第八章离子在固体中的射程理论.docx
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第八章离子在固体中的射程理论
第八章离子在固体中的射程理论
第五章载能离子在固体中的射程和射程分布
前面几章我们讨论了带电粒子在固体中的碰撞过程、核阻止本领及电子阻止本领，它
们是研究带电粒子与固体相互作用过程的基础。
本章我们将讨论载能离子在固体中的射程
和射程分布。
5.1射程的概念
由前面几章的讨论可以知道，对于具有一定初始能量的入射离子，当它在固体中穿行
时，将不断地同固体中的原子进行一系列的弹性和非弹性碰撞，并逐渐地损失其能量，最
终将停止在固体内部。
由于离子在同靶原子碰撞时不断地改变其飞行方向，所以它在固体
中的轨迹不是一条直线，而是一条折线，如图5.1所示。
离子在固体中实际穿行的路程称
为总射程，用
表示。
然而，在实验中不是一个可以直接测量的物理量。
通常，人们RR
引入投影射程RR这个可测的物理量来描述离子在固体中的穿行深度。
的定义为离子pp
的总射程R在其入射速度方向的投影，见下图。
除了总射程和投影射程，在理论研RRp
222究中，有时人们还引入横向射程RRR这个概念，其定义为=+。
Rttp
表面
R
离子
x
Rp
图5.1离子在固体中的射程示意图。
很显然，投影射程的大小与离子在很显然，投影射程的大小与离子在固体中的能量损失
状况有关，即与核阻止本领和电子阻止本领有关。
我们知道：
离子同固体中的原子碰撞时
过程随机的，因此离子在每次碰撞中它飞行速度的偏转方向及能量损失均是随机的。
这样，
即使对同一入射能量的不同离子它们在固体中的穿行深度是不同的。
一般地，离子在固体
中的终止位置（即穿行深度）在其入射方向上是有一定空间分布R的。
投影射程即f（x）p
为分布函数f（x）的最大值。
分布函数f（x）的形状取决于它的矩。
它的一阶矩
（5.1-1）R,xf（x）dxp,0
即为投影射程，而它的二阶矩定义为
22（5.1-2）,,（x,R）f（x）dxp||,0
2有时称,R,,为射程偏离。
p||
在1963年，J.Lindhard，M.Scharff和H.Schiott采用了一种统计的方法来描述离子在
固体中的传输过程，并给出了一个积分-微分形式的离子射程方程，一般简称LSS射程理论。
不过本章我们不是按照LSS的原始方法来建立射程方程，而是从Boltzmann输运方程出发，较为严格地推导出离子的射程方程。
另外，Biersack和Ziegler（1982）采用投影射程代数法建立了一个微分形式的射程方程，称其为BZ射程理论。
除了上述两种理论外，
人们还可以采用计算机模拟方法，如蒙特卡罗方法，来研究离子在固体中的射程分布。
首
先我们介绍一种计算射程的简单方法。
5.2射程的简单估算
我们知道一初始能量为
E的离子在固体中运动时沿着它路径方向上的能量损失可以0
用电子阻止本领和核阻止本领来描述，即
dE,,NS（E），NS（E）,NS（E）（5.2-1）neds
S（E）S（E）和分别是核阻止截面和电子阻止截面，是固体原子的密度。
这样，Nne
离子在固体的总射程可以表示为其中
EEdEdE00,,R（5.2-2）,,00，，dE/dx）NS（E）这样，我们一旦知道了核阻止截面S（E）S（E）和电子阻止截面，即可以由上式计算出ne离子在固体中的总射程。
核阻止截面可以由（3.4-6）或（3.-47）式给出，而电子阻止R
截面可以由LS公式[见（4.4-9）式]
如果入射离子的能量不是太高，例如约化能量时，电子阻止本领的值较小，与,,1核阻止本领相比可以略去不计。
这时总射程可以表示成为
EdE0R,（5.2-3）,0NS（E）n
作为一种简单的估算，我们采用幂级指数势给出的核阻止本领（见第三章）
