第一章 一元二次方程.docx
《第一章 一元二次方程.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第一章 一元二次方程.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
第一章一元二次方程
第一章一元二次方程
第1课时建立一元二次方程模型
教学目的:
1.理解一元二次方程的定义,能识别一元二次方程,
2.知道一元二次方程的一般形式,能写出一般形式的二次项系数,一次项系数和常数项.
重点:
能建立一元二次方程模型,把一元二次方程整理成一般形式.
难点:
把实际问题转化为一元二次方程的模型.
教学过程:
（一）创设情境
本节课我们将建立议程模型的探究.
1.展示课本P.2问题一.2.展示课本P.2问题二.
（二）探究新知
一元二次方程的一般形式是:
ax2+bx+c=0.（a,b,c是已知数且a≠0）,其中a,b,c分别叫作二次项系数,一次项系数,常数项.
（三）讲解例题
例1把方程（x+3）（3x-4）=（x+2）2化成一般形式,并指出它的二次项系数,一次项系数,常数项.
[解]去括号,得3x2+5x-12=x2+4x+4,
化简,得2x2+x-16=0
二次项系数是2,一次项系数是1,常数项是-16.
例2下列方程,哪些是是一元一次方程?
哪些是一元二次方程?
（1）2x+3=5x-2;
（2）x2=25;
（3）（x-1）（x-2）=x2+6;（4）（x+2）（3x-1）=（x-1）2
[解]方程
（1）,（3）是一元一次方程;方程
（2）,（4）是一元二次方程.
（四）应用新知
课本P.4,练习第3题.
（五）课堂小结
1.一元二次方程的显著特征是:
只有一个未知数,并且未知数的最高次数是2,
2.一元二次方程的一般形式为:
ax2+bx+c=0.（a≠0）,一元二次方程的二次项系数,一次项系数,常数项都是根据一般形式确定的.
布置作业
课本习题1.1中A组第1,2,3题.
第二课时因式分解法,直接开平方法
（一）
教学目标:
1.学会用因式分解法和直接开平方法解形如（ax+b）2-k=0（k≥0）的方程.
2.引导学生体会“降次”化归的思路.
重点:
掌握用因式分解法和直接开平方法解形如（ax+b）2-k=0（k≥0）的方程.
难点:
通过分解因式或直接开平方将一元二次方程降为一元一次方程.
教学过程:
（一）复习引入
判断下列说法是否正确.
（1）若p=1,q=1,则pq=1（）,若pq=1,则p=1,q=1（）;
（2）若x+3=0或x-6=0,则（x+3）（x-6）=0（）;
（3）若x+3=1/2或x-6=2,则（x+3）（x-6）=1（）;
（二）创设情境
给出1.1节问题一中的方程（35-2x）2-900=0.
问:
怎样将这个方程“降次”为一元一次方程?
（三）探究新知
让学生对上述问题展开讨论,教师再利用“复习引入”中的内容引导学生，按课本P.6那样，用因式分解法和直接开平方法，将方程（35-2x）2-900=0“降次”为两个一元一次方程来解，让学生知道什么叫因式分解法和直接开平方法。
（四）讲解例题
展示课本P.7例1，例2，按课本方式引导学生用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程。
注意：
（1）因式分解法适用于一边是0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程，
（2）直接开平方法适用于形如（ax+b）2=k（k≥0）的方程，由于负数没有平方根，所以规定k≥0，当k＜0时，方程无实数解。
（五）应用新知
课本P.8，练习。
（六）课堂小结
1.解一元二次方程的基本思路是什么？
2.因式分解法和直接开平方法适用于解什么形式的一元二次方程？
（七）思考与拓展
不解方程，你能说出下列方程根的情况吗？
（1）-4x2+1=0
（2）1/2x2+3=0
（3）（5-3x）2=0（4）（2x+1）2+5=0
布置作业
课本习题1.2中A组第1题。
第三课时因式分解法,直接开平方法
（二）
教学目标
1.会用因式分解法解某些一元二次方程.
2.进一步让学生体会“降次”化归的思想.
重点:
掌握用因式分解法解某些一元二次方程.
难点:
用因式分解法将一元二次方程转化为一元一次方程.
教学过程:
（一）复习引入
用两种方法解方程:
9（1-3x）2=25
（二）创设情境
1.说一说:
因式分解法适用于解什么形式的一元二次方程.
