数学建模答案5.docx

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数学建模答案5

一、解释下列词语，并举例说明（每小题满分5分，共15分）

1．模型

模型是系统知识的抽象表示。

我们不能仅仅通过语言来描述一个系统，也不能仅仅通过记忆来记录关于系统的知识。

知识是通过某种媒介来表达的，这种媒介所表达的内容就是模型。

而知识形成媒介的过程就是建模，或者称为模型化。

通常模型可以使用多种不同的媒介来表达，比如纸质或电子文档、缩微模型/原型、音像制品等等。

而表达模型的体现方式也是多种多样的，常见的有图表、公式、原型、文字描述等等。

2．数学模型

由数字、字母、或其他数学符号组成的，描述现实对象（原型）数量规律的数学结构。

具体地说，数学模型也可以描述为：

对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，做出一些简化假设后，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构称之为数学模型.如概率的功利化定义。

3．抽象模型

通过人们对原型的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接存储在大脑中的模型称之谓思维模型。

从实际的人、物、事和概念中抽取所关心的共同特性，忽略非本质的细节把这些特性用各种概念精确地加以描述。

二、简答题（每小题满分8分，共24分）

1．模型的分类

按照模型替代原型的方式，模型可以简单分为形象模型和抽象模型两类.形

象模型：

直观模型、物理模型、分子结构模型等;抽象模型：

思维模型、符号模

型、数学模型等。

2．数学建模的基本步骤

1）建模准备：

确立建模课题的过程；

2）建模假设：

根据建模的目的对原型进行抽象、简化。

有目的性原则、简明性原则、真实性原则和全面性原则；

3）构造模型：

在建模假设的基础上，进一步分析建模假设的各条款，选择恰当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出根据已知条件和数据，分析模型的特征和模型的结构特点，设计或选择求解模型的数学刻划实际问题的数学模型.；

4）模型求解：

构造数学模型之后，方法和算法，并借助计算机完成对模型的求解；

5）模型分析：

根据建模的目的要求，对模型求解的数字结果，或进行稳定性分析，或进行系统参数的灵敏度分析，或进行误差分析等。

；

6）模型检验：

模型分析符合要求之后，还必须回到客观实际中去对模型进行检验，看它是否符合客观实际；

7）模型应用：

模型应用是数学建模的宗旨，将其用于分析、研究和解决实际问题，充分发挥数学模型在生产和科研中的特殊作用.

3．数学模型的作用

数学模型的根本作用在于它将客观原型化繁为简、化难为易，便于人们采用定量的方法去分析和解决实际问题。

正因为如此，数学模型在科学发展、科学预见、科学预测、科学管理、科学决策、驾控市场经济乃至个人高效工作和生活等众多方面发挥着特殊的重要作用。

数学不仅是人们认识世界的有力工具，而且对于人的素质培养，无论是在自然科学，还是社会科学中都随时发生着作用，使其终生受益。

特别是，当代计算机科学的发展和广泛应用，使得数学模型的方法如虎添翼，加速了数学向各个学科的渗透，产生了众多的边缘学科。

数学模型还物化于各种高新科技之中，从家用电器到天气预报，从通信到广播电视，从核电站

到卫星，从新材料到生物工程，高科技的高精度、高速度、高安全、高质量、高效率等特点无一不是通过数学模型和数学方法并借助计算机的计算、控制来实现的。

三、解答题（满分20分）

B题（9n+1,9n+6）

国庆庆典活动的中心广场有数万名学生手持花环组成大型图案方阵，方阵前排距观礼台120米,方阵纵列95人，每列长度192米，试问第一、二两排间距多大能够达到满意的观礼效果？

解：

可以认为从观礼位置看到的纵列上每个花的部分是一样的。

　　设观礼者居高a米，从观礼位置看到的纵列上每个花的部分高度为b米。

　　依题意，每列从第一个人到最后一个人（第95人）有94个间空，列长192米，则每列相邻二人平均间距约2米。

　　为简单起见，不妨设位于192米长的队列中点前后的两人间隔是2米，则

　　设第一、二排间距为x米，则

　　于是，

　　（米）　　　

四、综合题（21分）

M.飞机降落曲线（7n+3,7n+5,7n+6）

图1

在研究飞机的自动着陆系统时，技术人员需要分析飞机的降落曲线（图1）.根据经验，一架水平飞行的飞机，其降落曲线是一条五次多项式.飞行的高度为

，飞机着陆点

为原点，且在这个降落过程中，飞机的水平速度始终保持为常数

.出于安全考虑，飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过

，此处

是重力加速度.1.若飞机从距降落点水平距离

处开始降落，试确定出飞机的降落曲线.2.求开始下降点

所能允许的最小值.

