北航10秋学期《线性代数》模拟题一.docx
《北航10秋学期《线性代数》模拟题一.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北航10秋学期《线性代数》模拟题一.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
北航10秋学期《线性代数》模拟题一
北航10秋学期《线性代数》模拟题一
本复习题页码标注所用教材为：
工程数学（线性代数）魏战线2000年10月第2版辽宁大学出版社
如学员使用其他版本教材，请参考相关知识点
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1、设A为2008阶可逆方阵，则
1
*
A（）
A.
1
det
A
*
A
B.
1
det
A
A
C.
det
1
*
A
A
D.
11
detAA
参考答案：
B
10x1
2、已知x的一次多项式
1111
D，则式中一次项的系数为（）
1111
1111
（A）4（B）4（C）1（D）1
参考答案：
B
3、设a为mn矩阵，则n元齐次线性方程组Ax0存在非零解的充分必要条件是（）
A．A的行向量组线性无关B．A的行向量组线性相关
C．A的列向量组线性无关D．A的列向量组线性相关
参考答案：
C
4、设列向量组1,2,3，则与三阶行列式|1,2,3|等值的行列式是（）
（A）|,,|
1（B）|23,3,133|
13123
（C）|,,|
3（D）|12,23,31|
21
参考答案：
C
5、设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的-1倍加到第2列得C，记
北航《线性代数》课程考试试卷（A）第1页共8页
110
P010，则（）
001
A．
1.
CPAPB．
CPAP
1.
TT
C．CPAP.D．CPAP.
参考答案：
B
二、判断题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
6、
A．对B．错
参考答案：
A
7、两个对称矩阵一定合同。
（）
A．对B．错
参考答案：
B
8、
A．对B．错
参考答案：
A
9、相似矩阵有相同的特征多项式。
（）
A．对B．错
参考答案：
A
10、
A．对B．错
参考答案：
B
三、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
北航《线性代数》课程考试试卷（A）第2页共8页
1234
11、设四阶行列式
2
3
3
4
4
1
1
2
，
A是其i,j元的代数余子式，则A31A33_______，
ij
4123
A32A_______。
34
考核知识点：
行列式的概念及计算，参见P35
参考答案：
68,-48
12、设实二次型fx1,x2,x3,x4的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为。
考核知识点：
惯性定理与二次型的规范形，参见P204
参考答案：
2222
zzzz
1234
ax
1
x
2
2x
3
0
13、线性方程组
x
1
ax
2
3x
3
0
有非零解的充要条件是a满足_____________.
3x
1
4x
2
ax
3
0
考核知识点：
齐次方程组解的结构，参见P128
3a参考答案：
5170
a
200
A022正定，则的取值范围是。
14、若矩阵
02
考核知识点：
正定二次型与正定矩阵，参见P205
参考答案：
2
2
15、设矩阵A与
2E*E
B3相似，则A___________,|A|_________.
3
考核知识点：
相似矩阵，参见P159
北航《线性代数》课程考试试卷（A）第3页共8页
参考答案：
192,280
16、设二次型
222
fxxxxxxxx的正惯性指数为p，负惯性指数为q，则pq等
1,2,31223212
于。
考核知识点：
惯性定理与二次型的规范形，参见P204
参考答案：
0
17、将二次型
2222
f4x16xx9x化为
234
2222
fy1yyy的可逆线性变换为___________.
234
考核知识点：
化二次型为标准型，参见P194
y
1
2000
x
1
参考答案：
y
2
y
3
0
0
6
0
0
0
0
3
x
2
x
3
y
4
0010
x
4
18、设向量、的长度依次为2和3，则向量与的内积（,）=。
考核知识点：
向量及其运算，参见P79
参考答案：
-5
32
19、已知3阶矩阵A的特征值为1,2,3，则A5A7E
*
的特征值为___________，A3A2E
的特征
值为___________.
考核知识点：
矩阵的特征值，参见P149
参考答案：
3，－5，－11；3，7，13
20、二次型
f2xx2xx的规范型为。
1234
考核知识点：
二次型的规范形，参见P204
参考答案：
2222
f2y2y2y2y
1234
北航《线性代数》课程考试试卷（A）第4页共8页
四、计算题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）
21、计算行列式
考核知识点：
行列式的定义及计算，参见P34
参考答案：
解：
2
22、设3阶方阵A的三个特征值为11,20,31，A的属于1,2,3的特征向量依次为10
，
0
00
12
，求方阵A。
，
23
25
考核知识点：
矩阵的特征值与特征向量，参见P149
参考答案：
北航《线性代数》课程考试试卷（A）第5页共8页
1244
23、设矩阵y相似，求x,y，并求一个正交矩阵P，使得
A2x2与
4215
P
1.
AP
考核知识点：
相似矩阵的概念及运算，参见P159
参考答案：
解：
由A与相似知tr（A）tr（），即x2y1；又4也是A的特征值，故A4E0，即
524
2x420，计算得x4，从而y5.
425
当4
1时，解方程（A4E）x0有，
2
5
2
2
4
5
1
0
4
18
1
9
1
0
0
0
1
0
A4E2820189021，从而有解
4
2
1
1，单位化得
2
3
1
p；
1
3
2
3
当25时，解方程（A5E）x0有
北航《线性代数》课程考试试卷（A）第6页共8页
42421211
A5E212000，从而有两个正交解
0,4
2，单位化得
3
42400011
1
1
32
2
4
p20,p；因此所求得正交矩阵
3
132
1
2
32
211
3
232
14
P（p1,p2,p3）0.
3
32
211
3
2
3
2
24、已知非齐次线性方程组
（1）求方程组系数矩阵A的秩r（A）。
（2）求a,b的值。
考核知识点：
非齐次方程组解的结构，参见P137
参考答案：
25、
考核知识点：
齐次方程组解的结构，参见P128
参考答案：
北航《线性代数》课程考试试卷（A）第7页共8页
五、证明题（本大题共1小题，每小题10分，共10分）
26、设B为n2阶矩阵,证明：
*n1
BB.
考核知识点：
矩阵及行列式的运算，参见P13，P34
参考答案：
证明：
当B可逆时，
*nn1
11**nn1
BBBBBB；当B0时，有B0，从而
n1
*0
BB；
*BBn
1
当B0且B不可逆时，有0,
B否则，
*
*BBE
B必可逆，从而由B0知必有B0，
与B0矛盾；综上所述知结论成立。
北航《线性代数》课程考试试卷（A）第8页共8页
升级会员 