2.想一想:
展示课本1.1节问题二中的方程0.01t2-2t=0,这个方程能用因式分解法解法?
（三）探究新知
引导学生探索用因式分解法解方程0.01t2-2t=0,解答非所问课本1.1节问题二.
把方程左边因式分解,得t（0.01t-2）=0,由此得出t=0或0.01t-2=0.
解得t1=0,t2=200,t1=0,表明小明与小亮第一次相遇;t2=200表明经过200s小明与小亮再次相遇,
（四）讲解例题
1.展示课本P.9例3.按课本方式引导学生用因式分解法解一元二次方程.
2.让学生讨论P.9“说一说”栏目中的问题.
（五）应用新知
课本P.10练习.
（六）课堂小结
1.用因式分解法解一元二次方程的基本步骤是:
先把一个一元二次方程变形,使它的一边为0,另一边分解成两个一次因式的乘积,然后使每一个一次因式等于0,分别解这两个一元一次方程,行到的两个解就是原一元二次方程的解.
2.在解方程时,千万注意两边不能同量除以发一个含有未知数的代数式,否则可能丢失方程的一个根.
布置作业
课本习题1.2中A组第2题.
第四课时配方法
（一）
教学目标:
1.理解“配方”是一种常用的数学方法,在用配方法将一元二次方程变形的过程中,让学生进一步体会化归的思想方法.
2.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.
重点:
会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.
难点:
用配方法将一元二次方程变形成可用因式分解法或直接开平方法解的方程.
教学过程
（一）复习引入
1.a2±2ad+b2=?
2.用两种方法解方程（x+3）2-5=0.
（二）创设情境
如何解方程x2+6x+4=0呢?
（三）探究新知
1.利用“复习引入”中的内容引导学生思考,得知:
反过来把方程x2+6x+4=0化成（x+3）2-5=0的形式,就可用前面所学的因式分解法或直接开平方法解.
2.怎样把方程x2+6x+4=0化成（x+3）2-5=0的形式呢?
（四）讲解例题
例1（课本P.11,例5）
[解]
（1）x2+2x-3（观察二次项系数是否为“1”）
=x2+2x+12-12-3（在一次项和二次项之后加上一次项系数一半的平方,再减去这个数,使它与原式相等）
=（x+1）2-4（使含未知数的项在一个完全平方式里）
用同样的方法解
（2）,让学生熟悉上述过程,进一步明确“配方”的意义.
例2引导学生完成P.11~P.12例6的填空.
（五）应用新知
1.课本P.12,练习,
2.学生相互交流解题经验.
（六）课堂小结
1.怎样将二次项系数为“1”的一元二次方程配方?
2.用配方法解一元二次方程的基本步骤是什么?
课后作业
课本习题1.2中A组第4题的
（1）
（2）（3）.
第5课时配方法
（二）
教学目标:
1.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.
2.进一步体会化归的思想方法.
重点:
会用配方法解一元二次方程.
难点:
使一元二次方程中含未知数的项在一个完全平方式里.
教学过程:
（一）复习引入
1.用配方法解方程x2+x-1=0,学生练习后再完成课本P.13的“做一做”.
2.用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤是什么?
（二）创设情境
现在我们已经会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程,而对于二次项系数不为1的一元二次方程能不能用配方法解?
怎样解这类方程:
2x2-4x-6=0?
（三）探究新知
让学生议一议解方程2x2-4x-6=0的方法,总结:
对于二次项系数不为1的一元二次方程,可将议程两边同除以二次项的系数,把二次项系数化为1,然后按上一节课所学的方法来解,让学生进一步体会化归的思想.
（四）课解例题
1.引导学生完成课本P.14例9的填空.
2.归纳用配方法解一元二次方程的基本步骤:
首先将方程化为二次项系数为1的一般形式,其次加上一次项系数的一半的平方,再减去这个数,使得含未知数的项在一个完全平方式里,最后将配方的一元二次方程式用因式分解法或直接开平方法来解.
（五）应用新知
课本P.15,练习
（六）课堂小结
图1-1
1.用配方法解一元二次方程的基本步骤是什么?
2.配方法是一种重要的数学方法,它的重要性不仅仅表面在一元二次方程的解法中,在今后学习二次函数,高中学习二次曲线时都要经常用到.