解：

设飞机开始降落时，距离落点的水平距离为l（km），机高为h（m）（机场的地面高度取作0）。

飞机开始降落和着陆时，都保持水平飞行姿态。

1.可以用不同的函数来模拟飞机的降落曲线。

由于有4个隐藏的假定条件，因此我采用三次抛物线（方程假设如下）来模拟飞机的降落曲线，则由上面的初始假定，可以得到4个蕴涵的初始条件，如下：

：

在整个降落过程中，飞机的水平速度保持不变；

：

f（0）=0，f＇（0）=0；

：

f（l）=h，f＇（l）=0；

：

在竖直方向的加速度的绝对值不能超过一个常数K=g/10（K远小于重力加速度）。

2、假设飞机降落曲线的三次抛物线方程为：

根据

上述所得到的已知条件求出方程中的四个待定系数a，b，c，d，即在Mathmatica运行环境下输入如下公式：

输入：

f=a*x^3+b*x^2+c*x+d

D[f,x]

输出：

即为f（x）

即为f’（x）

输入：

运行后得到如下解：

把上述解代入f（x），则运算后即可得到f（x）的表达式如下：

f（x）=

-

+

3、代入具体数据进行验证并画出飞机的降落曲线

假定h=1100m，l=15km，在Mathmatica运行环境下输入：

运行后即可得到f（x）的图形如下：

4.讨论飞机降落时的铅直加速度

先讨论飞机铅直加速度应满足的条件：

由题意可知水平方向的速度u为一个常数，则令u=dx/dt（常数），这时由复合函数求导法，可求出飞机在点（x，y）处的铅直速度为：

我们以

表示点（x，y）处的铅直速度，即在Mathmatica运行环境下输入：

输出：

再次利用复合函数求导法，可求得飞机在点（x，y）处的铅直加速度如下：

在上述运行环境下，输入如下公式用来表示点（x，y）处的铅直加速度：

输出：

经过运行后则可得到铅直加速度为：

u

其中x∈[-l，0]，容易看出铅直加速度的绝对值在开始降落（x=-l）和飞机着陆时（x=0）达到最大，我们在上述运行环境下输入：

即可得到飞机降落竖直方向上铅直加速度的最大值为：

必须不超过0.98m/s

现在来判断上述所给的已知条件能否满足条件而安全着陆，则由高度h=1100m，水平距离l=15m，水平速度u=540km/h，在Mathmatica运行环境下输入如下：

Solve[6*1100*540^2/15^2,x]

