广西中考数学专题训练圆的证明与计算.docx

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广西中考数学专题训练圆的证明与计算

圆的证明与计算

1.如图，已知△ABC内接于⊙O，P是圆外一点，PA为⊙O的切线，且PA＝PB，连接OP，线段AB与线段OP相交于点D.

（1）求证：

PB为⊙O的切线；

（2）若PA＝PO，⊙O的半径为10，求线段PD的长.

第1题图

（1）证明：

如解图，连接OA、OB，

第1题解图

∵PA＝PB，OA＝OB，OP＝OP，

∴△OAP≌△OBP（SSS），

∴∠OAP＝∠OBP，

∵PA为⊙O的切线，

∴∠OAP＝90°，

∴∠OBP＝90°，

∵OB为⊙O的半径，

∴PB为⊙O的切线；

（2）解：

∵PA＝PO，⊙O的半径为10，

∴在Rt△AOP中，OA＝＝10，

解得PO＝，

∴cos∠AOP＝＝，

∴OD＝6，

∴PD＝PO－OD＝.

2.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC上一点，且AD＝DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连接DE.

（1）求证：

AC是⊙O的切线；

（2）若cosC＝，AC＝24，求直径AE的长.

第2题图

（1）证明：

∵AB＝AC，AD＝DC，

∴∠C＝∠B，∠DAC＝∠C，

∴∠DAC＝∠B，

又∵∠E＝∠B，

∴∠DAC＝∠E，

∵AE是⊙O的直径，

∴∠ADE＝90°，

∴∠E＋∠EAD＝90°，

∴∠DAC＋∠EAD＝90°，

即∠EAC＝90°，

∴AE⊥AC，

∵OA是⊙O的半径，

∴AC是⊙O的切线；

（2）解：

如解图，过点D作DF⊥AC于点F，

第2题解图

∵DA＝DC，

∴CF＝AC＝12，

在Rt△CDF中，∵cosC＝＝，

∴DC＝20，

∴AD＝20，

在Rt△CDF中，由勾股定理得

，

∵∠ADE＝∠DFC＝90°，∠E＝∠C，

∴△ADE∽△DFC，

∴＝，

即＝

，解得AE＝25，

即⊙O的直径AE为25.

3．如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E，过点E作⊙O的切线EF，交BC于点F．

（1）求证：

EF⊥BC；

（2）若CD=2，tanC=2，求⊙O的半径．

第3题图

（1）证明：

如解图，连接BE，OE．

第3题解图

∵AB为⊙O的直径，

∴∠AEB=90°．

∵AB=BC，

∴点E是AC的中点，

∵点O是AB的中点，

∴OE∥BC，

∵EF是⊙O的切线，

∴EF⊥OE．

∴EF⊥BC；

（2）解：

如解图，连接AD，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∵CD=2，tanC=

2，

∴AD=4．

设AB=x，

则BD=x－2．

在Rt△ABD中，

由勾股定理得AB2=AD2+BD2，

即x2=42+（x－2）2，

解得x=5，即AB=5，

∴⊙O的半径为

．

4.如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点D，交BC的延长线于点E.

（1）求证：

∠DAC＝∠DCE；

（2）若AB＝2，sinD＝，求AE的长.

第4题图

（1）证明：

∵AD是⊙O的切线，

∴∠DAB＝90°.

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°.

∵∠DAC＋∠CAB＝90°，∠CAB＋∠ABC＝90°，

∴∠DAC＝∠ABC.

∵OC＝OB，

∴∠ABC＝∠OCB，

又∵∠DCE＝∠OCB，

∴∠DAC＝∠DCE；

（2）解：

∵AB＝2，

∴AO＝1.

∵sinD＝＝，

∴OD＝3，DC＝2，

在Rt△DAO中，

由勾股定理得AD＝＝2，

∵∠DAC＝∠DCE，∠D＝∠D，

∴△DEC∽△DCA，

∴＝，

即＝，

解得DE＝，

∴AE＝AD－DE＝.

5.如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过点D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且BC是⊙O的切线.

（1）求证：

CE＝CB；

（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数；

（3）若CD＝15，BE＝10，＝，求⊙O的半径.