3.配方法是解一元二次方程的通法,但是由于配方的过程要进行较繁琐的运算,在解一元二次方程时,实际运用较少.
4.按图1-1在框图小结前面所学解一元二次方程的算法.
布置作业:
课本习题1.2中A组第3题的（4）,
第六课时公式法
（一）
教学目标:
1.了解求根公式与配方法的联系.
2.会用求根公式法解一元二次方程.
3.注意培养学生良好的运算习惯.
重点:
会运用求根公式解一元二次方程.
难点:
由配方法导出一元二次方程的求根公式.
教学过程:
（一）创设情境
由用配方法解一元二次方程的基本步聚知:
对于每个具体的一元二次方程,都使用了相同的一些步聚.这启发我们思考,能不能对一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）使用这些步骤,然后求出解x的公式?
这样做了以后,我们可以运用这个公式来求每一个具体的一元二次方程的解,取得一通百通的效果.
（二）探究新知
按课本P016的方式引导学生,用配方法导出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）,当b2-4ac≥0时的求根公式为:
x=,并让学生知道,运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二次方程式的解,这种解一元二次方程的方法叫公式法.
（三）讲解例题
1.展求课本P.16~P.17例10
（1）,
（2）,按课本方式引导学生用公式法解一元二次方程,并担醒学生注意a,b,c的符号.
2.引导学生完成P.17例10（3）的填空,并提醒学生在确定a,b,c的值时,先要将一元二次方程式化为一般形式.
3.引导学生归纳用公式法解一元二次方程的基本步骤:
首先要把原方程化为一般形式,从而正确地确定a,b,c的值,其次要计算b2-4ac的值,当b2-4ac≥0时,再用求根公式求解.
（四）应用新知
课本P.18练习,第
（1）~（4）题.
（五）课堂小结
1.熟记一元二次方程的求根公式,并注意公式成立的条件:
a≠0,b2-4ac≥0.
2.熟悉用公式法解一元二次方程的基本步骤.
3.公式法是解一元二次方程的通法,有普通的适用性,即可以解任何一元二次方程.
布置作业
课本习题1.2中A组第4,6题.
第7课时公式法
（二）
教学目标:
1.会熟练运用求根公式解一元二次方程.
2.会用适当的方法解一元二次方程.
3.会根据判别式的值的符号判断一元二次方程解的情况.
重点:
熟练地运用公式法解一元二次方程.
难点:
选用适当的方法解一元二次方程,根据判别式的值的符号判断一元二次方程解的情况.
教学过程:
（一）复习引入
一元二次方程的求根公式是什么?
其成立的条件是什么?
（二）探究新知
1.让学生观察课本P.16~17例10,例11,并思考问题:
b2-4ac的值的符号与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况有什么关系?
旨导学生归纳:
由例10知,当b2-4ac>0时,一元二次方程有两个不相等的实数根:
由例11知,当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根.
2.通过对问题的讨论让学生明确:
根据b2-4ac的值的符号可能性判断一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况:
当b2-4ac>0时,一元二次方程有两个不相等的实数根.
当b2-4ac=0时,一元二次方程有两个相等的实数根.
当b2-4ac<0时,一元二次方程没有实数根,
我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式.
（三）应用新知
1.按课本讲解P.18例12
提醒学生:
在运用判别式判定一元二次方程根的情况时,先要将一元二次方程化为一般形式,从而正确确定a,b,c的值.
教师指导学生讨论,归纳:
（1）我们已学了因式分解法,直接开平方法,配方法和公式法四种解一元二次方程的方法,在这些解法中,公式法是通法,即能解任何一个一元二次方程式,但对某些特殊形式的一元二次方程,用因式分解法或直接开平方法较简便,配方法也是解一元二次方程的通法,但不如公式法简便,在解一元二次方程式时,实际很少用,
（2）导致根的不同情况的原因是判别式b2-4ac的值的符号.
练习:
（1）课本P.19习题1.2中B组第1师的
（1）,（3）,（5）,（7）.
（2）.证明关于x的方程,mx2-2x=m（m≠0）一定有两个不相等的实数根.
（3）请构造一个一元二次方和,使其没有实数根.
（四）课堂小结
1.举例说明怎样运用适当的方法解一元二次方程.
2.用公式法解一元二次方程为什么要先算b2-4ac的值?
怎样由b2-4ac的值判定一元二次方程根的情况?
