知识梳理与训练第九章 平面解析几何 第1节 直线的方程.docx

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知识梳理与训练第九章平面解析几何第1节直线的方程

第1节　直线的方程

最新考纲　1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系.

知识梳理

1.直线的倾斜角

（1）定义：

当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；

（2）规定：

当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；

（3）范围：

直线的倾斜角α的取值范围是[0，π）.

2.直线的斜率

（1）定义：

当直线l的倾斜角α≠时，其倾斜角α的正切值tanα叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan__α；

（2）斜率公式：

经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）的直线的斜率公式为k＝.

3.直线方程的五种形式

名称

几何条件

方程

适用条件

斜截式

纵截距、斜率

y＝kx＋b

与x轴不垂直的直线

点斜式

过一点、斜率

y－y0＝k（x－x0）

两点式

过两点

＝

与两坐标轴均不垂直的直线

截距式

纵、横截距

＋＝1

不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线

一般式

Ax＋By＋C＝0

（A2＋B2≠0）

所有直线

[微点提醒]

1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：

α

0

0<α<

<α<π

k

0

k>0

不存在

k<0

2.直线的斜率k和倾斜角α之间的函数关系：

基础自测

1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”）

（1）直线的倾斜角越大，其斜率就越大.（　　）

（2）直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.（　　）

（3）斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.（　　）

（4）经过任意两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线都可以用方程（y－y1）（x2－x1）＝（x－x1）（y2－y1）表示.（　　）

解析　

（1）当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k1＝－1，k2＝1，k1＜k2.

（2）当直线斜率为tan（－45°）时，其倾斜角为135°.

（3）两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等.

答案　

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）√

2.（必修2P89B5改编）若过两点A（－m，6），B（1，3m）的直线的斜率为12，则直线的方程为________.

解析　由题意得＝12，解得m＝－2，∴A（2，6），

∴直线AB的方程为y－6＝12（x－2），

整理得12x－y－18＝0.

答案　12x－y－18＝0

3.（必修2P100A9改编）过点P（2，3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________.

解析　当纵、横截距均为0时，直线方程为3x－2y＝0；

当纵、横截距均不为0时，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.

答案　3x－2y＝0或x＋y－5＝0

4.（2019·衡水调研）直线x－y＋1＝0的倾斜角为（　　）

A.30°B.45°

C.120°D.150°

解析　由题得，直线y＝x＋1的斜率为1，设其倾斜角为α，则tanα＝1，又0°≤α＜180°，故α＝45°.

答案　B

5.（2019·广东七校联考）若过点P（1－a，1＋a）和Q（3，2a）的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是（　　）

A.（－2，1）B.（－1，2）

C.（－∞，0）D.（－∞，－2）∪（1，＋∞）

解析　由题意知<0，即<0，解得－2

答案　A

6.（2018·兰州模拟）已知直线l过点P（1，3），且与x轴、y轴的正半轴所围成的三角形的面积等于6，则直线l的方程是（　　）

A.3x＋y－6＝0B.x＋3y－10＝0

C.3x－y＝0D.x－3y＋8＝0

解析　设直线l的方程为＋＝1（a>0，b>0）.

由题意得解得

故直线l的方程为＋＝1，

即3x＋y－6＝0.

答案　A

考点一　直线的倾斜角与斜率　

典例迁移

【例1】

（1）直线2xcosα－y－3＝0的倾斜角的取值范围是（　　）

A.B.

C.D.

（2）（一题多解）（经典母题）直线l过点P（1，0），且与以A（2，1），B（0，）为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________.

解析　

（1）直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，

因为α∈，所以≤cosα≤，

因此k＝2cosα∈[1，].

设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，].

又θ∈[0，π），所以θ∈，

即倾斜角的取值范围是.

（2）法一　设PA与PB的倾斜角分别为α，β，直线PA的斜率是kAP＝1，直线PB的斜率是kBP＝－，当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞）.

当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是（－∞，－].

故斜率的取值范围是（－∞，－]∪[1，＋∞）.

法二　设直线l的斜率为k，则直线l的方程为

y＝k（x－1），即kx－y－k＝0.

∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，

∴（2k－1－k）（－－k）≤0，

即（k－1）（k＋）≥0，解得k≥1或k≤－.

即直线l的斜率k的取值范围是（－∞，－]∪[1，＋∞）.

答案　

（1）B　

（2）（－∞，－]∪[1，＋∞）

【迁移探究1】若将例1

（2）中P（1，0）改为P（－1，0），其他条件不变，求直线l斜率的取值范围.

解　设直线l的斜率为k，则直线l的方程为

y＝k（x＋1），即kx－y＋k＝0.

∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，

∴（2k－1＋k）（－＋k）≤0，

即（3k－1）（k－）≤0，解得≤k≤.

即直线l的斜率的取值范围是.

【迁移探究2】若将例1

（2）中的B点坐标改为B（2，－1），其他条件不变，求直线l倾斜角的取值范围.

解　由例1

（2）知直线l的方程kx－y－k＝0，

∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，

∴（2k－1－k）（2k＋1－k）≤0，

即（k－1）（k＋1）≤0，解得－1≤k≤1.