第5题图

（1）证明：

如解图，连接OB，

第5题解图

∵BC是⊙O的切线，

∴OB⊥BC，即∠OBC＝90°，

∴∠OBA＋∠CBE＝90°，

∵OA＝OB，

∴∠OAB＝∠OBA，

∴∠OAB+∠CBE＝90°，

又∵CD⊥OA，

∴∠OAB＋∠DEA＝90°，

又∵∠CEB＝∠DEA，

∴∠CBE＝∠CEB，

∴CE＝CB；

（2）解：

如解图，连接OF，

∵DA＝DO，CD⊥OA，∴AF＝OF，

又∵OA＝OF，

∴△AOF是等边三角形，∴∠AOF=60°，

∴∠ABF＝∠AOF＝30°；

（3）解：

如解图，过点C作CG⊥AB于点G，

∵CD⊥OA，

∴∠ADE＝∠CGE＝90°，

又∵∠AED＝∠CEG，

∴△ADE∽△CGE，

∴＝＝，

∵CE＝BC，

∴BG＝EG＝BE＝5，

∴CE＝13，

∴DE＝CD－CE＝2，∴AE＝，

∴在Rt△ADE中，由勾股定理得AD

＝，

∴OA＝2AD＝，

∴⊙O的半径为.

6.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AD＝DC，分别延长BA，CD交于点E，作BF⊥EC，交EC的延长线交于点F，连接BD.

（1）求证：

△BFC∽△BDA；

（2）若AE＝AO，求cos∠ADE；

（3）在

（2）的条件下，若BC＝6，求BF的长.

第6题图

（1）证明：

∵AB是⊙O的直径，

∴∠BDA＝90°.

∵BF⊥EC，

∴∠BFC＝90°，

∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠BCF＝∠BAD，

∴△BFC∽△BDA；

（2）解：

如解图，连接OD，AC，

第6题解图

∵△BFC∽△BDA，

∴＝，

∵OD是⊙O的半径，AD＝CD，

∴OD垂直平分AC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴OD∥BC，

∴△EOD∽△EBC，

∴＝，

∵AE＝AO，即OE＝2OB，BE＝3OB，

∴＝

，

∴BC＝OD，

∴＝＝＝，

∵∠ADB＝90°，

∴∠ADE＋∠BDF＝90°，

∵∠BDF＋∠DBF＝90°，

∴∠ADE＝∠DBF，

在Rt△BDF中，cos∠DBF＝＝，

∴cos∠ADE＝；

（3）解：

∵BC＝OD，BC＝6，

∴OD＝4，

∴AE＝4，BE＝12，

∵△EOD∽△EBC，

∴＝，

∴CE＝DE，

又∵∠EDA＝∠EBC，∠E＝∠E，

∴△AED∽△CEB，

∴＝，

∴DE·CE＝AE·BE，

∴DE·DE＝4×12，

∴DE＝4（负值舍去），

∴CD＝2，∴AD＝2，

∵△BFC∽△BDA，

∴＝，∴＝，

∴CF＝，

在Rt△BCF中，根据勾股定理得，

BF＝＝.

7.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接

AC，过

上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连

接AE交CD于点F，且EG=FG，连接CE．

（1）求证：

△ECF∽△GCE；

（2）求证：

EG是⊙O的切线；

（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tan∠G=

，AH=3，

求EM的值．

第7题图

（1）证明：

∵AC∥EG，

∴∠G=∠ACG，

∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，

∴

=

，

∴∠CEF=∠ACD，

∴∠G=∠CEF，

∵∠ECF=∠ECG，

∴△ECF∽△GCE；

（2）证明：

如解图，连接OE，

第7题解图

∵GF=GE，

∴∠GFE=∠GEF=∠AFH，

∵OA=OE，

∴∠OAE=∠OEA，

∵∠AFH+∠FAH=90°，

∴∠GEF+∠AEO=90°，

∴∠GEO=90°，

∴GE⊥OE，

∵OE是⊙O的半径，

∴EG是⊙O的切线；

（3）解：

如解图，连接OC，

设⊙O的半径为r．

在Rt△AHC中，

tan∠ACH=tan∠G=

=

，

∵AH=3，

∴HC=4．

在Rt△HOC中，∵OC=r，OH=r－3，HC=4，

∴（r－3）2+42=r2，

解得r=

，

∵GM∥AC，

∴∠CAH=∠M，

∵∠OEM=∠AHC=90°，

∴△AHC∽△MEO，

∴

，

即

，

∴

．

8．如图，AB为⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，过点C的直线CD⊥BG交BG的延长线于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F，且BC平分∠ABD．