3.一元二次方程的四种解法各不相同,可用于不同形式的方程,但又相互紧密联系,都体现了“降次”的转化思想,即把一元二次方程转化为一元一次方程求解.
布置作业:
课本习题1.2中A组第5题,选做B组第1题,第四题.
第8课时一元二次方程的应用
（一）
教学目标:
1.让学生在经历运用一元二次方程解决一些代数问题的过程中体会一元二次方程的应用价值.
2.在应用一元二次方程解决问题的过程中,提高学生的分析问题,解决问题的能力
重点:
建立一元二次方程模型解决一些代数问题.
难点:
把一些代数问题化归为解一元二次方程的问题.
教学过程:
（一）复习引入
填空
（1）当x=______时,代数式3x-5与3+2x的值互为相反数.
（2）当x=_______时,代数式3x-5的值大于3+2x的值.
（3）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）,当b2-4ac_____0时,方程有两个不相等的实数根;当b2-4ac_____0时,方程有两个相等的实数根.当b2-4ac_____0时,,方程没有实数根.
（二）创设情境
前面我们忆经体会到方程是刻画现实世界中等量关系的工具,现在通过学习一元二次方程的应用能使我们更进一步感受到方程的作用,数学的价值.
（三）讲解例题
1.展示课本P.20~P.21,例1.例2.
2.展示课本P.21,例3.按课本讲解.
（四）应用新知
课本P.21,练习第1,2题,
（五）课堂小结
1.用一元二次方程解一些代数问题的基本步骤是什么?
2.在本节课的解题中要注意一些什么问题.
3.我们可以根据判别式的值的符号来判断方程根的情况,反过来,如果知道了方程根的情况,判别式的值的符号又是怎样的呢?
（六）思考与拓展
已知关于x的方程x2+2x-2+k=0有两个相等的实数根,请你判断关于x的方程x2+（k-2）x-2k+2=0的根的情况.
布置作业
课本习题1.3中A组第1,2题,选做B组第1题.
第9课时一元二次方程的应用
（二）
教学目标:
1.会建立一元二次方程的模型解决实际问题,并能根据具体问题的实际意义,对方程解的合理性作出解释.
2.让学生进一步感受一元二次方程的应用价值,提高学生的数学应用意识.
重点:
应用一元二次方程解决实际问题.
难点:
从实际问题中建立一元二次方程的模型.
教学过程:
（一）复习导入
1.复习列方程解应用题的一般步骤.
（1）审题.
（2）设未知数.（3）列方程.（4）解方程.（5）检验.（6）作答.
2.说一说,菱形的面积与它的两条对角线长有什么关系?
（二）讲解例题
1.展示课本P.22例4,按上述步骤讲解,按课本P.22~P.23格式写出解答过程.
注意:
设未知数和作答时都不要漏写单位.
2.展示课本P.24例5,让学生仿照例4解答些题,然后看书上的解答,交换批改,并交流解题经验,在检验所求方程解的合理性时,要特别注意利用图形引导学生思考,作出正确判断.
（三）应用新知
课本P.25,练习.
（四）课堂小结
1.用“
（1）审,
（2）设,（3）列,（4）解,（5）验,（6）答”六个字概括列方程解应用题的六步,使学生对列方程解应用题的步骤更熟悉.
2.在运用一元二次方程解实际问题时,一定要注意检查求得的方程的解是否符合实际情况.
（五）思考与拓展
一个长为10米的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8米,
（1）如果梯子的顶端下滑1米,那么底端也将滑动1米吗?
（2）梯子顶端下滑多少距离正好等于底部下端距离.
布置作业
课本习题1.3中A组第3题,选做B组第3题.
第10课时一元二次方程的应用（三）
教学目标
1.会熟练地列出一元二次方程解应用题,并能根据具体问题的实际意义,检验结果是否合理.
2.在组织学生自主探索,相互交流,协作学习的过程中,培养学生敢于探索,勇于克服困难的精神和意志.
重点:
会熟练地列出一元二次方程解应用题
难点:
将实际问题抽象为一元二次方程的模型.
教学过程:
（一）复习导入
提问:
1.列方程解就用题的基本步骤是什么?
2.利用一元二次方程解决实际问题时,特别要注意什么?
（二）探究新知
把学生分成若干个学习小组,让他们以小组为单位按课本P.25~26探究栏目设计的程序,进行探究学习,然后各组之间相互交流,教师加以适当引导归纳,得出正确结论.