即直线l倾斜角的取值范围是∪.

规律方法　1.由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数y＝tanx在[0，π）上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在[0，π）上并不是单调的.

2.过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率范围时，应注意倾斜角为时，直线斜率不存在.

【训练1】若直线l：

y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（　　）

A.B.

C.D.

解析　直线y＝kx－恒过点（0，－），可作两直线的图象，如图所示，从图中可以看出，直线l的倾斜角的取值范围为.

答案　B

考点二　直线方程的求法

【例2】求适合下列条件的直线方程：

（1）经过点P（4，1），且在两坐标轴上的截距相等；

（2）经过点A（－1，－3），倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；

（3）经过点B（3，4），且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.

解　

（1）设直线l在x，y轴上的截距均为a，

若a＝0，即l过点（0，0）和（4，1），

所以l的方程为y＝x，即x－4y＝0.

若a≠0，则设l的方程为＋＝1，

因为l过点（4，1），所以＋＝1，

所以a＝5，所以l的方程为x＋y－5＝0.

综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.

（2）由已知设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.

因为tanα＝3，所以tan2α＝＝－.

又直线经过点A（－1，－3），

因此所求直线方程为y＋3＝－（x＋1），

即3x＋4y＋15＝0.

（3）由题意可知，所求直线的斜率为±1.

又过点（3，4），由点斜式得y－4＝±（x－3）.

所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.

规律方法　1.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.

2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用（若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零）.

【训练2】

（1）求过点A（1，3），斜率是直线y＝－4x的斜率的的直线方程；

（2）求经过点A（－5，2），且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程.

解　

（1）设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4×＝－.又直线经过点A（1，3），因此所求直线方程为y－3＝－（x－1），即4x＋3y－13＝0.

（2）当直线不过原点时，设所求直线方程为＋＝1，将（－5，2）代入所设方程，解得a＝－，所以直线方程为x＋2y＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则－5k＝2，解得k＝－，所以直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0.故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.

考点三　直线方程的综合应用　

多维探究

角度1　与不等式相结合的最值问题

【例3－1】设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P（x，y），则|PA|·|PB|的最大值是________.

解析　由直线x＋my＝0求得定点A（0，0），直线mx－y－m＋3＝0，

即y－3＝m（x－1），所以得定点B（1，3）.当m＝0时，两条动直线垂直，当m≠0时，因为m＝－1，所以两条动直线也垂直，因为P为直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0的交点，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA|·|PB|≤＝5（当且仅当|PA|＝|PB|＝时，等号成立），所以|PA|·|PB|的最大值是5.

答案　5

角度2　由直线方程求参数范围

【例3－2】已知直线l1：

ax－2y＝2a－4，l2：

2x＋a2y＝2a2＋4，当0

解析　由题意知直线l1，l2恒过定点P（2，2），直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2（2－a）＋×2（a2＋2）＝a2－a＋4，＋，又0

答案　

规律方法　与直线方程有关问题的常见类型及解题策略

（1）求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.

（2）求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.

【训练3】如图，在两条互相垂直的道路l1，l2的一角，有一个电线杆，电线杆底部到道路l1的垂直距离为4米，到道路l2的垂直距离为3米，现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行直道，使得人行道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行道的长度为________米.

解析　如图建立平面直角坐标系，

设人行道所在直线方程为y－4＝k（x－3）（k<0），所以A，B（0，4－3k），所以△ABO的面积S＝（4－3k）＝，

因为k<0，所以－9k－≥2＝24，当且仅当－9k＝－，即k＝－时取等号.此时，A（6，0），B（0，8），所以人行道的长度为＝10米.

答案　10

[思维升华]

1.倾斜角和斜率的范围

（1）倾斜角是一种特殊规定的角，其范围是[0，π），千万不要与其他角混淆，有些时候要依据图形而定.

（2）斜率范围与倾斜角范围的转化，此时要结合y＝tanx在和上的变化规律.

2.在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.

[易错防范]

1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率.

2.根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性.

3.截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点.

基础巩固题组

（建议用时：

35分钟）

一、选择题

1.直线x＋y＋1＝0的倾斜角是（　　）

A.B.C.D.

解析　由直线的方程得直线的斜率为k＝－，设倾斜角为α，则tanα＝－，又α∈[0，π]，所以α＝.

答案　D

2.如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（　　）

A.k1

C.k3

解析　直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1<0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0

答案　D

3.（2019·安阳模拟）若平面内三点A（1，－a），B（2，a2），C（3，a3）共线，则a＝（　　）

A.1±或0B.或0

C.D.或0

解析　由题意知kAB＝kAC，即＝，即a（a2－2a－1）＝0，解得a＝0或a＝1±.

答案　A

4.（2019·福建六校联考）在同一平面直角坐标系中，直线l1：

ax＋y＋b＝0和直线l2：

bx＋y＋a＝0有可能是（　　）

解析　当a>0，b>0时，－a<0，－b<0，结合选项知B符合，其他均不符合.