（1）求证：

CD是⊙O的切线；

（2）若

，求∠E的度数；

（3）连接AD，在

（2）的条件下，若CD=2

，求AD的长．

第8题图

（1）证明：

如解图，连接OC，

第8题解图

∵OC=OB，BC平分∠ABD，

∴∠OCB=∠OBC，∠OBC=∠DBC，

∴∠DBC=∠OCB，

∴OC∥BD，

∴∠BDC=∠ECO，

∵CD⊥BD，

∴∠BDC=90°，

∴∠ECO=90°，

∵OC是⊙O的半径，

∴CD是⊙O的切线；

（2）解：

由

（1）知，OC∥BD，

∴∠OCF=∠DBF，∠COF=∠BDF，

∴△OCF∽△DBF，

∴

，

∵

，

∴

，

∵OC∥BD，

∴△EOC∽△EBD，

∴

，

∴

，

设OE=2a，则EB=3a，

∴OB=a，

∴OC=a，

∵∠OCE=90°，OC=

OE，

∴∠E=30°；

（3）解：

∵∠E=30°，∠BDE=90°，

∴∠EBD=60°，

∵BC平分∠DBE，

∴∠OBC=∠DBC=

=30°，

∵CD=2

，

∴BC=4

，BD=6，

∵

，

∴OC=4，

如解图，过点D作DM⊥AB于点M，

∴∠DMB=90°，

∵BD=6，∠DBM=60°，

∴BM=3，DM=3

，

∵OC=4，

∴AB=8，

∴AM=AB－BM=5，

∵∠DMA=90°，DM=3

，

∴AD=

．

9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC相交于点D，与AB交于点E，AD平分∠FAB，连接ED并延长交AC的延长线于点F．

（1）求证：

BC为⊙O的切线；

（2）求证：

AE=AF；

（3）若DE=3，sin∠BDE=

，求AC的长．

第9题图

（1）证明：

如解图，连接OD．

第9题解图

∵AD平分∠FAB，

∴∠CAD=∠DAB，

∵OA=OD，

∴∠DAB=∠ODA，

∴∠CAD=∠ODA，

∴AC∥OD，

∴∠ODB=∠ACB=90°，

∴OD⊥BC，

∵OD为⊙O的半径，

∴BC为⊙O的切线；

（2）证明：

由

（1）知OD∥AC，

∴∠ODE=∠F．

∵OD=OE，

∴∠OED=∠ODE，

∴∠OED=∠F．

∴AE=AF；

（3）解：

∵AE是⊙O的直径，

∴∠ADE=90°．

∴∠DAF+∠F=90°，

∵AE=AF，

∴DF=DE=3．

∵∠ACB=90°，

∴∠CDF+∠F=90°，

∴∠DAF=∠CDF=∠BDE．

在Rt△ADF中，

，

∴AF=3DF=9．

在Rt△CDF中，

，

∴

．

∴AC=AF－CF=8．

10．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．

（1）求证：

DH是⊙O的切线；

（2）若AE=AH，求

的值；

（3）若EA=EF=1，求⊙O的半径．

第10题图

（1）证明：

如解图，连接OD，

第10题解图

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴∠ODB=∠ACB，

∴OD∥AC，

∵DH⊥AC，

∴DH⊥OD，

∵OD是⊙O的半径，

∴DH是⊙O的切线；

（2）解：

∵∠E=∠B，AB=AC，

∴∠E=∠B=∠C，

∴ED=DC，

∵DH⊥EC，

∴EH=CH，

∵AE=AH，

∴AE=

AC，

∵AO=BO，OD∥AC，

∴OD是△ABC的中位线，

∴OD=

AC，

∴

，

∵AE∥OD，

∴△AEF∽△ODF，

∴

；

（3）解：

设⊙O的半径为r，即OD=OB=r，

∵EF=EA，

∴∠EFA=∠EAF，

∵OD∥EC，

∴∠FOD=∠EAF，

则∠FOD=∠EAF=∠EFA=∠OFD，

∴DF=OD=r，

∴DE=DF+EF=r+1，

∴BD=CD=DE=r+1，

在⊙O中，∵∠BDE=∠EAB，

∴∠BFD=∠EFA=∠EAB=∠BDE，

∴BF=BD=r+1，

∴AF=AB－BF=2OB－BF=2r－（1+r）=r－1，

∵∠BFD=∠EFA，∠B=∠E，

∴△BFD∽△EFA，

∴

，

∴

，

解得r=

（负值已舍），

∴⊙O的半径为

．