C1,m1,2mmS（E）,,E（5.2-4）n1,m
来计算射程，其中C为常数m
m22m,,,2ZZe212,，，（5.2-5）C,aMM,,2mmTF12a2TF,,将（5.2-4）式代入（5.2-3）式，可以得到总射程为
m1,,m1,,2m（5.2-6）RE,,,0mNC2,,m
可见离子的射程Em随入射能量的增加而增加。
对于，可以选择参数及R0.08,,,20
，,,,0.327Ar的值为，。
作为一个例子，100keV的氩离子入射到中，m,1/2Almm
。
R,58.3nm
对于重离子入射（RM,M），散射角较小，这时投影射程与总射程的关系可R可以估算出总射程为p12
以近似地表示为
R（5.2-7）R,p1，（M/3M）21同样，射程偏离,R可以近似地写成p
MM12（5.2-8）,R,0.88RppM，M12对投影射程及射程偏离的严格计算将在如下几节详细地讨论。
5.3LSS射程理论
一．输运方程的建立
为了便于讨论，我们做如下假设：
（1）忽略固体的晶体结构效应对离子射程的影响，即靶是一种非晶靶。
在一般的情况下，只要入射离子不是沿着某一晶轴或晶面进入固体，
这一假设是能够满足的；
（2）在离子与靶原子碰撞过程中，认为靶原子在碰撞前后是近似
不动的，即静态靶；（3）离子同靶原子的相互作用可以分为同靶原子核的弹性碰撞过程和
同核外电子的相互作用过程，这两个过程是相互独立的，且前者可以用二体碰撞理论来描
述，而后者可以用电子阻止力来描述。
根据假设
（1）和（3），我们可以采用Boltzmann输运方程来描述离子在固体中的传输过程。
设,,,f（r,p,t）时刻在点发现离子的几率函数为，它在时空中的演化遵从如下rt
Boltzmann方程
,,,,,,,,f（r,p,t）p,f（r,p,t）,f（r,p,t），,，F,,,e,,,tmrp1（5.3-1）,,,,,,,,,,,,,dPd,,（,u）uf（r,p',t）F（r,P',t）f（r,p,t）F（r,P,t）,,nc,,,,,其中F（r,P,t）是电子阻止力；分别是离子在碰撞前后的动量；是靶原子的分p,p'Fe
,,,布函数，P,P'是靶原子在碰撞前后的动量；是离子同靶原子的相对u,p/m,P/m12
速度，d,（,,u）,是入射离子同靶原子核碰撞时的微分散射截面，是质心系中的散射ncc角。
根据假设
（2），在碰撞前后靶原子的分布函数可以写成
,,,,,F（r,P,t）,N,（P）,F（r,P',t）,N,（P'）（5.3-2）其中是靶原子的密度。
利用（5.3-2）式，方程可以简化成为N
,,,,,,,,f（r,p,t）p,f（r,p,t）,f（r,p,t），,，F,,,e,tM,r,p1（5.3-3）,,,,,,Nd,,vvfrptfrpt,（,）（,',）,（,,）,nc
,2阻止力可以写成S（E）E,mv/2，其中是电子阻止截面，是离子F,NS（E）v/ve1ee
,的能量，所以有。
为了进一步地简化问题的讨论，我们可F,,f,p,NS（E）v,f,Eee
以假设固体为一无限大的平板，离子的初始速度方向沿着x轴方向。
这样方程（5.3-3）又可以简化成
,,,f（x,p,t）,f（x,p,t）,f（v,p,t），v,，NS（E）vxe,t,x,E（5.3-4）
,,,,N,d,（,v）vf（x,p',t）,f（x,p,t）nc,
这就是入射离子在固体中的输运方程。
二．矩方程及投影射程方程
我们可以看出：
尽管在一维模型下，方程（5.3-4）仍是一个关于时间、位置及动量的
积分-微分方程，它包含的信息太多，而实际上我们最感兴趣的是离子的射程随能量的变
化。
为此，需要对方程（5.3-4）做进一步地简化情况。
。
