初
始假定,即小变形假定.
（4）临界荷载只与杆件的相对长度和截面积
有关,而与绝对长度和截面惯性矩无关,这也是不
正确的.
5结论
实际的桁架整体失稳可以概括为:
结构在整个
加载过程中始终处于小变形状态,整体失稳是在小
变形下突然发生的;失稳前,杆件并不始终处于直
线平衡状态,某些杆件已经发生了屈曲变形.桁架
的整体失稳主要是由杆件屈曲失稳的累积,导致桁
架形成机构造成的.从加载开始到发生整体失稳的
过程中,各杆件的内力并不同比例地增加,因此,稳
定分析经典理论不应被提成式（10）的线性特征值
问题.通用的结构分析理论把桁架杆件看成二力
杆,没有考虑截面的抗弯刚度,因此用经典理论无
法计算杆件的屈曲失稳,这是它固有的缺陷,由此
导致了过高的临界稳定系数值,本文对此做了合理
的修正.
应当指出,在文献[1]和文献[3-1中,仅当桁架
可看成是一根受轴向压力的细长杆,且在受轴向压
力的同时受到中点一微小横向扰动时,经典稳定理
论得到的临界荷载才接近于屈曲理论的解,但从未
出现前者小于后者的情况.由此推断,在一般情况
下,只要设计时保证各杆的局部稳定,则桁架整体
必稳定.
本文提出的稳定分析理论称线性欧拉理论,适
用于一般桁架和高跨比大于1/40的小扁度桁架.
近些年发展起来的几何非线性临界点稳定理论（例
如文献E53）经我们仔细研究发现,它只适用于特扁
（高跨比远远小于1）桁架.
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（1）:
139—144.
Commentonclassicaltheoryofstabilityanalysisfortrussstructures
SUNHuan—chun,WANGYue—fang
（DepartmentofEngineeringMechanics,DalianUniversityofTechnology,Dalian116024）
Abstract:
Theclassicaltheoryofstabilityanalysisfortrussstructuresisinvestigatedindetails.Itpoints
outthatthecriticalloadobtainedfromtheclassicaltheoryisunreasonablytoolargerthantheonefrom
thelocalbucklingtheory.Itshowedthattheproblemisduetothebasicassumptionsoftheclassical
theory:
（1）theaxialcompressiveinternalforceisconsidereduniquelyproportionaltotheexternal
loadingtillabucklinghappens,
（2）themembersremaininstraightlinesbeforethebuckling,（3）the
bucklingisdevelopedbyalargedeformation,causingthestructuretoloseitsload—carryingcapacity,
and（4）thecriticalloadisunrelatedtothecross—sectionalmomentaswellastheabsolutelengthofthe
members.Theauthorspointoutthattheabovementionedassumptionsshouldbemodified.Basedon
thelocalbucklingtheoryanewapproachisdevelopedforcomputationonthecriticalloadsofthe
structures.Inthisapproach.theloadofaninitiallysmallvalueisincreasedtoacertainamountthat
makesasetofmemberslocallybuckle.Theinternalforcesofthebuckledmembersarekeptfixedin
followingloadincrementprocedures.Theloadisaddedfurthertillthewholestructurebecomesa
mechanismortotallylosesitsload—bearingcapacity.Thefinalloadwillbethecriticalloadoftheglobal
stabilityproblem.
Keywords:
truss;stability;criticalload;bucklingtheory
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