（三）讲解例题
见课本P.26例6
（四）应用新知
课本P.27练习
（五）课堂小结
1.例方程解应用题的关键是准确分析题中各种显现和隐含的数量关系和等量关系,
2.列方程解应用题的实质是把实际问题;转化为数学问题（解一元二次方程）求解.
（六）思考与拓展
在一个长为50米,宽为30米的矩形空地上建造一个花园,要求修筑同样宽的道路,使余下的部分种植花草,且使花草的总面积是整块空地面积的3/4,请你画出设计图,并计算路宽,
方案一:
如图
所示,阴影部分是宽为X
米的两条垂直的道路,则依题意有
（50-x）（30-x）=3/4*30*50,
解得x1=5<30,x2=70>30
依题竟只能取x1=5（米）
方案二:
如图阴影部分是宽为x米
的道路,则依题意有:
（50-2x）（30-2x）=3/4*30*50
解得x1=2.5<30,x2=37.5>30
依题意只能取x1=2.5（米）
布置作业
课本习题1.3中A组第四题,选做B组第2题.
第11课时小结与复习
（一）
教学目标:
1.理清本章的知识结构,培养学生归纳能力.
2.掌握本章的有关概念,一元二次方程的四种解法----因式分解法,直接开平方法,配方法,公式法.
3.掌握本章的主要数学思想和方法.
重点:
一元二次方程的解法.
难点:
选用适当的方法解一元二次方程.
教学过程:
（一）复习引入
1.回顾本章的主要数学思想和方法.本章主要的数学思想是化归与转化,
2.理清本章的知识结构图.请同学们用知识结构图将所学的有关一元二次方程的知识连接起来.
（二）讲解例题.
例1.选择题;
（1）mx2-3x+x2+2=0是关于x的一元二次方程的条件是（）
A.m=1B.m≠1C.m≠0D.m为任意实数
（2）用配方法解方程4x2+4x-15=0时将方程配方的结果是（）
A.（x+2）2=19B.（2x+1）2=16
C.（x+1/2）2=4D.（x+1）2=4
答案:
B,C
配方法虽然在解一元二次方程时很少用,但配方法是一种很重要的数学方法,不可忽视.
例2选择适当的方法解下列方程:
（1）（x-1）2+2x（x-1）=0
（2）9（x-3）2-4（x-2）2=0
（3）-2y2+3=
y;（4）x2+2
x-4=0.
（三）巩固练习
1.填空:
（1）（k-1）x2-kx+1=0是关于x的一元二次方程的条件是______.
（2）填写下表
2.选做课本复习题一中B组第1,2题.
（四）课堂小结
1.一元二次方程的一般形式是什么?
2.解一元二次方程的四种方法所适用的方程的条件是什么?
3.怎么选择适当的方法解一元二次方程?
布置作业
课本复习题一中A组第1,2,3题.
第12课时小结与复习
（二）
教学目标:
1.熟练运用一元二次方程解实际问题.
2.将一些实际问题抽象为方程模型的过程.
重点:
运用一元二次方程解实际问题.
难点:
找出问题中的等量关系,列出一元二次方程.
教学过程:
（一）复习引入
学生交流讨论下列问题.
1.运用一元二次方程解实际问题的一般步骤是什么?
2.运用一元二次方程解实际问题的关键是什么?
3.运用一元二次方程解实际问题要注意什么?
（三）讲解例题
例1.某工厂生产一种产品,今年产量为200件,计划通过技术改造,使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数,这样三年的总产量达到1400件,求这个百分数.
例2.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品,根据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能售出500千克,销售单价每涨1元,月销售量就减少10千克,针对这种水产品的销售情况,请解答以下问题:
（1）当销售单价为每千克55元时,计算月销售量和月销售利润;
（2）设销售单价为每千克x元,月销售利润为y元,求x与y之间的关系式;
（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少?
（4）要使月销售利润达到9000元,销售单价应定为多少?
（5）有没有可能获取大于9000元的利润?
（三）巩固练习
选做课本复习题一中B组第4,5题.
（四）课堂小结
运用一元二次方程解实际问题的关键是:
找出问题中的先是关系,以便引出方程,要注意检查求出的方程的解是否符合实际情况.
布置作业
课本复习题一中A组第4,5,6题,选做B组第3题.
升级会员 