将方程（5.3-4）两边对时间积分，并利用条件，f（x,p,,,）,0t
首先除去时间变量可以得到如下方程
,,,,,v（x,p）（x,p）x，NS（E）e,,vxE（5.3-5）
,,,,,,,N,d,（,v）（x,p'）（x,p）nc,
,,其中v,vcos,,（x,p）,dtvf（x,p,t）为离子的通量。
引入速度的偏转角，即,,x,,,
则变量可以用能量和偏转角来代替。
这样方程（5.3-5）可以变成pE,
,（x,,E,）,,（x,,E,）cos,，NS（E）e,x,E（5.3-6）
,,Nd,（T）,（x,E,T,,'）,,（x,E,,）,n
其中为反冲原子得到的能量，,'是离子在碰撞后的速度偏转角。
在方程（5.3-6）中，我T
22们已经利用了关系式T,4MMEsin（,2）（M，M）将双变量的微分散射截面c1212
d,（T）d,（T）d,（E,,）用单一变量的微分散射截面来表示。
的形式已在第四章中nnnc
给出。
方程（5.3-6）称为离子的通量输运方程。
其次，消去偏转角P（cos,）,（x,E,,）。
将通量函数按勒让德函数展开,l
,（x,E,,）,（2l，1）,（x,E）P（cos,）（5.3-7）,ll,l0
其中,（x,E）为展开系数。
将（5.3-7）式代入方程（5.3-6），并利用勒让德函数的正交归l
一性条件，可以得到
,（x,E）,,（x,E）,,（x,E）1，，，,l1l1l（l，1），l，NS（E）e,,2l，1,x,x,E，，
（5.3-8）Tmax,,Nd,（T）（x,ET）P（cos,）（x,E）,,,,,,nllrl02其中T,4MME（M，M）为反冲原子得到的最大能量，,为实验坐标系中的散max1212r射角。
根据（3.1-7）式，可以将散射角,用离子的能量及反冲原子的能量来表示ETr
11/2,1/2（5.3-9）cos,,（1,T/E），（1,M/M）（T/E）（1,T/E）r212
最后，将变量xx除去。
引入的矩函数
nn（5.3-10）,（E）,x,（x,E）dx,ll,,
则方程（5.3-8）可以写成
nTd,（E）maxnnl,,,,NS（E），Nd（T）,（E）,,（E,T）P（cos）enlllr,0dE
（5.3-11）
nn,1n,1,,,（l，1）,（E），l,（E）l，1l,12l，1
这就是射程的矩方程。
我们在引入矩函数时，已假定函数,（x,E）|x|随着增加而下降，l
n且下降的速度要比|x|快。
另外，根据函数,（x,E,,）的归一性，有
0,（E）,1（5.3-12）0
在方程（5.3-11）中，的取值范围为。
l0,l,n
n我们看到，通过求解方程（5.3-11），可以得到任意阶的矩函数,（E）。
但实际上我l们最感兴趣的是一些低阶矩函数，因为它们直接与离子在固体中的平均投影射程和纵向
射程偏离有关。
所谓的投影射程就是离子在固体中穿行的路径在其入射速度方向上的投
影，即离子注入到固体内部的平均深度。
借助于几率函数,（x,E,,），可以定义平均投
R（E）为p
影射程R（E）,x,（x,E,0）dx,p,,
1（5.3-13）,（2l，1）,（E）P
（1）,ll,l0
1,3,（E）1
1其中利用了,（E）,0R（E）[可以从方程（5.3-11）看出]。
可以看到，平均投影射程仅0p
1与一阶矩函数R（E）,（E）有关。
根据矩方程（5.3-11），可以得出所满足的方程为p1
dR（E）pTmax,,NS（E），Nd,（T）R（E）,R（E,T）cos,,1（5.3-14）,enppr0dE
这就是所谓的平均投影射程方程。
如果假设散射角,为零，则方程（5.3-14）即为总射程r
R（E）所遵从的方程。
22同样，射程偏离,R,,也可以用矩函数来表示。
的定义为,（E）p||||
