答案 D
3.(2019·安阳模拟)若平面内三点A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共线,则a=( )
A.1±或0B.或0
C.D.或0
解析 由题意知kAB=kAC,即=,即a(a2-2a-1)=0,解得a=0或a=1±.
答案 A
4.(2019·福建六校联考)在同一平面直角坐标系中,直线l1:
ax+y+b=0和直线l2:
bx+y+a=0有可能是( )
解析 当a>0,b>0时,-a<0,-b<0,结合选项知B符合,其他均不符合.
答案 B
5.已知直线l经过A(2,1),B(1,m2)两点(m∈R),那么直线l的倾斜角的取值范围是( )
A.[0,π)B.∪
C.D.∪
解析 直线l的斜率k==1-m2,因为m∈R,所以k∈(-∞,1],所以直线的倾斜角的取值范围是∪.
答案 B
6.已知直线l的斜率为,在y轴上的截距为另一条直线x-2y-4=0的斜率的倒数,则直线l的方程为( )
A.y=x+2B.y=x-2
C.y=x+D.y=-x+2
解析 因为直线x-2y-4=0的斜率为,所以直线l在y轴上的截距为2,所以直线l的方程为y=x+2.
答案 A
7.直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是( )
A.B.∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪D.(-∞,-1)∪
解析 设直线的斜率为k,则直线方程为y-2=k(x-1),令y=0,得直线l在x轴上的截距为1-,则-3<1-<3,解得k>或k<-1.
答案 D
8.已知函数f(x)=asinx-bcosx(a≠0,b≠0),若f=f,则直线ax-by+c=0的倾斜角为( )
A.B.C.D.
解析 由f=f知,函数f(x)的图象关于x=对称,所以f(0)=f,所以a=-b,则直线ax-by+c=0的斜率为k==-1,又直线倾斜角的取值范围为[0,π),所以该直线的倾斜角为.
答案 D
二、填空题
9.已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),则BC边上中线所在的直线方程为________.
解析 BC的中点坐标为,∴BC边上中线所在直线方程为=,即x+13y+5=0.
答案 x+13y+5=0
10.过点M(3,-4),且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________.
解析 若直线过原点,则k=-,
所以y=-x,即4x+3y=0.
若直线不过原点,设直线方程为+=1,
即x+y=a,则a=3+(-4)=-1,
所以直线的方程为x+y+1=0.
答案 4x+3y=0或x+y+1=0
11.若经过两点A(4,2y+1),B(2,-3)的直线的倾斜角是直线4x-3y+2019=0的倾斜角的一半,则y的值为________.
解析 因为直线4x-3y+2019=0的斜率为,所以由倾斜角的定义可知直线4x-3y+2019=0的倾斜角α满足tanα=,因为α∈[0,π),所以∈,所以=,解得tan=,由已知及倾斜角与斜率的关系得=,所以y=-.
答案 -
12.设点A(-1,0),B(1,0),直线2x+y-b=0与线段AB相交,则b的取值范围是________.
解析 b为直线y=-2x+b在y轴上的截距,如图,当直线y=-2x+b过点A(-1,0)和点B(1,0)时,b分别取得最小值和最大值.所以b的取值范围是[-2,2].
答案 [-2,2]
能力提升题组
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13.(2019·豫南九校联考)若θ是直线l的倾斜角,且sinθ+cosθ=,则l的斜率为( )
A.-B.-或-2
C.或2D.-2
解析 因为sinθ+cosθ=,①
所以(sinθ+cosθ)2=1+sin2θ=,
所以2sinθcosθ=-,所以(sinθ-cosθ)2=,
易知sinθ>0,cosθ<0,所以sinθ-cosθ=,②
由①②解得
所以tanθ=-2,即l的斜率为-2.
答案 D
14.已知数列{an}的通项公式为an=(n∈N*),其前n项和Sn=,则直线+=1与坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A.36B.45C.50D.55
解析 由an=可知an=-,
所以Sn=+++…+=1-,
又知Sn=,所以1-=,所以n=9.
所以直线方程为+=1,且与坐标轴的交点为(10,0)和(0,9),所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为×10×9=45.
答案 B
15.已知直线l过点P(2,-1),在x轴和y轴上的截距分别为a,b,且满足a=3b,则直线l的方程为________.
解析 若a=3b=0,则直线过原点(0,0),
此时直线斜率k=-,直线方程为x+2y=0.
若a=3b≠0,设直线方程为+=1,
即+=1.
由于点P(2,-1)在直线上,所以b=-.
从而直线方程为-x-3y=1,即x+3y+1=0.
综上所述,所求直线方程为x+2y=0或x+3y+1=0.
答案 x+2y=0或x+3y+1=0
16.已知直线l:
kx-y+1+2k=0(k∈R).
(1)证明:
直线l过定点;
(2)若直线不经过第四象限,求k的取值范围;
(3)若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,△AOB的面积为S(O为坐标原点),求S的最小值并求此时直线l的方程.
(1)证明 直线l的方程可化为k(x+2)+(1-y)=0,
令解得
∴无论k取何值,直线总经过定点(-2,1).
(2)解 由方程知,当k≠0时直线在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为1+2k,要使直线不经过第四象限,则必须有解得k>0;
当k=0时,直线为y=1,符合题意,故k的取值范围是[0,+∞).
(3)解 由题意可知k≠0,再由l的方程,
得A,B(0,1+2k).
依题意得解得k>0.
∵S=·|OA|·|OB|=··|1+2k|
=·=
≥×(2×2+4)=4,
“=”成立的条件是k>0且4k=,即k=,
∴Smin=4,此时直线l的方程为x-2y+4=0.