运行后显示结果为：

0.1296m/s

由此可见该最大铅直加速度小于允许值，所以飞机可以安全着陆。

我们可得到飞机降落是的水平位移函数为：

x=ut

由此可知，只要求出飞机降落是所用的最小时间即可求出最小水平位移，则要求时间最少，即在竖直方向上飞机一直保持着最大铅直加速度，则可以得到解。

由上述解释可知，飞机在降落的过程中一直保持最大铅直加速度，此时时间最短，

已知h=1100u=540m，且铅直加速度不超过g/10，则输入：

则经过运行后结果为：

则由此可知，飞机能够安全着陆是水平距离所能允许的最小值为：

44315.2m

五、复述题（21分）

Q.三级火箭发射卫星模型.（3n+1）

摘要

发射人造卫星是一个复杂的系统工程，我们从中抽出几个问题，忽略一些次要因素将问题简化得到几个简单的数学模型。

首先通过天体物理学知识求解得到发人造卫星的在轨速度。

又通过动力守恒定律求解出火箭的飞行速度与其喷气推动力、火箭初始质量和飞行过程中的质量有关，进而分析得出提高火箭的飞行速度的简单措施。

问题一：

由万有引力定律及牛顿第三定律推理得到

，当

时，带入（5-1-3）式得：

问题二：

由

式得火箭的末速度有喷气速度及火箭在飞行中的质量决定，为了提高火箭的末速度可以通过提高喷气速度和减少火箭在飞行过程中的质量。

具体地说就是加大火箭推力，抛掉已经没用的结构，以此来加大火箭末速度。

问题三：

由计算得到

，当

，

时：

，由此得到结论：

使用一级火箭不能发射人造卫星。

问题四：

燃料用完时末速度为

问题五：

理想过程的实际逼近——多级火箭卫星系统

二级火箭：

要使

，则应使：

，而：

即发射一吨重的卫星需要148吨重的火箭。

三级火箭：

要使

，则

，而

即发射一吨重的卫星需要76吨重的火箭，由此可见三级火箭比二级火箭几乎节省了一半。

四级火箭：

要使

，则

，而

。

即使用四级火箭发射1吨重的卫星需要64吨重的火箭，比三级火箭要省。

但是由于工艺的复杂性及每节火箭都需配备一个推进器，所以使用四级或四级以上火箭是不合算的，三级火箭提供了一个最好的方案。

当然若燃料的价钱很便宜而推进器的价钱很贵切且制作工艺非常复杂的话，也可选择二级火箭。

关键词：

动量守恒定律万有引力定律牛顿第三定律

一、问题重述

建立一个模型说明要用三级火箭发射人造卫星的道理。

1设卫星绕地球做匀速圆周运动，证明其速度为

，R为地球半径，r为卫星与地心距离，g为地球地面重力加速度。

要把卫星送上离地面600km的轨道，火箭末速度应为多少？

2设火箭飞行中速度为v（t）,质量为m（t）,初速度为零，初始质量为m0,火箭喷出的气体相对于火箭的速度为u，忽略重力和阻力对火箭的影响。

用动量守恒原理证明

。

由此你认为要提高火箭的末速度应采取什么措施？

3火箭质量包括3部分：

有效载荷（卫星）mp；燃料mf结构（外壳、燃料舱等）ms，其中ms在mf+ms中的比例计作

，一般不小于10%。

证明若mp=0（即火箭不带卫星），则燃料用完时火箭达到的最大速度为

。

已知目前的u=3km/s，取

=10%，求vm。

这个结果说明什么？

4假设火箭燃料燃烧的同时，不断丢弃无用的结构部分，即结构质量与燃料质量以

和1—

的比例同时减少，用动量守恒原理证明

。

问燃料用完时火箭末速度为多少？

与前面的结果有何不同。

54是个理想化的模型，实际上只能用建造多级火箭的办法一段段地丢弃无用的结构部分。

计mi为第i级火箭质量（燃料和结构部分），

mi为结构质量（

对各级是一样的）。

有效载荷仍用mp表示。

当第一级的燃料用完时丢弃第一级的结构，同时第二级点火。

再设燃烧级的初始质量与其负载质量之比保持不变，比例系数为k。

证明3级火箭的末速度

。

计算要v3=10.5km/s，发射1吨重的卫星需要多重的火箭（u，

用以前的数据）。

若用2级火箭或4级火箭，结果如何？

由此得出使用3级火箭发射卫星的道理）

二、基本假设

1卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆，卫星在此轨道上作匀速圆周运动。

2、地球是固定于空间中的均匀球体，其它星球对卫星的引力忽略不计。

3、忽略重力和阻力对火箭的影响、

4、假设卫星绕地球做匀速圆周运动

5、假设产生影响的各个因素相互独立；

三、符号说明

：

卫星绕地球做匀速圆周运动的速度

：

地球半径为

：

卫星与地心距离

：

地球地面重力加速度

：

火箭飞行中速度

：

火箭飞行中质量

：

火箭初始质量

：

火箭喷出的气体相对于火箭的速度

：

有效载荷（卫星）

：

燃料

：

结构（外壳、燃料舱等），其中

在

中的比例计作

：

为第i级火箭质量

：

燃烧级的初始质量