22,（）,（,）,（,,0）ExRxEdxp||,,,（5.3-15）22,,,,,,xx
2221其中,x,,,（E），5,（E），。
可见射程偏离仅与一阶矩,x,,R（E）,3,（E）021p
ˆ函数和二阶矩函数有关。
引入积分-微分算子K
nd（,E）nlˆ,,K（E）NS（E）,,ledE（5.3-16）Tnnmax,,Nd,（T）（E）（ET）P（cos,），,,,,,nlllr0
22则由方程（5.3-11），很容易得到,（E）,,（E）所满足的方程分别为02
1212ˆˆ（5.3-17）,,,,2,,K,,4,,K5,,1012
2所满足的方程为,x,
2ˆ由此可以得到（5.3-18）2R,K[,x,]p
这样通过求解方程（5.3-14）和（5.3-18），即可以得到纵向偏离的值。
方程（5.3-14）,（E）||
2和（5.3-18）分别是一阶矩,x,和二阶矩所满足的方程，它们都是非齐次的积分-,x,
n微分方程。
类似地还可以得到更高阶矩所满足的方程。
x,
三．投影射程方程的解
下面我们讨论平均投影射程方程（5.3-14）的求解方法。
由于该方程是一个积分-微分
方程，直接进行数值求解很不方便。
在一般的情况下，只要入射离子的质量M和靶原子1
的质量M不是太接近，则反冲原子得到的能量要小于入射离子的能量，即。
这T/E,12
样我们可以将方程（5.3-14）左边的积分项中的R（E,T）做关于小量的展开Tp
kk,dR（E）,
（1）pk,,，（5.3-19）R（ET）R（E）T,ppk,k1k!
dE将其代入方程（5.3-14），可以得到
k,dR（E）dR（E）pp，,，（5.3-20）A（E）B（E）R（E）1NC（E）,pkk,k2dEdE其中
A（E）,N,,S（E）,C（E）（5.3-21）e1
Tmax（5.3-22），，B（E）N1cos,d,（T）,,,rn0
k,
（1）TkmaxC（E）Tcos,d,（E）,（5.3-23）,krn0k!
。
R（0）,0P
方程（5.3-20）的边界条件为可以采用逐级迭代的方法求解方程（5.3-20）。
把投影射程R（E）写成一阶近似项p
（）
（1）m和高阶修正项之和，即R（E）R（E）,pp,2m
（1）（）m（5.3-24）R（E）R（E）R（E）,，,ppp,2m
（1）在一阶近似下，有，将其代入方程（5.3-20），并略去二阶求导项，则R（E）,R（E）pp
（1）满足的方程为R（E）p
（1）dR（E）
（1）pA（E），B（E）R（E）,1（5.3-25）pdE
这是一个简单的一阶微分方程，很容易得到其解为
EE
（1）R（E）,dE'exp[,dE"B（E"）/A（E"）]/A（E'）（5.3-26）p,,0'E
很容易看出，当,,0时，上式退化为总射程的表示式（5.2-2）。
Rr
（1）
（2）考虑到二阶修正项，可以将投影射程写成，将其代入方程R（E）,R（E），R（E）ppp
（2）
（1）（5.3-20），并略去含有二阶导数（包含二阶）以上的项和含有三阶导数（包R（E）R（E）pp含三阶）以上的项，则得
（2）2
（1）dR（E）dRpp
（2）A（E），B（E）R（E）,C（E）（5.3-27）p22dEdE由此可以得到
E
（2）R（E）,dE'Q（E'）exp[,dE"B（E"）/A（E"）]/A（E'）（5.3-28）2p,,0'E
其中
2
（1）dRpQ（E）,C（E）（5.3-29）222dE
（3）（4）这样依此类推，可以求出三阶修正项，四阶修正项？
。
修正到多少项为R（E）R（E）pp
止取决于级数（5.3-19）的收敛速度。
5.4BZ投影射程理论
前面我们已经看到，在LSS射程理论中，投影射程方程是一个积分微分方程，不仅该