答案　B

5.已知直线l经过A（2，1），B（1，m2）两点（m∈R），那么直线l的倾斜角的取值范围是（　　）

A.[0，π）B.∪

C.D.∪

解析　直线l的斜率k＝＝1－m2，因为m∈R，所以k∈（－∞，1]，所以直线的倾斜角的取值范围是∪.

答案　B

6.已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为（　　）

A.y＝x＋2B.y＝x－2

C.y＝x＋D.y＝－x＋2

解析　因为直线x－2y－4＝0的斜率为，所以直线l在y轴上的截距为2，所以直线l的方程为y＝x＋2.

答案　A

7.直线l经过点A（1，2），在x轴上的截距的取值范围是（－3，3），则其斜率的取值范围是（　　）

A.B.∪（1，＋∞）

C.（－∞，－1）∪D.（－∞，－1）∪

解析　设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k（x－1），令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1－，则－3<1－<3，解得k>或k<－1.

答案　D

8.已知函数f（x）＝asinx－bcosx（a≠0，b≠0），若f＝f，则直线ax－by＋c＝0的倾斜角为（　　）

A.B.C.D.

解析　由f＝f知，函数f（x）的图象关于x＝对称，所以f（0）＝f，所以a＝－b，则直线ax－by＋c＝0的斜率为k＝＝－1，又直线倾斜角的取值范围为[0，π），所以该直线的倾斜角为.

答案　D

二、填空题

9.已知三角形的三个顶点A（－5，0），B（3，－3），C（0，2），则BC边上中线所在的直线方程为________.

解析　BC的中点坐标为，∴BC边上中线所在直线方程为＝，即x＋13y＋5＝0.

答案　x＋13y＋5＝0

10.过点M（3，－4），且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________.

解析　若直线过原点，则k＝－，

所以y＝－x，即4x＋3y＝0.

若直线不过原点，设直线方程为＋＝1，

即x＋y＝a，则a＝3＋（－4）＝－1，

所以直线的方程为x＋y＋1＝0.

答案　4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0

11.若经过两点A（4，2y＋1），B（2，－3）的直线的倾斜角是直线4x－3y＋2019＝0的倾斜角的一半，则y的值为________.

解析　因为直线4x－3y＋2019＝0的斜率为，所以由倾斜角的定义可知直线4x－3y＋2019＝0的倾斜角α满足tanα＝，因为α∈[0，π），所以∈，所以＝，解得tan＝，由已知及倾斜角与斜率的关系得＝，所以y＝－.

答案　－

12.设点A（－1，0），B（1，0），直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________.

解析　b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y＝－2x＋b过点A（－1，0）和点B（1，0）时，b分别取得最小值和最大值.所以b的取值范围是[－2，2].

答案　[－2，2]

能力提升题组

（建议用时：

15分钟）

13.（2019·豫南九校联考）若θ是直线l的倾斜角，且sinθ＋cosθ＝，则l的斜率为（　　）

A.－B.－或－2

C.或2D.－2

解析　因为sinθ＋cosθ＝，①

所以（sinθ＋cosθ）2＝1＋sin2θ＝，

所以2sinθcosθ＝－，所以（sinθ－cosθ）2＝，

易知sinθ>0，cosθ<0，所以sinθ－cosθ＝，②

由①②解得

所以tanθ＝－2，即l的斜率为－2.

答案　D

14.已知数列{an}的通项公式为an＝（n∈N*），其前n项和Sn＝，则直线＋＝1与坐标轴所围成的三角形的面积为（　　）

A.36B.45C.50D.55

解析　由an＝可知an＝－，

所以Sn＝＋＋＋…＋＝1－，

又知Sn＝，所以1－＝，所以n＝9.

所以直线方程为＋＝1，且与坐标轴的交点为（10，0）和（0，9），所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为×10×9＝45.

答案　B

15.已知直线l过点P（2，－1），在x轴和y轴上的截距分别为a，b，且满足a＝3b，则直线l的方程为________.

解析　若a＝3b＝0，则直线过原点（0，0），

此时直线斜率k＝－，直线方程为x＋2y＝0.

若a＝3b≠0，设直线方程为＋＝1，

即＋＝1.

由于点P（2，－1）在直线上，所以b＝－.

从而直线方程为－x－3y＝1，即x＋3y＋1＝0.

综上所述，所求直线方程为x＋2y＝0或x＋3y＋1＝0.

答案　x＋2y＝0或x＋3y＋1＝0

16.已知直线l：

kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）.

（1）证明：

直线l过定点；

（2）若直线不经过第四象限，求k的取值范围；

（3）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值并求此时直线l的方程.

（1）证明　直线l的方程可化为k（x＋2）＋（1－y）＝0，

令解得

∴无论k取何值，直线总经过定点（－2，1）.

（2）解　由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k>0；

当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞）.

（3）解　由题意可知k≠0，再由l的方程，

得A，B（0，1＋2k）.

依题意得解得k>0.

∵S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|

＝·＝

≥×（2×2＋4）＝4，

“＝”成立的条件是k>0且4k＝，即k＝，

∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.