届高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ21函数及其表示学案理北师大版.docx

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届高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ21函数及其表示学案理北师大版

§2.1　函数及其表示

最新考纲

考情考向分析

1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．

2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数．

3.了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）.

以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数与其他知识的综合是高考热点，题型既有选择、填空题，又有解答题，中等偏上难度.

1．函数与映射

函数

映射

两个集合A，B

设A，B是两个非空数集

设A，B是两个非空集合

对应关系f：

A→B

如果按照某个对应关系f，使对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f（x）和它对应

如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y与之对应

名称

称f：

A→B为从集合A到集合B的一个函数

称f：

A→B为从集合A到集合B的一个映射

函数记法

函数y＝f（x），x∈A

映射：

f：

A→B

2.函数的有关概念

（1）函数的定义域、值域

在函数y＝f（x），x∈A中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域；与x的值相对应的y值叫作函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫作函数的值域．

（2）函数的三要素：

定义域、对应关系和值域．

（3）函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法．

3．分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

知识拓展

简单函数定义域的类型

（1）f（x）为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合；

（2）f（x）为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合；

（3）f（x）为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合；

（4）若f（x）＝x0，则定义域为{x|x≠0}；

（5）指数函数的底数大于0且不等于1；

（6）正切函数y＝tanx的定义域为

.

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）对于函数f：

A→B，其值域就是集合B.（　×　）

（2）若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．（　×　）

（3）函数f（x）的图像与直线x＝1最多有一个交点．（　√　）

（4）若A＝R，B＝{x|x>0}，f：

x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．（　×　）

（5）分段函数是由两个或几个函数组成的．（　×　）

题组二　教材改编

2．函数f（x）＝

＋log2（6－x）的定义域是________．

答案　[－3,6）

3．函数y＝f（x）的图像如图所示，那么，f（x）的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．

答案　[－3,0]∪[2,3]　[1,5]　[1,2）∪（4,5]

题组三　易错自纠

4．（2017·湖南湘潭一中、长沙一中等六校联考）已知f（x）＝

若f（a）＝2，则a的值为（　　）

A．2B．－1或2

C．±1或2D．1或2

答案　B

解析　当a≥0时，2a－2＝2，解得a＝2；

当a<0时，－a2＋3＝2，解得a＝－1.

综上，a的值为－1或2.故选B.

5．已知函数f（x）＝x|x|，若f（x0）＝4，则x0的值为______．

答案　2

解析　当x≥0时，f（x）＝x2，f（x0）＝4，

即x

＝4，解得x0＝2.

当x<0时，f（x）＝－x2，f（x0）＝4，

即－x

＝4，无解，所以x0＝2.

6．已知函数f（x）＝ax3－2x的图像过点（－1,4），则a＝________.

答案　－2

解析　由题意知点（－1,4）在函数f（x）＝ax3－2x的图像上，所以4＝－a＋2，则a＝－2.

题型一　函数的概念

1．若函数y＝f（x）的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f（x）的图像可能是（　　）

答案　B

解析　A中函数的定义域不是[－2,2]，C中图像不表示函数，D中函数值域不是[0,2]，故选B.

2．有以下判断：

①f（x）＝

与g（x）＝

表示同一函数；

②f（x）＝x2－2x＋1与g（t）＝t2－2t＋1是同一函数；

③若f（x）＝|x－1|－|x|，则f

＝0.

其中正确判断的序号是________．

答案　②

解析　对于①，由于函数f（x）＝

的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而函数g（x）＝

的定义域是R，所以二者不是同一函数，故①不正确；对于②，f（x）与g（t）的定义域、值域和对应关系均相同，所以f（x）和g（t）表示同一函数，故②正确；

对于③，由于f 

＝

－

＝0，

所以f 

＝f（0）＝1，故③不正确．

综上可知，正确的判断是②.

思维升华函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同．

题型二　函数的定义域问题

命题点1　求函数的定义域

典例

（1）函数f（x）＝

ln

＋

的定义域为（　　）

A．（－∞，－4]∪[2，＋∞）B．（－4,0）∪（0,1）

C．[－4,0）∪（0,1）D．[－4,0）∪（0,1]

答案　C

解析　由

解得－4≤x＜0或0＜x＜1，故函数f（x）的定义域为[－4,0）∪（0,1），故选C.

（2）若函数y＝f（x）的定义域是[0,2018]，则函数g（x）＝

的定义域是（　　）

A．[－1,2017]B．[－1,1）∪（1,2017]

C．[0,2018]D．[－1,1）∪（1,2018]

答案　B

解析　使函数f（x＋1）有意义，则0≤x＋1≤2018，解得－1≤x≤2017，故函数f（x＋1）的定义域为[－1，2017]．所以函数g（x）有意义的条件是

解得－1≤x＜1或1＜x≤2017.故函数g（x）的定义域为[－1,1）∪（1,2017]．

引申探究

本例

（2）中，若将“函数y＝f（x）的定义域为[0,2018]”，改为“函数f（x－1）的定义域为[0,2018]，”则函数g（x）＝

的定义域为________．

答案　[－2,1）∪（1,2016]

解析　由函数f（x－1）的定义域为[0,2018]．

得函数y＝f（x）的定义域为[－1,2017]，

令

则－2≤x≤2016且x≠1.