方程的建立过程较为繁杂，而且其数值求解也不太方便，尤其是要输入核碰撞的微分散射
截面。
核碰撞微分散射截面是一个微观量，只能通过理论计算得到，其精确度如何取决于
相互作用势的选取以及计算过程中所采用的近似，由它计算出的射程将会带来一定的误
差。
而Biersack和Ziegler等人采用投影射程代数法建立的投影射程理论，不仅在数学处
理上简单，而且该理论仅依赖于核阻止截面和电子阻止截面。
因为核阻止截面和电子阻止
截面都是宏观量，可以通过实验测量而确定。
因此，由这种射程理论给出的投影射程与实
验测量值符合得较好。
我们知道当入射离子在固体中运动时，由于它不断地同固体中的原子发生碰撞，其运
动方向也将不断地偏转。
离子同靶原子的碰撞是随机的，其速度的偏转方向也是随机的。
因此离子在固体中的运动类似于布朗（Brown）运动。
用
表示离子的速度偏转角，即速,
表面
s,,22r
s1
离子,v1
x
5.2离子在固体中速度偏转的示意图。
图
度方向与初始入射方向（,,,,,？
x轴）的夹角，则每次碰撞后的偏转角是一系123列的随机量，如图5.2。
令，则是区间[-1，1]中的随机量。
我们知道随机量,,cos,,
的分布函数应服从角度空间的扩散方程W（,,t）
W（,,t）2（5.4-1）,D,W（,,t）,t
2其中为扩散系数，为角度空间的拉普拉斯算符,D
，，，，11,,,22（5.4-2）sin
（1）,,,,,,,,,,sin,,,,,,,,,，，，，
我们的目的不是求出分布函数W（,,t）的具体形式，而是要知道随机量的平均值。
将,,方程（5.4-1）同乘以，并对进行积分，则得到,,
1,2,（5.4-3）,（t）,,W（,,,）d,,e,,1
其中,（0）,1为新的扩散系数。
在给出（5.4-3）式时，我们已经利用了初始条件。
,Dt
下面我们确定扩散系数,与离子能量损失之间的关系。
根据布朗运动中的Einstein关系，应有
1122,,,（,,）,（,,）（5.4-4）,i44i
其中,,,,,,,,为相邻两次碰撞偏转角的差。
由图5.2可以看出，即为第次碰iiii,1i
（i）撞的实验系中的散射角,，因此可以将（5.4-4）式写成r
21（i），，,,,,（5.4-5）,ri4
,与质心系中的散射角有如下关系cr根据第二章的讨论可以知道，实验系中的散射角,sinc,（5.4-6）tg,rMM，cos,12c
在小角散射近似下，有，，,,,1，MM。
这样又可以将（5.4-5）式表示成为rc12
2i（）,,,1c,,,,,（5.4-7）,,,41MM，i12,,
另一方面，我们知道在每一次碰撞过程中，靶原子从入射离子中得到的能量为
24MMMME（）2（）（）iii1212，，，，,,（5.4-8）T,Esin2,cc22（M，M）（M，M）1212结合（5.4-7）式和（5.4-8）式，又可以将表示成,,
（）i,EM,T12n（5.4-9）,,,,,,4ME4Ei1
i（）其中,,MM,ET,,，是由于核碰撞而造成的能量损失。
由前面几章的讨论,21ni
可以知道，入射离子的能量损失正比于阻止截面，即,E,E,S（E）S（E），其中,Ennt
S（E）,S（E），S（E）为总能量损失，为总阻止截面。
我们最后得到tne
,S（E）En,,（5.4-10）,,4S（E）Et
其积分形式为
''S（E）,dEEn（5.4-11）,,,（E,E）,0E''04S（E）Et
这样我们就将扩散系数,同阻止截面联系起来了。
我们应当注意到，在以上的讨论中已经
采用了小角散射近似。
严格地说，这种近似对重离子注入轻原子靶比较有效。
实际上，在
d,（T）就是在小角散射近似条件下得n前面的LSS射程理论中，所使用的微分散射截面到的。
由图5.2可以看出，在相邻两次碰撞之间离子的径迹sscos,x在轴上的投影为，则iii
平均投影射程应为
cos,,（5.4-12）R,,s,,ds,,piii
其中离子穿行的路径元ds,,dENS（E）与总阻止本领的关系为。
利用（5.4-3）式，则dst平均投影射程又可以写成
1E0（5.4-13）R（E）,dEexp[,2,（E,E）]S（E）,p00t0N
由此可以看出，一旦我们知道离子在固体中的阻止本领S（E）S（E）和，直接对（5.4-13）nt式进行积分并利用（5.4-12），即可以得到平均投影射程的值。
（5.4-13）式为平均投影射程的积分表示式。
然而在实际数值计算中，直接采用这种积分
形式来计算平均投影射程并不是一种较为简单的方法，因为在（5.4-13）式的积分项中,（E,E）也是由一个积分式给出的。
下面我们建立平均投影射程所满足的微分方程。
将0
（5.4-13）式两边对E微分，则得到0
,,,EEEE2（,）2（,）000dR（E）Ee,edE0p0（5.4-14）,，,0dENS（E）,ENS（E）tt00
再根据（5.4-11）式，有,（E,E）,0。
再利用00
,,（E,E）S（E）0n0,（5.4-15）,E4S（E）0t0
及R（E）的积分形式（5.4-13），即可以得到如下微分方程p
dR（E）,S（E）1p0n0（5.4-16）,,R（E）p0dENS（E）2ES（E）0t00t0
这就是平均投影射程的微分方程，利用其边界条件R（E）,0。
可以证明，在现在的理p0
22论模型中，射程偏离,,,x,,,x,可以由如下方程给出||
d2x,,22，，xz,,，,,,（5.4-17）dENS（E）0t0
2,S（E）,,dz22n0（5.4-18），，,,,,,,xzdEES（E）00t0
22其中,x,,R（E）,,z,,,（E），为横向偏离。
p0,0
图5.3离子在硅靶中的平均投影射程和纵向偏离，其中实线和虚线分别是由BZ射程理论给出的平均投影射程和纵向偏离的值，,和,为实验测量结果，,和,为用蒙特-卡罗模拟的结果。
由此可以看出，与LSS射程理论相比，在BZ射程理论中平均投影射程方程及纵向偏
d,（T）的离所满足的方程均为一阶微分方程。
采用差分迭代的方法，可以很容易地计算出平均投影n
射程及纵向偏离的值。
此外，在现在的理论模型中，无需知道核微分散射截面形式，只要知道核阻止截面S（E）S（E）和电子阻止截面的值，就可以计算出平均投影ne射程及纵向偏离。
图5.3显示出氦离子在硅靶中的平均投影射程R和射程偏离p
2,R,,的值。
p||
前面对投影射程的讨论是对单元靶进行的。
而对于复合靶，设每种组分的原子质量为
（i）i（i）（）,S,,MM,,SM（I=1,2,…），将方程（5.4-16）中的替换成，其中并利ini2,21ni
（）i用阻止截面的线性迭加原理，即Bragg规则，S,S，则仍可以利用方程（5.4-16）,tti计算离子在复合材料中的平均投影射程。
不过Bragg规则是一种近似方法。
仅对金属化合物，用这种方法给出的阻止截面值与实验测试值符合得较好，而对其它化合物，如氧化物
SiO，则符合得较差。
这时必须考虑化学键效应。
23
5.5离子在固体中浓度分布
前面两节我们分别介绍了两种不同的射程理论，由此可以计算出离子在固体材料中的
平均投影射程R,及射程偏离。
特别是利用LSS射程理论，原则上可以计算出任意阶p||
nn的矩函数,（E），进而可以构造出任意的矩函数。
在数学上可以严格地证明，离,x,l
n子在固体中的浓度分布N（x）可以用矩函数来构造。
特别是在低剂量离子注入情,x,i
况下，如果忽略了固体的
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