所以函数g（x）的定义域为[－2,1）∪（1,2016]．

命题点2　已知函数的定义域求参数范围

典例

（1）（2018·衡水联考）若函数y＝

的定义域为R，则实数m的取值范围是（　　）

A.

B.

C.

D.

（2）若函数f（x）＝

的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________．

答案　

（1）D　

（2）－

解析　

（1）要使函数的定义域为R，则mx2＋4mx＋3≠0恒成立，

①当m＝0时，显然满足条件；

②当m≠0时，由Δ＝（4m）2－4m×3＜0，

得0＜m＜

，

由①②得0≤m＜

.

（2）函数f（x）的定义域是不等式ax2＋abx＋b≥0的解集．不等式ax2＋abx＋b≥0的解集为{x|1≤x≤2}，

所以

解得

所以a＋b＝－

－3＝－

.

思维升华

（1）求给定函数的定义域往往转化为解不等式（组）的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍．

（2）求抽象函数的定义域：

①若y＝f（x）的定义域为（a，b），则解不等式a

②若y＝f（g（x））的定义域为（a，b），则求出g（x）在（a，b）上的值域即得f（x）的定义域．

（3）已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解．

跟踪训练

（1）（2017·江西九江七校联考）函数y＝

的定义域是（　　）

A．（－1,3）B．（－1,3]

C．（－1,0）∪（0,3）D．（－1,0）∪（0,3]

答案　D

解析　由题意得

解得－1＜x≤3且x≠0，

∴函数的定义域为（－1,0）∪（0,3]．

（2）若函数y＝

的定义域为R，则实数a的取值范围是（　　）

A.

B.

C.

D.

答案　D

解析　由ax2－4ax＋2>0恒成立，

得a＝0或

解得0≤a<

.

（3）已知函数y＝f（x2－1）的定义域为[－

，

]，则函数y＝f（x）的定义域为________．

答案　[－1,2]

解析　∵y＝f（x2－1）的定义域为[－

，

]，

∴x∈[－

，

]，x2－1∈[－1,2]，

∴y＝f（x）的定义域为[－1,2]．

题型三　求函数解析式

1．已知f

＝x2＋x－2，则f（x）＝________.

答案　x2－2（x≥2或x≤－2）

解析　∵f

＝

2－2，

又

x＋

≥2，

∴f（x）＝x2－2（x≥2或x≤－2）．

2．已知f（x）是二次函数且f（0）＝2，f（x＋1）－f（x）＝x－1，则f（x）＝________.

答案　

x2－

x＋2

解析　设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），

由f（0）＝2，得c＝2，

f（x＋1）－f（x）＝a（x＋1）2＋b（x＋1）＋2－ax2－bx－2＝x－1，

即2ax＋a＋b＝x－1，

∴

即

∴f（x）＝

x2－

x＋2.

3．已知函数f（x）的定义域为（0，＋∞），且f（x）＝2f 

·

－1，则f（x）＝________.

答案　

＋

（x＞0）

解析　在f（x）＝2f 

·

－1中，

将x换成

，则

换成x，

得f 

＝2f（x）·

－1，

由

解得f（x）＝

＋

.

思维升华函数解析式的求法

（1）待定系数法：

若已知函数的类型，可用待定系数法；

（2）换元法：

已知复合函数f（g（x））的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；

（3）配凑法：

由已知条件f（g（x））＝F（x），可将F（x）改写成关于g（x）的表达式，然后以x替代g（x），便得f（x）的解析式；

（4）消去法：

已知f（x）与f

或f（－x）之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f（x）．

题型四　分段函数

命题点1　求分段函数的函数值

典例已知f（x）＝

则f

＋f

的值为（　　）

A.

B．－

C．－1D．1

答案　D

解析　f 

＋f 

＝f 

＋f

＋1

＝cos

＋cos

＋1＝1.

命题点2　分段函数与方程、不等式问题

典例

（1）（2018届东莞外国语学校月考）已知函数f（x）＝

且f（a）＝－3，则f（6－a）等于（　　）

A．－

B．－

C．－

D．－

答案　A

解析　函数f（x）＝

且f（a）＝－3，

若a≤1，则2a－1－2＝－3，即有2a－1＝－1<0，方程无解；

若a>1，则－log2（a＋1）＝－3，解得a＝7，

则f（6－a）＝f（－1）＝2－1－1－2＝－

.

（2）（2017·广东汕头、河北石家庄二中联考）设函数f（x）＝

g（x）为定义在R上的奇函数，且当x<0